河南省安阳市第三中学2025-2026学年初三1月联考数学试题试卷含解析.doc

河南省安阳市第三中学2025-2026学年初三1月联考数学试题试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则AC的长是（　　）

A．12 B．14 C．16 D．18
2．为了增强学生体质，学校发起评选“健步达人”活动，小明用计步器记录自己一个月（30天）每天走的步数，并绘制成如下统计表：
步数（万步）
1.0
1.2
1.1
1.4
1.3
天数
3
3
5
7
12
在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（　　）
A．1.3，1.1 B．1.3，1.3 C．1.4，1.4 D．1.3，1.4
3．已知关于的方程，下列说法正确的是
A．当时，方程无解
B．当时，方程有一个实数解
C．当时，方程有两个相等的实数解
D．当时，方程总有两个不相等的实数解
4．随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
6．一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，点C、D是线段AB上的两点，点D是线段AC的中点．若AB=10cm，BC=4cm，则线段DB的长等于（　　）

A．2cm B．3cm C．6cm D．7cm
8．已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为( ).
A．12 B．10 C．8 D．6
9．下列各数中，无理数是（　　）
A．0 B． C． D．π
10．已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　）
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧交边DC于点E，则的长度为______．

12．已知代数式2x﹣y的值是，则代数式﹣6x+3y﹣1的值是_____．
13．如图,正△的边长为，点、在半径为的圆上,点在圆内,将正绕点逆时针针旋转，当点第一次落在圆上时，旋转角的正切值为_______________

14．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab=_____．
15．已知抛物线与直线在之间有且只有一个公共点，则的取值范围是__．
16．一组数据7，9，8，7，9，9，8的中位数是__________
17．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动一个单位，依次得到点P1（0，1）；P2（1，1）；P3（1，0）；P4（1，﹣1）；P5（2，﹣1）；P6（2，0）……，则点P2019的坐标是_____．

三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）如图：△PCD是等腰直角三角形，∠DPC=90°，∠APB=135°
求证：（1）△PAC∽△BPD；
（2）若AC=3，BD=1，求CD的长．

19．（5分）在□ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE，求证：AC=DE。

20．（8分）观察下列算式：
① 1 × 3 - 22 =" 3" - 4 = -1
② 2 × 4 - 32 =" 8" - 9 = -1
③3 × 5 - 42 =" 15" - 16 = -1
④
……
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；
（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
21．（10分）中华文化，源远流长，在文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：
（1）本次调查了　 　名学生，扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为　 　度，并补全条形统计图；
（2）此中学共有1600名学生，通过计算预估其中4部都读完了的学生人数；
（3）没有读过四大古典名著的两名学生准备从四大固定名著中各自随机选择一部来阅读，求他们选中同一名著的概率．

22．（10分）为了加强学生的安全意识，某校组织了学生参加安全知识竞赛．从中抽取了部分学生成绩（得分数取正整数，满分为100分）进行统计，绘制统计频数分布直方图（未完成）和扇形图如下，请解答下列问题：
（1）A组的频数a比B组的频数b小24，样本容量　 　，a为　 　：
（2）n为　 　°，E组所占比例为　 　%：
（3）补全频数分布直方图；
（4）若成绩在80分以上优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀学生有　 　名．

23．（12分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．求证：DF是BF和CF的比例中项；在AB上取一点G，如果AE•AC=AG•AD，求证：EG•CF=ED•DF．

24．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，连结AE、BD且AE=AB．
求证：∠ABE=∠EAD；若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．
参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、C
【解析】

延长线段BN交AC于E.
∵AN平分∠BAC，∴∠BAN=∠EAN.
在△ABN与△AEN中，
∵∠BAN=∠EAN，AN=AN，∠ANB=∠ANE=90∘，
∴△ABN≌△AEN(ASA)，∴AE=AB=10，BN=NE.
又∵M是△ABC的边BC的中点，∴CE=2MN=2×3=6，
∴AC=AE+CE=10+6=16.故选C.
2、B
【解析】
在这组数据中出现次数最多的是1.1，得到这组数据的众数；把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个数的平均数是中位数．
【详解】
在这组数据中出现次数最多的是1.1，即众数是1.1．
要求一组数据的中位数，把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个两个数都是1.1，所以中位数是1.1．
故选B．
本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．
3、C
【解析】
当时，方程为一元一次方程有唯一解．
当时，方程为一元二次方程，的情况由根的判别式确定：
∵，
∴当时，方程有两个相等的实数解，当且时，方程有两个不相等的实数解．综上所述，说法C正确．故选C．
4、D
【解析】
先求出两次掷一枚硬币落地后朝上的面的所有情况，再根据概率公式求解.
【详解】
随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后情况如下：

至少有一次正面朝上的概率是，
故选：D.
本题考查了随机事件的概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率.
5、D
【解析】
根据多边形的内角和=（n﹣2）•180°，列方程可求解.
【详解】
设所求多边形边数为n，
∴（n﹣2）•180°＝1080°，
解得n＝8.
故选D.
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理.
6、B
【解析】
朝上的数字为偶数的有3种可能，再根据概率公式即可计算.
【详解】
依题意得P（朝上一面的数字是偶数）=
故选B.
此题主要考查概率的计算，解题的关键是熟知概率公式进行求解.
7、D
【解析】
【分析】先求AC,再根据点D是线段AC的中点，求出CD，再求BD.
【详解】因为，AB=10cm，BC=4cm，
所以，AC=AB-BC=10-4=6（cm）
因为，点D是线段AC的中点，
所以，CD=3cm,
所以，BD=BC+CD=3+4=7（cm）
故选D
【点睛】本题考核知识点：线段的中点，和差.解题关键点：利用线段的中点求出线段长度.
8、B
【解析】
利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．
【详解】
解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．
故选：B．
本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容．
9、D
【解析】
利用无理数定义判断即可.
【详解】
解：π是无理数，
故选：D.
此题考查了无理数，弄清无理数的定义是解本题的关键.
10、B
【解析】
试题分析： ∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，
∴22﹣4m+3m=0，m=4，
∴x2﹣8x+12=0，
解得x1=2，x2=1．
①当1是腰时，2是底边，此时周长=1+1+2=2；
②当1是底边时，2是腰，2+2＜1，不能构成三角形．
所以它的周长是2．
考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、
【解析】
试题解析：连接AE，

在Rt三角形ADE中，AE=4，AD=2，
∴∠DEA=30°，
∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠DEA=30°，
∴的长度为：=.
考点：弧长的计算.
12、
【解析】
由题意可知：2x-y=，然后等式两边同时乘以-3得到-6x+3y=-，然后代入计算即可．
【详解】
∵2x-y=，
∴-6x+3y=-．
∴原式=--1=-．
故答案为-．
本题主要考查的是求代数式的值，利用等式的性质求得-6x+3y=-是解题的关键．
13、
【解析】
作辅助线，首先求出∠DAC的大小，进而求出旋转的角度，即可得出答案．
【详解】
如图，分别连接OA、OB、OD；

∵OA=OB= ，AB=2，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°；
同理可证：∠OAD=45°，
∴∠DAB=90°；
∵∠CAB=60°，
∴∠DAC=90°−60°=30°，
∴旋转角的正切值是，
故答案为：.
此题考查等边三角形的性质，旋转的性质，点与圆的位置关系，解直角三角形，解题关键在于作辅助线.
14、1
【解析】
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【详解】∵点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），点A与点B关于原点O对称，
∴a=﹣4，b=﹣3，
则ab=1，
故答案为1．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的两点的横、纵坐标互为相反数是解题的关键.
15、或．
【解析】
联立方程可得，设，从而得出的图象在上与x轴只有一个交点，当△时，求出此时m的值；当△时，要使在之间有且只有一个公共点，则当x=-2时和x=2时y的值异号，从而求出m的取值范围；
【详解】
联立
可得：，
令，
抛物线与直线在之间有且只有一个公共点，
即的图象在上与x轴只有一个交点，
当△时，
即△
解得：，
当时，

当时，
，满足题意，
当△时，
令，，
令，，
，

令代入
解得：，
此方程的另外一个根为：，
故也满足题意，
故的取值范围为：或
故答案为: 或.
此题考查的是根据二次函数与一次函数的交点问题，求函数中参数的取值范围，掌握把函数的交点问题转化为一元二次方程解的问题是解决此题的关键．
16、1
【解析】
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此可得．
【详解】
解：将数据重新排列为7、7、1、1、9、9、9，
所以这组数据的中位数为1，
故答案为1．
本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义．
17、（673，0）
【解析】
由P3、P6、P9 可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为，纵坐标为0，据此可解．
【详解】
解：由P3、P6、P9 可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为，纵坐标为0，
∵2019÷3＝673，
∴P2019 （673，0）
则点P2019的坐标是 （673，0）．
故答案为 （673，0）．
本题属于平面直角坐标系中找点的规律问题，找到某种循环规律之后，可以得解．本题难度中等偏上.

三、解答题（共7小题，满分69分）
18、（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）由△PCD是等腰直角三角形，∠DPC=90°，∠APB=135°，可得∠PAB=∠PBD，∠BPD=∠PAC，从而即可证明；
（2）根据相似三角形对应边成比例即可求出PC=PD=，再由勾股定理即可求解．
【详解】
证明：（1）∵△PCD是等腰直角三角形，∠DPC=90°，∠APB=135°，
∴∠APC+∠BPD=45°，
又∠PAB+∠PBA=45°，∠PBA+∠PBD=45°，
∴∠PAB=∠PBD，∠BPD=∠PAC，
∵∠PCA=∠PDB，
∴△PAC∽△BPD；
（2）∵，PC=PD，AC=3，BD=1
∴PC=PD=，
∴CD=．
本题考查了相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形，属于基础题，关键是掌握相似三角形的判定方法．
19、见解析
【解析】
在DABC和DEAD中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行的性质和等边对等角得出∠B＝∠DAE证得DABC≌DEAD，继而证得AC＝DE.
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠AEB.
∵AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B.
∴∠B＝∠DAE.
∵在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△EAD(SAS)，
∴AC=DE.
本题主要考查了平行四边形的基本性质和全等三角形的判定及性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
20、⑴；
⑵答案不唯一.如；
⑶

.
【解析】
（1）根据①②③的算式中，变与不变的部分，找出规律，写出新的算式；
（2）将（1）中，发现的规律，由特殊到一般，得出结论；
（3）一定成立．利用整式的混合运算方法加以证明．
21、（1）40、126（2）240人（3）
【解析】
（1）用2部的人数10除以2部人数所占的百分比25％即可求出本次调查的学生数，根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°，即可得到“1部”所在扇形的圆心角；
（2）用1600乘以4部所占的百分比即可；
（3）根据树状图所得的结果，判断他们选中同一名著的概率．
【详解】
（1）调查的总人数为：10÷25%=40，
∴1部对应的人数为40﹣2﹣10﹣8﹣6=14，
则扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为：×360°=126°；

故答案为40、126；
（2）预估其中4部都读完了的学生有1600×=240人；
（3）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D，
画树状图可得：

共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，
故P（两人选中同一名著）==．
本题考查了扇形统计图和条形统计图的综合，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率.解答此类题目，要善于发现二者之间的关联点，即两个统计图都知道了哪个量的数据，从而用条形统计图中的具体数量除以扇形统计图中占的百分比，求出样本容量，进而求解其它未知的量.
22、（1）200；16（2）126；12%（3）见解析（4）940
【解析】
分析：（1）由于A组的频数比B组小24，而A组的频率比B组小12%，则可计算出调查的总人数，然后计算a和b的值；（2）用360度乘以D组的频率可得到n的值，根据百分比之和为1可得E组百分比；（3）计算出C和E组的频数后补全频数分布直方图；(4）利用样本估计总体，用2000乘以D组和E组的频率和即可．
本题解析：
（）调查的总人数为，
∴，
，
（）部分所对的圆心角，即，
组所占比例为：，
（）组的频数为，组的频数为，
补全频数分布直方图为：

（），
∴估计成绩优秀的学生有人．
点睛：本题考查了频数（率）分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，要认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了用样本估计总体.
23、证明见解析
【解析】
试题分析：（1）根据已知求得∠BDF=∠BCD，再根据∠BFD=∠DFC，证明△BFD∽△DFC，从而得BF：DF=DF：FC，进行变形即得；
（2）由已知证明△AEG∽△ADC，得到∠AEG=∠ADC=90°，从而得EG∥BC，继而得 ，
由（1）可得 ，从而得 ，问题得证.
试题解析：（1）∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，
∵CD是Rt△ABC的高，∴∠ADC=∠BDC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，
∵E是AC的中点，
∴DE=AE=CE，∴∠A=∠EDA，∠ACD=∠EDC，
∵∠EDC+∠BDF=180°-∠BDC=90°，∴∠BDF=∠BCD，
又∵∠BFD=∠DFC，
∴△BFD∽△DFC，
∴BF：DF=DF：FC，
∴DF2=BF·CF；
（2）∵AE·AC=ED·DF，
∴ ，
又∵∠A=∠A，
∴△AEG∽△ADC，
∴∠AEG=∠ADC=90°，
∴EG∥BC，
∴ ，
由（1）知△DFD∽△DFC，
∴ ，
∴ ，
∴EG·CF=ED·DF.
24、（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
（1）根据平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EAD，根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB，即可得证．
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB=∠DBE，然后求出∠ABD=∠ADB，再根据等角对等边求出AB=AD，然后利用邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【详解】
证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD．
∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB．
∴∠ABE=∠EAD．
（2）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBE．
∵∠ABE=∠AEB，∠AEB=2∠ADB，
∴∠ABE=2∠ADB．
∴∠ABD=∠ABE－∠DBE=2∠ADB－∠ADB=∠ADB．
∴AB=AD．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．