带电粒子在磁场中运动模型分类解析.doc

高三一轮复习资料之磁场部分——解鸿志 试试就能行！争争就能赢！
带电粒子在磁场中运动模型分类
摘要：带电粒子在磁场中的运动问题，综合性较强，解这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的知识，又要运用数学知识（尤其是几何中的圆知识，切线、弦、相交、相切、磁场的圆、轨迹的圆），并构建粒子运动的物理学模型，归纳出带电粒子在磁场中的题目类型，总结得出求解此类问题的一般方法与规律。
模型1 同源异速率同向运动的带电粒子
模型2 同源等速率异向运动的带电粒子
模型3 异源等速率同向运动的带电粒子
关键词：带电粒子 圆周运动 模型 轨迹
带电粒子在磁场中的运动是高中物理的一个难点，也是高考的热点。在历年的高考试题中几乎年年都有这方面的考题；这部分内容从本质上讲是一个力学问题，应根据力学问题的研究思路和运用力学的基本规律求解。带电粒子在磁场中的运动问题，综合性较强，解这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的知识，又要运用数学知识（尤其是几何中的圆知识，切线、弦、相交、相切、磁场的圆、轨迹的圆），并构建粒子运动的物理学模型，归纳出带电粒子在磁场中的题目类型，总结得出求解此类问题的一般方法与规律。
特别关注：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动具有对称性。应用对称性可以快速地确定运动的轨迹。
① 带电粒子如果从一直线边界进入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，入射速度方向、出射速度方向与边界的夹角相等；
② 在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。
笔者在指导高三复习过程中，对带电粒子在磁场中的运动问题进行专题复习，探究解题方法，在复习本专题时，应掌握洛仑兹力产生的条件、大小的计算、方向的判定以及速度有关、永不做功两个特点的基础上，重点放在带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动等问题上，而这类问题往往与力学知识结合在一起考查学生的综合分析能力。下面按照带电粒子在磁场中的运动模型，对这类问题进行分类解析，供参考。
一、求解带电粒子在复合场中运动的基本思路
1．对带电粒子进行受力分析，特别注意电场力和磁场力的特点
2．分析带电粒子在场中运动的图景
3．抽象出运动模型
图1
4．利用运动物理规律对带电粒子运动进行数学描述，建立相关的几何关系方程
5．建立方程求解并验证
二、带电粒子在磁场中运动的物理模型
模型1 同源异速率同向运动的带电粒子
带电粒子从同一粒子源O沿垂直于磁场B的方向，以同一方向、大小不同的速率入射，所有粒子在磁场中的运动轨迹圆内切于粒子源O，如图1所示。
图2
【例1】如图2所示，长为L的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B，板间距离也为L，板不带电.现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场,欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（ ）
A.使粒子的速度v <
B.使粒子的速度v >
C.使粒子的速度v >
D.使粒子的速度 < v <
图3
【解析】由左手定则可判定粒子在磁场中向上偏，做匀速圆周运动。很明显，以同一方向、大小不同的速率入射，所有粒子在磁场中的运动轨迹圆内切于一点，圆周运动的半径大于某一值r1时，粒子可以从极板右边穿出，而小于某一值r2时，粒子可从极板的左边穿出。在下图3中，由几何知识可得：
粒子从极板右边穿出时，圆心在O点，有：

由牛顿第二定律，洛伦兹力提供向心力，
从以上两式可得
所以时，粒子能右边穿出极板，选项B正确
粒子从极板的左边穿出圆心在O/，有r2=L/4
由牛顿第二定律，洛伦兹力提供向心力，
从以上两式可得
所以时，粒子能左边穿出极板，选项A正确
答案 AB
【总结】带电粒子在洛伦兹力作用下飞出有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180o从入射界面这边反向飞出，于是形成多解，在解题时一定要考虑周全。
【例2】在边长为2a的△ABC内存在垂直纸面向里的磁感强度为B的匀强磁场,有一带正电荷量q,质量为m的粒子从距A点a的D点垂直AB方向进入磁场,如图4所示,若粒子能从AC间离开磁场,求粒子速率应满足什么条件及粒子从AC间什么范围内射出.
【解析】（1）如下图5所示，设粒子的速率为v1时，其圆轨迹正好与AC边相切于E点。
图4
由图知，在△AO1E中

由
图5
解得
由牛顿第二定律，洛伦兹力提供向心力，
得：
图6
则要粒子能从AB间离开磁场，其速率应小于v1。
（2）如右图6所示，设粒子速率为v2，其圆轨迹正好与BC边相交于F点，与AC相交于G点，易知A点即为粒子轨迹的圆心，

又由
则要粒子从AC间离开磁场，其速率应小于等于v2
综上，要粒子能从AC间离开磁场，粒子速率应满足
粒子从距A点（2-3）a～a的EG间射出。
图7
【总结】带电粒子在磁场中以不同的速度运动时，圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此可以将半径放缩，运用“放缩法”探索出临界点的轨迹，使问题得解。
模型2 同源等速率异向运动的带电粒子
带电粒子从同一粒子源O沿垂直于磁场B的方向且向各个方向，以大小相等的速率入射，所有粒子在磁场中的运动轨迹所能到达的区域是以粒子源O为圆心、2倍粒子运动的半径R（即粒子运动轨迹圆的直径）为半径的圆形区域，如图7所示。
【例3】如图8中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线,在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场.O是MN上的一点,从O点可以向磁场区域发射电荷量为+q、质量为m、速率为v的粒子,粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向,已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇,P到O点的距离为L,不计重力和粒子间的相互作用.
图8
（1）求所考察的粒子在磁场中的轨道半径.
（2）求这两个粒子从O点射入磁场的时间间隔.
【解析】（1）设粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R，
由牛顿第二定律，有 、
得
（2）如图9所示，以OP为弦可画两个半径半径相同的圆，分别表示在P点相遇的两个粒子的轨道，圆心和直径分别为O1、O2和OO1Q1、OO2Q2，在O处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向，用θ表示它们之间的夹角。
图9
由几何关系可知： 从O点射入到相遇，粒子1的路程为半个圆周加弧长 =Rθ 粒子2的路程为半个圆周减弧长=Rθ
粒子1运动的时间：
粒子2运动的时间：
两粒子射入的时间间隔：
图10
因 得
可解得：
模型3 异源等速率同向运动的带电粒子
一群带电粒子沿垂直于磁场B且垂直于同一轴线OO/的方向，以相等的速度入射，粒子所能到达的区域为以轴线OO/为中心线宽度为2倍的粒子运动轨迹圆的半径R的矩形区域，如图10所示。
【例4】如图11所示，有界匀强磁场的磁感应强度为 B，方向垂直纸面向里，MN为其左边界，磁场中放置一半径为 R的圆柱形金属圆筒，圆心 O到 MN的距离 OO1 ＝2R，圆筒轴线与磁场平行。圆筒用导线通过一个电阻 r0 接地，最初金属圆筒不带电。现有范围足够大的平行电子束以速度 υ0从很远处沿垂直于左边界 MN向右射入磁场区，已知电子质量为 m，电量为 e。
（1）若电子初速度满足 ，则在最初圆筒上没有带电时，能够打到圆筒上的电子对应 MN边界上O1两侧的范围是多大？
（2）当圆筒上电量达到相对稳定时，测量得到通过电阻r0的 电流恒为 I，忽略运动电子间的相互作用，求此时金属圆筒的电势φ和电子到达圆筒时速度υ（取无穷远处或大地电势为零）；
图11
（3）在（2）的情况下，求金属圆筒的发热功率。
【解答】（1）如图12所示，设电子进入磁场回旋轨道半径为r，由洛伦兹力提供向心力与牛顿第二定律得：

解得
大量电子从MN上不同点进人磁场轨迹如图，从O1上方P点射入的电子刚好擦过圆筒，由几何关系得：

图12

同理可得：从O1下方Q点射人的电子也刚好擦过圆筒
（2）稳定时，圆柱体上电荷不再增加，与地面电势差恒为
电势
电子从很远处射到圆柱表面时速度为，由动能定理有：

解得
（3）电流为，单位时间到达圆筒的电子数
电子所具有总能量
消耗在电阻上的功率
由能量守恒定律得圆筒发热功率
【总结】对范围的求解时关键寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半径R”， 根据题意及带电粒子匀速圆周运动的特点，准确地画出运动的大概轨迹是解题的突破点。
三、其他有界磁场的运动模型分析
一、单直线边界磁场
1．进入型：带电粒子以一定速度υ垂直于磁感应强度B进入磁场.
规律要点：

υ
θ
θ
υ
υ
O－
O＋
θ
φ＋
φ－
图1
（1）对称性：若带电粒子以与边界成θ角的速度进入磁场，则一定以与边界成θ角的速度离开磁场.如图1所示.
（2）完整性：比荷相等的正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场，则它们运动的圆弧轨道恰构成一个完整的圆；
正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场时，两粒子轨道圆弧对应的圆心角之和等于2πrad，即，且（或）.
2．射出型：粒子源在磁场中，且可以向纸面内各个方向以相同速率发射同种带电粒子.
规律要点：（以图2中带负电粒子的运动轨迹为例）
（1）最值相切：当带电粒子的运动轨迹小于圆周时且与边界相切（如图2中a点），则切点为带电粒子不能射出磁场的最值点（或恰能射出磁场的临界点）；
图2
d
S
b
O2
O1
a
O
（2）最值相交：当带电粒子的运动轨迹大于或等于圆周时，直径与边界相交的点（图2中的b点）为带电粒子射出边界的最远点.
图2中，在ab之间有带电粒子射出，设ab距离为x，粒子源到磁场边界的距离为d，带电粒子的质量为m，速度为υ，则

图3
d
O2
O1
a
b
υ
S

二、双直线边界磁场
规律要点：
最值相切：当粒子源在一条边界上向纸面内各个方向以相同速率发射同一种粒子时，粒子能从另一边界射出的上、下最远点对应的轨道分别与两直线相切.图3所示.
对称性：过粒子源S的垂线为ab的中垂线.
在图3中，ab之间有带电粒子射出，可求得

最值相切规律可推广到矩形区域磁场中.
　图4
例1．一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad宽为L，现从ad中点O垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为方向与ad边夹角为30°，如图4所示。已知粒子的电荷量为q，质量为m（重力不计）。
（1）若粒子带负电，且恰能从d点射出磁场，求的大小；
（2）若粒子带正电，使粒子能从ab边射出磁场，求的取值范围以及此范围内粒子在磁场中运动时间t的范围。
　图5
O3
O2
O1
60°
解析：此例包括单直线边界进入型、双直线边界中的最值相切两种类型。（1）为单直线边界进入型，由图5可知：O1为轨道圆心，由于对称性，速度的偏转角θ1＝60°，故轨道半径
据， 则
（2）当最大时，轨道与cd相切：
，得R1=L
则
B
O
r
R
b
a
O’
υ
υ
图6
当最小时，轨道与ab相切：
，得
则
θ
B
R
b
a
O
υ
υ
r
图7

带电粒子从ab边射出磁场，当速度为时，运动时间最短。

速度为时，运动时间最长

r1
O’
r
r
υ
υ
r2
图8
B
b
a
O
∴粒子运动时间t的范围
三、圆形边界
1．圆形磁场区域：
（1）相交于圆心：带电粒子沿指向圆心的方向进入磁场，则出磁场时速度矢量的反向延长线一定过圆心，即两速度矢量相交于圆心；如图6.
（2）直径最小：带电粒子从圆与某直径的一个交点射入磁场则从该直径与圆的另一交点射出时，磁场区域最小.如图7所示.
2．环状磁场区域：
（1）带电粒子沿（逆）半径方向射入磁场，若能返回同一边界，则一定逆（沿）半径方向射出磁场；
图9
m
υ
（2）最值相切：如图8，当带电粒子的运动轨迹与圆相切时，粒子有最大速度υm或磁场有最小磁感应强度B.
例2．地磁场可以“屏蔽”来自太空的带电粒子，防止这些高速运动的带电粒子对地球带来的危害.在高能物理实验中，为了避免宇宙射线中的带电粒子对实验的影响，可在实验装置外加磁场予以屏蔽.如图9所示，半径为r2的圆管形实验通道为实验中高能带电粒子的通道，在r2到r1的圆环形加有匀强磁场.假设来自太空的带电粒子的最大速度为υ，粒子均沿半径方向射入磁场区，为了使这些粒子均不能进入实验通道，则磁感应强度B至少为多大？已知带电粒子的质量均为m，电荷量均为-q.
解析：要使带电粒子不进入实验通道，则粒子运动的轨道只能与半径为r2的内圆相切，如图8，因此由几何关系可得
①
②
联立解得　，即

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