全等三角形常见辅助线作法.ppt

知识要点：知识要点：判断三角形全等公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL 如果题目给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理来进行分析，先推导出所先推导出所缺的条件然后再证明缺的条件然后再证明。一些较难的证明题要添加适当的辅助线添加适当的辅助线构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。构造辅助线的方法：构造辅助线的方法：1截长补短法。截长补短法。2平行线法（或平移法）：平行线法（或平移法）：若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt,有时可作出斜边的中线。3倍长中线法：倍长中线法：题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。4翻折法：翻折法：若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形。1截长补短法（通常用来证明线段和差相等）截长补短法（通常用来证明线段和差相等）“截长法截长法”即把结论中最大的线段根据已知条件分成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法“补短法补短法”为把两条线段中的一条补长成为一条长线段，然后证明补成的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长的一段，然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等。例例1、如图、如图AC BD，EA、EB分别平分分别平分 CAB、DBA，CD过点过点E，求证：，求证：AB=AC+BD.分析：本题是线段和差问题的证明，基本方法是截长补短法，即在分析：本题是线段和差问题的证明，基本方法是截长补短法，即在ABAB上截取上截取AFAF，使，使AF=ACAF=AC，这样，只要证明，这样，只要证明FB=BDFB=BD即可，于是将问题转化为证明两线段相等。即可，于是将问题转化为证明两线段相等。答案答案证明：证明：在在AB上取点上取点F，使，使AF=AC，连接，连接EF EA平分平分 CABCAE=FAECAEFAE（SAS）C=AFE AC BDC+D=180又又AFE+BFE=180D=BFE EB平分平分 ABDEBF=EBDBFEBDE（AAS）BD=BF AB=AF+BF AB=AC+BD分析过程：分析过程：要证：要证：AB=AC+BD需证：需证：AC=AF、BD=BF要证：要证：AC=AF、BD=BF需证：需证：BFEBDE要证：要证：BFEBDE需证：需证：D=BFE要证：要证：D=BFE需证：需证：C=AFE要证：要证：C=AFE需证：需证：CAEFAE注：注：（1 1）若分别延长）若分别延长ACAC和和BEBE，相交于点，相交于点G G，能否证明结论成立？如能，请你证明，能否证明结论成立？如能，请你证明，如不能，请说明理由。如不能，请说明理由。（2 2）本题中）本题中E E点是否是点是否是CDCD的中点，如是，请证明。的中点，如是，请证明。（3 3）本题的大前提）本题的大前提ACBDACBD不变，而在以下四个条件：不变，而在以下四个条件：EAEA是是BACBAC的平分线，的平分线，EBEB是是ABDABD的平分线，的平分线，E E是是CDCD的中点，的中点，AB=AC+BDAB=AC+BD中，任取两个作为已知条件，中，任取两个作为已知条件，另外两个作为结论，命题是否成立？请你说明理由。另外两个作为结论，命题是否成立？请你说明理由。证明证明：例例1 1已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分线，角平分线，AD=CDAD=CD，求证：，求证：A+C=180A+C=180DABCE在在BC上截取上截取BE，使，使BE=AB，连结，连结DE。BD是是 ABC的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）（角平分线定义）在在 ABD和和 EBD中中 AB=EB（已知）（已知）1=2（已证）（已证）BD=BD（公共边）（公共边）ABDEBD（S.A.S）1243 3+4180（平角定义），（平角定义），A 3（已证）（已证）A+C180 （等量代换）（等量代换）3 32 21 1*A 3（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）AD=CD（已知），（已知），AD=DE（已证）（已证）DE=DC（等量代换）（等量代换）4=C（等边对等角）（等边对等角）AD=DE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）证明证明:例例2 2已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分线，角平分线，AD=CDAD=CD，求证：，求证：A+C=180A+C=180DABCF延长延长BA到到F，使，使BF=BC，连结，连结DF。BD是是 ABC的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）（角平分线定义）在在 BFD和和 BCD中中 BF=BC（已知）（已知）1=2（已证）（已证）BD=BD（公共边）（公共边）BFDBCD（S.A.S）1243 F C（已证）（已证）4=C（等量代换）（等量代换）3 32 21 1*F C（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）AD=CD（已知），（已知），DF=DC（已证）（已证）DF=AD（等量代换）（等量代换）4=F（等边对等角）（等边对等角）3+4180 （平角定义）（平角定义）A+C180 （等量代换）（等量代换）DF=DC（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）练习练习1、在、在RT ABC中，中，BAC=90，AB=AC，BD平分平分 ABC，CE BD，求证，求证BD=2CE.练习练习2、已知，如图：在、已知，如图：在 ABC中，中，C=2 B，1=2，求证：，求证：AB=AC+CD.2平行线法（或平移法）平行线法（或平移法）如果题目中含有中点，可以通过中点作平题目中含有中点，可以通过中点作平行线或中位线行线或中位线对于对于Rt,有时可作出斜边的中线有时可作出斜边的中线例例2、如图，、如图，ABC中，中，ABAC。E是是AB上异于上异于A、B的任意一点，延长的任意一点，延长AC到到D，使，使CDBE，连接，连接DE交交BC于于F。求证：。求证：EFFD。3倍长中线法倍长中线法如果题中条件有中线，可将中线延长一倍，如果题中条件有中线，可将中线延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。在一个三角形内。如何利用三角形的中线来构造全等三角形？如何利用三角形的中线来构造全等三角形？复习：复习：可可以以利利用用倍倍长长中中线线法法，即即把把中中线线延长一倍，来构造全等三角形。延长一倍，来构造全等三角形。如图，若如图，若AD为为 ABC的中线，的中线，必有结论必有结论：ABCDE12 延长延长AD到到E，使，使DE=AD，连结连结BE（也可连结（也可连结CE）。）。ABDECD，1=E，B=2，EC=AB，CE AB。例例1、如图、如图1，AD是是 ABC的中线，求证：的中线，求证：ABAC2AD例例2、如图，、如图，AD为为 ABC的中线，的中线，ADB、ADC的的平分线交平分线交AB、AC于于E、F。求证：。求证：BE+CFEF 分析：本题中已知分析：本题中已知D D为为BCBC的中点，要证的中点，要证BEBE、CFCF、EFEF间的不等关系，可利用点间的不等关系，可利用点D D将将BEBE旋转，使这三条线段在同一个三角形内。旋转，使这三条线段在同一个三角形内。4翻折法翻折法沿角平分线翻折构造全等三角形沿角平分线翻折构造全等三角形沿高线翻折构造全等三角形沿高线翻折构造全等三角形绕点旋转构造全等三角形绕点旋转构造全等三角形 可以利用角平分线所在可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。来构造全等三角形。如何利用三角形的角平分线来构如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？造全等三角形？问题：问题：如图，在如图，在 ABC中，中，AD平分平分 BAC。方法一：方法一：ABCDE必有结论：必有结论：在在AB上上截截取取AE=AC，连结，连结DE。ADEADC。ED=CD，3 3*2 21 1 AED=C，ADE=ADC。方法二：方法二：ABCDF延延 长长 AC到到 F，使使AF=AB，连结，连结DF。必有结论：必有结论：ABDAFD。BD=FD，如何利用三角形的角平分线来构如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？造全等三角形？问题：问题：3 3*2 21 1 如图，在如图，在 ABC中，中，AD平分平分 BAC。可以利用角平分线所在可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。来构造全等三角形。B=F，ADB=ADF。练习练习1 1如图，已知如图，已知ABCABC中，中，ADAD是是BACBAC的角平分线，的角平分线，AB=AC+CDAB=AC+CD，求证：，求证：C=2BC=2BABCDE122 21 1证明证明:在在AB上截取上截取AE，使，使AE=AC，连结，连结DE。AD是是 BAC的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）（角平分线定义）在在 AED和和 ACD中中 AE=AC（已知）（已知）1=2（已证）（已证）AD=AD（公共边）（公共边）AEDACD（S.A.S）3B=4（等边对等角）（等边对等角）4*C 3（全等三角形的对应角相等（全等三角形的对应角相等)又又 AB=AC+CD=AE+EB（已知）（已知）EB=DC=ED（等量代换）（等量代换）3=B+4=2 B（三（三角形的一个外角等于和它角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）不相邻的两个内角和）C=2 B（等量代换）（等量代换）ED=CD（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）练习练习1 1如图，已知如图，已知ABCABC中，中，ADAD是是BACBAC的角平分线，的角平分线，AB=AC+CDAB=AC+CD，求证：，求证：C=2BC=2BABCDF12证明证明:延长延长AC到到F，使，使CF=CD，连结，连结DF。AD是是 BAC的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）（角平分线定义）AB=AC+CD，CF=CD（已知）（已知）AB=AC+CF=AF（等量代换）（等量代换）ACB=2 F（三角形的（三角形的一个外角等于和它不相邻一个外角等于和它不相邻的两个内角和）的两个内角和）ACB=2 B（等量代换）（等量代换）32 21 1*在在 ABD和和 AFD中中 AB=AF（已证）（已证）1=2（已证）（已证）AD=AD（公共边）（公共边）ABDAFD（S.A.S）F B（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）CF=CD（已知）（已知）B=3（等边对等角）（等边对等角）例例1、如图，在、如图，在 ABC中，中，1 2，ABC2 C。求证：求证：ABBDAC。例例2、如图，在、如图，在 ABC中，中，AD BC于于D，BAD CAD。求。求证：证：ABAC。例例3、如图，正方形、如图，正方形ABCD中，中，1 2，Q在在DC上，上，P在在BC上。求证：上。求证：PAPBDQ。