湖南长沙市芙蓉区铁路一中学重点达标名校2026届初三下第一次（4月）月考数学试题含解析.doc

湖南长沙市芙蓉区铁路一中学重点达标名校2026届初三下第一次（4月）月考数学试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知⊙O1与⊙O2的半径分别是3cm和5cm，两圆的圆心距为4cm，则两圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．内切 C．外离 D．内含
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=5，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度的一半为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则△ACD的周长为（　　）

A．13 B．17 C．18 D．25
3．化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
4．下面的几何图形是由四个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是(　　)
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2=a6 B．（2a）3=6a3
C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．3a2﹣a2=2a2
6．将一副三角板（∠A＝30°）按如图所示方式摆放，使得AB∥EF，则∠1等于（　　）

A．75° B．90° C．105° D．115°
7．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD为（ ）

A．30° B．50° C．60° D．70°
8．下列运算正确的是（　　）
A．（a2）4=a6 B．a2•a3=a6 C． D．
9．下列计算正确的是（　　）
A．2x+3x=5x B．2x•3x=6x C．（x3）2=5 D．x3﹣x2=x
10．如图，AB∥CD，直线EF与AB、CD分别相交于E、F，AM⊥EF于点M，若∠EAM=10°，那么∠CFE等于（　　）

A．80° B．85° C．100° D．170°
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．4是_____的算术平方根．
12．分解因式： ．
13．从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数图象上的概率是 ．
14．有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是
15．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，请根据这组数的规律写出第10个数是______．
16．抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有交点，则m的取值范围是_____．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）如图，AB是半圆O的直径，D为弦BC的中点，延长OD交弧BC于点E，点F为OD的延长线上一点且满足∠OBC＝∠OFC，求证：CF为⊙O的切线；若四边形ACFD是平行四边形，求sin∠BAD的值．

18．（8分）某校九年级数学测试后，为了解学生学习情况，随机抽取了九年级部分学生的数学成绩进行统计，得到相关的统计图表如下．
成绩/分
120﹣111
110﹣101
100﹣91
90以下
成绩等级
A
B
C
D
请根据以上信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽取了　 　名学生的数学成绩，补全频数分布直方图；
（2）若该校九年级有1000名学生，请据此估计该校九年级此次数学成绩在B等级以上（含B等级）的学生有多少人？
（3）根据学习中存在的问题，通过一段时间的针对性复习与训练，若A等级学生数可提高40%，B等级学生数可提高10%，请估计经过训练后九年级数学成绩在B等级以上（含B等级）的学生可达多少人？

19．（8分）已知：如图所示，在中，，，求和的度数.

20．（8分）已知：如图，在矩形纸片ABCD中，，，翻折矩形纸片，使点A落在对角线DB上的点F处，折痕为DE，打开矩形纸片，并连接EF．
的长为多少；
求AE的长；
在BE上是否存在点P，使得的值最小？若存在，请你画出点P的位置，并求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

21．（8分）如图，小明的家在某住宅楼AB的最顶层（AB⊥BC），他家的后面有一建筑物CD（CD∥AB），他很想知道这座建筑物的高度，于是在自家阳台的A处测得建筑物CD的底部C的俯角是43°，顶部D的仰角是25°，他又测得两建筑物之间的距离BC是28米，请你帮助小明求出建筑物CD的高度（精确到1米）．

22．（10分）解不等式组，并写出其所有的整数解．
23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．
（1）求证：∠G=∠CEF；
（2）求证：EG是⊙O的切线；
（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG =，AH=3，求EM的值．

24．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F．连接OC．
（1）若∠G=48°，求∠ACB的度数；
（1）若AB=AE，求证：∠BAD=∠COF；
（3）在（1）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S1．若tan∠CAF=，求的值．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、A
【解析】
试题分析：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为5cm和3cm，圆心距O1O2=4cm，5﹣3＜4＜5+3，
∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知⊙O1与⊙O2相交．
故选A．
考点：圆与圆的位置关系．
2、C
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=5，根据勾股定理求得AB=13.根据题意可知，EF为线段AB的垂直平分线，在Rt△ABC中，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CD=AD=AB，所以△ACD的周长为AC+CD+AD=AC+AB=5+13=18.故选C.
3、D
【解析】
将除法变为乘法，化简二次根式，再用乘法分配律展开计算即可.
【详解】
原式=×=×（+1）=2+.
故选D.
本题主要考查二次根式的加减乘除混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题关键.
4、C
【解析】
试题分析：观察可得，只有选项C的主视图和左视图相同，都为，故答案选C.
考点：简单几何体的三视图.
5、D
【解析】
试题分析：根据同底数幂相乘，底数不变指数相加求解求解；
根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘求解；
根据完全平方公式求解；
根据合并同类项法则求解．
解：A、a3•a2=a3+2=a5，故A错误；
B、（2a）3=8a3，故B错误；
C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故C错误；
D、3a2﹣a2=2a2，故D正确．
故选D．
点评：本题考查了完全平方公式，合并同类项法则，同底数幂的乘法，积的乘方的性质，熟记性质与公式并理清指数的变化是解题的关键．
6、C
【解析】
分析：依据AB∥EF，即可得∠BDE=∠E=45°，再根据∠A=30°，可得∠B=60°，利用三角形外角性质，即可得到∠1=∠BDE+∠B=105°．
详解：∵AB∥EF，
∴∠BDE=∠E=45°，
又∵∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴∠1=∠BDE+∠B=45°+60°=105°，
故选C．
点睛：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
7、C
【解析】
试题分析：连接BD，∵∠ACD=30°，∴∠ABD=30°，
∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°﹣∠ABD=60°．
故选C．

考点：圆周角定理
8、C
【解析】
根据幂的乘方、同底数幂的乘法、二次根式的乘法、二次根式的加法计算即可.
【详解】
A、原式=a8，所以A选项错误；
B、原式=a5，所以B选项错误；
C、原式= ，所以C选项正确；
D、与不能合并，所以D选项错误．
故选：C．
本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、二次根式的乘法、二次根式的加法，熟练掌握它们的运算法则是解答本题的关键.
9、A
【解析】
依据合并同类项法则、单项式乘单项式法则、积的乘方法则进行判断即可．
【详解】
A、2x＋3x＝5x，故A正确；
B、2x•3x＝6x2，故B错误；
C、（x3）2＝x6，故C错误；
D、x3与x2不是同类项，不能合并，故D错误．
故选A．
本题主要考查的是整式的运算，熟练掌握相关法则是解题的关键．
10、C
【解析】
根据题意，求出∠AEM,再根据AB∥CD，得出∠AEM与∠CFE互补，求出∠CFE．
【详解】
∵AM⊥EF，∠EAM=10°
∴∠AEM=80°
又∵AB∥CD
∴∠AEM+∠CFE=180°
∴∠CFE=100°．
故选C．
本题考查三角形内角和与两条直线平行内错角相等．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、16.
【解析】
试题解析：∵42=16，
∴4是16的算术平方根．
考点：算术平方根．
12、
【解析】
分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：．
13、．
【解析】
试题分析：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，点（m，n）恰好在反比例函数图象上的有：（2，3），（﹣1，﹣6），（3，2），（﹣6，﹣1），∴点（m，n）在函数图象上的概率是：=．故答案为．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征；列表法与树状图法．
14、．
【解析】
分别求出从1到6的数中3的倍数的个数，再根据概率公式解答即可．
【详解】
有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，共有6种结果，其中卡片上的数是3的倍数的有3和6两种情况，所以从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是．
故答案为
考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
15、1
【解析】
解：3=2+1；
5=3+2；
8=5+3；
13=8+5；
…
可以发现：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．
则第8个数为13+8=21；
第9个数为21+13=34；
第10个数为34+21=1．
故答案为1．
点睛：此题考查了数字的有规律变化，解答此类题目的关键是要求学生通对题目中给出的图表、数据等认真进行分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题．此类题目难度一般偏大．
16、m≤1．
【解析】
由抛物线与x轴有交点可得出方程x1+1x+m-1=0有解，利用根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【详解】
∴关于x的一元二次方程x1+1x+m−1=0有解，
∴△=11−4(m−1)=8−4m≥0，
解得：m≤1.
故答案为：m≤1.
本题考查的知识点是抛物线与坐标轴的交点，解题的关键是熟练的掌握抛物线与坐标轴的交点.

三、解答题（共8题，共72分）
17、 (1)见解析;(2).
【解析】
（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠B，∠OCB=∠F，根据垂径定理得到OF⊥BC，根据余角的性质得到∠OCF=90°，于是得到结论；
（2）过D作DH⊥AB于H，根据三角形的中位线的想知道的OD=AC，根据平行四边形的性质得到DF=AC，设OD=x，得到AC=DF=2x，根据射影定理得到CD=x，求得BD=x，根据勾股定理得到AD=x，于是得到结论．
【详解】
解：（1）连接OC，

∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∵∠B=∠F，
∴∠OCB=∠F，
∵D为BC的中点，
∴OF⊥BC，
∴∠F+∠FCD=90°，
∴∠OCB+∠FCD=90°，
∴∠OCF=90°，
∴CF为⊙O的切线；
（2）过D作DH⊥AB于H，
∵AO=OB，CD=DB，
∴OD=AC，
∵四边形ACFD是平行四边形，
∴DF=AC，
设OD=x，
∴AC=DF=2x，
∵∠OCF=90°，CD⊥OF，
∴CD2=OD•DF=2x2，
∴CD=x，
∴BD=x，
∴AD=x，
∵OD=x，BD=x，
∴OB=x，
∴DH=x，
∴sin∠BAD==．
本题考查了切线的判定和性质，平行四边形的性质，垂径定理，射影定理，勾股定理，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
18、（1）1人；补图见解析；（2）10人；（3）610名.
【解析】
（1）用总人数乘以A所占的百分比，即可得到总人数；再用总人数乘以A等级人数所占比例可得其人数，继而根据各等级人数之和等于总人数可得D等级人数，据此可补全条形图；
（2）用总人数乘以（A的百分比+B的百分比），即可解答；
（3）先计算出提高后A，B所占的百分比，再乘以总人数，即可解答．
【详解】
解：（1）本次调查抽取的总人数为15÷=1（人），
则A等级人数为1×=10（人），D等级人数为1﹣（10+15+5）=20（人），
补全直方图如下：

故答案为1．
（2）估计该校九年级此次数学成绩在B等级以上（含B等级）的学生有1000×=10（人）；
（3）∵A级学生数可提高40%，B级学生数可提高10%，
∴B级学生所占的百分比为：30%×（1+10%）=33%，A级学生所占的百分比为：20%×（1+40%）=28%，
∴1000×（33%+28%）=610（人），
∴估计经过训练后九年级数学成绩在B以上（含B级）的学生可达610名．
考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19、，.
【解析】
根据等腰三角形的性质即可求出∠B，再根据三角形外角定理即可求出∠C.
【详解】
在中，，
∵，在三角形中，
，
又∵，在三角形中，
∴.
此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等边对等角.
20、（1）；（2）的长为；（1）存在，画出点P的位置如图1见解析，的最小值为 ．
【解析】
（1）根据勾股定理解答即可；
（2）设AE=x，根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可；
（1）延长CB到点G，使BG=BC，连接FG，交BE于点P，连接PC，利用相似三角形的判定和性质解答即可．
【详解】
（1）∵矩形ABCD，∴∠DAB=90°，AD=BC=1．在Rt△ADB中，DB．
故答案为5；

（2）设AE=x．
∵AB=4，∴BE=4﹣x，在矩形ABCD中，根据折叠的性质知：
Rt△FDE≌Rt△ADE，∴FE=AE=x，FD=AD=BC=1，∴BF=BD﹣FD=5﹣1=2．在Rt△BEF中，根据勾股定理，得FE2+BF2=BE2，即x2+4=（4﹣x）2，解得：x，∴AE的长为；
（1）存在，如图1，延长CB到点G，使BG=BC，连接FG，交BE于点P，连接PC，则点P即为所求，此时有：PC=PG，∴PF+PC=GF．
过点F作FH⊥BC，交BC于点H，则有FH∥DC，∴△BFH∽△BDC，∴，即，∴，∴GH=BG+BH．在Rt△GFH中，根据勾股定理，得：GF，即PF+PC的最小值为．
本题考查了四边形的综合题，涉及了折叠的性质、勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质等知识，知识点较多，难度较大，解答本题的关键是掌握设未知数列方程的思想．
21、39米
【解析】
过点A作AE⊥CD，垂足为点E， 在Rt△ADE中，利用三角函数求出的长，在Rt△ACE中，求出的长即可得.
【详解】
解：过点A作AE⊥CD，垂足为点E，
由题意得，AE= BC=28，∠EAD＝25°，∠EAC＝43°，
在Rt△ADE中，∵，∴，
在Rt△ACE中，∵，∴，
∴（米），
答：建筑物CD的高度约为39米．

22、不等式组的解集为1≤x＜2，该不等式组的整数解为1，2，1．
【解析】
先求出不等式组的解集，即可求得该不等式组的整数解．
【详解】

由①得，x≥1，
由②得，x＜2．
所以不等式组的解集为1≤x＜2，
该不等式组的整数解为1，2，1．
本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
23、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
试题分析：（1）由AC∥EG，推出∠G=∠ACG，由AB⊥CD推出，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可证明；
（2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；
（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明△AHC∽△MEO，可得，由此即可解决问题；
试题解析：（1）证明：如图1．∵AC∥EG，∴∠G=∠ACG，∵AB⊥CD，∴，∴∠CEF=∠ACD，∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，∴△ECF∽△GCE．

（2）证明：如图2中，连接OE．∵GF=GE，∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线．

（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．

在Rt△AHC中，tan∠ACH=tan∠G==，∵AH=，∴HC=，在Rt△HOC中，∵OC=r，OH=r﹣，HC=，∴，∴r=，∵GM∥AC，∴∠CAH=∠M，∵∠OEM=∠AHC，∴△AHC∽△MEO，∴，∴，∴EM=．
点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．
24、（1）48°（1）证明见解析（3）
【解析】
（1）连接CD，根据圆周角定理和垂直的定义可得结论；
（1）先根据等腰三角形的性质得：∠ABE=∠AEB，再证明∠BCG=∠DAC，可得 ，则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结论；
（3）过O作OG⊥AB于G，证明△COF≌△OAG，则OG=CF=x，AG=OF，设OF=a，则OA=OC=1x-a，根据勾股定理列方程得：（1x-a）1=x1+a1，则a=x，代入面积公式可得结论．
【详解】
（1）连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠BCD=90°，
∵AD⊥CG，
∴∠AFG=∠G+∠BAD=90°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠ACB=∠G=48°；
（1）∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∵∠ABC=∠G+∠BCG，∠AEB=∠ACB+∠DAC，
由（1）得：∠G=∠ACB，
∴∠BCG=∠DAC，
∴，
∵AD是⊙O的直径，AD⊥PC，
∴，
∴，
∴∠BAD=1∠DAC，
∵∠COF=1∠DAC，
∴∠BAD=∠COF；
（3）过O作OG⊥AB于G，设CF=x，
∵tan∠CAF== ，
∴AF=1x，
∵OC=OA，由（1）得：∠COF=∠OAG，
∵∠OFC=∠AGO=90°，
∴△COF≌△OAG，
∴OG=CF=x，AG=OF，
设OF=a，则OA=OC=1x﹣a，
Rt△COF中，CO1=CF1+OF1，
∴（1x﹣a）1=x1+a1，
a=x，
∴OF=AG=x，
∵OA=OB，OG⊥AB，
∴AB=1AG=x，
∴．

圆的综合题，考查了三角形的面积、垂径定理、角平分线的性质、三角形全等的性质和判定以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据圆周角定理找出∠ACB+∠BCD=90°；（1）根据外角的性质和圆的性质得：；（3）利用三角函数设未知数，根据勾股定理列方程解决问题．