一数列极限的定义.pptx

上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology一、数列极限的定义二、收敛数列的性质1.2 数列的极限上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology一、数列极限的定义一、数列极限的定义v引例 如可用渐近的方法求圆的面积S？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积SA1A2A3A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积,显然n越大,An越接近于S 因此,需要考虑当n时,An的变化趋势 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv数列 如果按照某一法则 对每一nN,对应着一个确定的实数xn 则得到一个序列 x1 x2 x3 xn 这一序列叫做数列 记为xn 其中第n项xn叫做数列的一般项 数列举例:2 4 8 2n ;1 1 1 (1)n1 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyx1x5x4x3x2xn 数列xn可以看作数轴上的一个动点 它依次取数轴上的点x1 x2 x3 xn 数列的几何意义v数列 如果按照某一法则 对每一nN,对应着一个确定的实数xn 则得到一个序列 x1 x2 x3 xn 这一序列叫做数列 记为xn 其中第n项xn叫做数列的一般项 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 数列xn可以看作自变量为正整数n的函数xn=f(n)nN 数列与函数v数列 如果按照某一法则 对每一nN,对应着一个确定的实数xn 则得到一个序列 x1 x2 x3 xn 这一序列叫做数列 记为xn 其中第n项xn叫做数列的一般项 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 例如 当n无限增大时 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a 则常数a称为数列xn的极限 或称数列xn收敛a 记为v数列极限的通俗定义上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology当n无限增大时 xn无限接近于a 当n无限增大时|xna|无限接近于0 当n无限增大时|xna|可以任意小 要多小就能有多小当n增大到一定程度以后|xna|能小于事先给定的任意小的正数分析 因此 如果 n 增大到一定程度以后|xna|能小于事先给定的任意小的正数 则当n无限增大时 xn无限接近于常数a 当n无限增大时 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a 则数列xn收敛a上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv数列极限的精确定义 设xn为一数列 如果存在常数a 对于任意给定的正数 总存在正整数N 使得当nN 时 不等式|xna|都成立 则称常数a是数列xn的极限 或者称数列xn收敛于a 记为 如果不存在这样的常数a 就说数列xn没有极限 极限定义的简记形式 0,NN 当nN时 有|xna|.上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyaa-a()v数列极限的几何意义 0,NN 当nN时 有|xna|.存在 NN 当nN时 点xn全都落在邻域(a-a)内 任意给定a的邻域(a-a)上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology分析:要使 只须 即 例1证明 0,NN 当nN时 有|xna|.证明:因为0 当nN时 有 所以 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology分析:证明 0,NN 当nN时 有|xna|.例2 证明 要使 只须 因为0 当 nN 时 有 所以 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology分析:例3 设|q|1 证明等比数列1 q q2 qn1 的极限是0 对于 0 要使|xn0|=|qn10|=|q|n1log|q|1就可以了|qn10|=|q|n10 存在充分大的正整数 N 使当nN时 同时有|xna|2ab=及|xnb|上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 1 如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界 发散的数列是否一定无界?有界的数列是否收敛?2 数列1 1 1 1 (1)N1 的有界性与收敛如何？讨论 二、收敛数列的性质v定理1(极限的唯一性)如果数列xn收敛 那么它的极限唯一 v定理2(收敛数列的有界性)如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology二、收敛数列的性质v定理1(极限的唯一性)如果数列xn收敛 那么它的极限唯一 v定理2(收敛数列的有界性)如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界 v定理3(收敛数列的保号性)如果数列xn收敛于a,且a0(或a0)那么存在正整数N 当nN时 有xn0(或xn0)推论 如果数列xn从某项起有xn0(或xn0)且数列xn收敛于a 那么a0(或a0)上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology注:在数列xn中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序 这样得到的一个数列称为原数列xn的子数列 v定理4(收敛数列与其子数列间的关系)如果数列xn收敛于a那么它的任一子数列也收敛 且极限也是a 例如 数列xn 1 1 1 1 (1)n1 的一个子数列为x2n 1 1 1 (1)2n1 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 1 数列的子数列如果发散 原数列是否发散?2 数列的两个子数列收敛 但其极限不同 原数列的收敛性如何?3 发散的数列的子数列都发散吗？4 如何判断数列1 1 1 1 (1)N1 是发散的？v定理4(收敛数列与其子数列间的关系)如果数列xn收敛于a那么它的任一子数列也收敛 且极限也是a讨论上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology总结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质:有界性、唯一性、子数列的收敛性.