高一数学概念(上).doc

第一章 　集合和命题
1.1集合
我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集。
集合中的各个对象叫做这个集合的元素。
集合常用大写字母表示，集合中的元素用小写字母表示。
如果是集合的元素，就记作，读作“属于”。
如果不是集合的元素，就记作，读作“不属于”。
数的集合简称数集，常用大写的字母表示：
全体自然数组成的集合，即自然数集记作N，不包括零的自然数组成的集合，记作N*；
全体整数组成的集合即整数集，记作Z；
全体有理数组成的集合即有理数集，记作Q；
全体实数组成的集合即实数集，记作R。
含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。
规定空集不含元素，记作
集合的表示方法常用列举法和描述法。
将集合中的元素一一列举出来，并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法。
在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即，这种表示集合的方法叫做描述法。

1.2集合之间的关系
如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么A叫做集合B的子集，记作或（），读作“A包含于B”或“B包含A”。
对于两个A和B，如果且，那么叫做集合A与集合B相等，记作A＝B，读作“集合A等于集合B”。
对于两个集合A、B，如果，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作或，读作“A真包含于B”或“B真包含A”。

1.3　集合的运算
一般地，由集合A和集合B的所有公共元素组成的集合叫做A与B的交集，记作　，读作“A交B”。集合A、B没有公共元素，即交集为空集。
由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合叫做集合A、B的并集，记作，读作“A并B”。
在研究集合与集合之间的关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定的集合叫做全集，常用符号U表示。设U为全集，A是U的子集，则由U中所有不属于A的元素组成的集合叫做集合A在全集U　中的补集。记作,读作“A补”。

1.4　命题的形式及等价关系
可以判断真假的语句叫做命题。正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。
一个数学命题用条件，结论表示就是“如果，那么”，如果把结论与条件互相交换，就得到一个新命题：“如果，那么”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题。
一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件的否定与结论的否定，我们把这样两个命题叫做逆否命题，如果其中一个叫原命题，那么另一个命题就叫做原命题的否命题。如果我们把、的否定分别记作、，那么命题“如果，那么”的否命题就是：“如果，那么”。
如果A、B是两个命题，，，那么A、B叫做等价命题。原命题与逆否命题就是等价命题。

1.5　充分条件，必要条件
一般地，用、分别表示两个命题，如果命题成立，可以推出命题也成立，即，那么叫做的充分条件。叫做的必要条件。

1.6　子集与推出关系
设A、B是非空集合，A＝，B＝，则与等价。

第二章 不等式
2.1　不等式的基本性质
a>b的充要条件是a-b>0；
a=b的充要条件是a-b=0；
a<b的充要每件是a-b<0。
性质1：如果a>b,b>c，那么a>c；
性质2：如果a>b，那么a+c>b+c；
性质3：如果a>b,c>0,那么ac>bc；
　　　如果a>b,c<0，那么ac<bc。
2.2　一元二次不等式的解法
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，这样的不等式叫做一元二次不等式。它的一般形式是：
或（）
一般地，设一元二次不等式为
或（）
当对应的一元二次方程的根式判别式时，先求出方程的两个实数根（不妨设），于是不等式的解集为
；
不等式的解集为
。
设、都为实数，并且，规定：
（1） 集合叫做闭区间，表示为；
（2） 集合叫做开区间，表示为；
（3） 集合或叫做半开半闭区间，分别表示为或。
（4） 把实数集R表示为；把集合、、和分别用区间、、和表示，与也叫做区间的端点；“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”。
当判别式时，所以不等式的解集为实数集R；不等式的解集为空集。
当时，，所以不等式的解集为；不等式的解集为空集。

2.3其他不等式的解法
型如或（其中、为整式且的不等式称为分式不等式。

2.4基本不等式及其应用
基本不等式1　对任意实数和，有，当且仅当时等号成立。
基本不等式2　对任意正数、，有，当且仅当时等号成立。
把和分别叫做正数、的算术平均数和几何平均数。

第三章 　函数的基本性质
3.1函数的概念
在某个变化过程中有两个变量、，如果对于在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则，都有唯一确定的实数值与它对应，那么就是的函数，记作，叫做自变量，叫做因变量，的取值范围D叫做函数的定义域，和的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
当函数的变量之间的对应关系不适合或者难以用解析式刻画时，图或表是有效的表示函数的方法。
当一个函数可用分段的解析式表示时，把这个函数叫做分段函数。

3.2　函数关系的建立
当我们要用数学方法解决实际问题时，首先要把问题中的有关变量及其关系用数学的形式表示出来，通常，这个过程叫做建模。

3.3函数的运算
一般地，已知两个函数，，设，并且D不是空集，那么当时，与都有意义，于是把函数叫做函数与的和。

3.4　函数的基本性质
一般地，如果对于函数的定义域D内的任意实数，都有，那么就把函数叫做偶函数。函数定义域D关于原点对称是这个函数为偶函数的必要非充分条件。如果函数是偶函数，那么函数的图像关于轴成轴对称图形，反过来，如果一个函数的图像关于轴成轴对称图形，那么这个函数必是偶函数。
如果对于函数的定义域D内的任意实数，都有，那么就把函数叫做奇函数。如果函数是奇函数，那么函数的图像关于原点成中心对称图形，反过来，如果一个函数的图像关于原点成中心对称图形，那么这个函数必是奇函数。

第四章 幂函数、指数函数和对数函数（上）
4.1幂函数的性质与图像
一般地，函数（为常数，)叫做幂函数。
幂函数的图像都经过点（1，1）
4.2 指数函数的图像与性质
一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是R。
指数函数的性质：
（1） 指数函数的函数值恒大于零。
（2） 指数函数的图像经过点（0，1）。
（3） 函数在内是增函数，函数在内是减函数。