数值分析--第7章 非线性方程与方程组的数值解法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,7,章 非线性方程与方程组的数值解法,7.1,方程求根与二分法,7.2,不动点迭代法及其收敛性,7.3,迭代收敛的加速方法,7.4,牛顿法,7.5,弦截法与抛物线法,7.6,求根问题的敏感性与多项式的零点,7.7,非线性方程组的数值解法,7.1,方程求根与二分法,7.1.1,引言,（,1.1,）,本章主要讨论求解单变量非线性方程,其中 也可以是无穷区间,.,如果实数 满足 ，则称 是方程,(1.1),的,根,，或称 是 的,零点,.,2,若 可分解为,其中 为正整数，且 则称 为方程,(1.1),的,重根,，或 为 的,重零点,，时为,单根,.,若 是 的 重零点，且 充分光滑，则,如果函数 是多项式函数，即,（,1.2,）,其中 为实数，则称方程,(1.1),为,次代数方程,.,3,它在整个 轴上有无穷多个解，若 取值范围不同，解也,不同，因此讨论非线性方程,(1.1),的求解必须强调 的定,义域，即 的求解区间,时的求根公式是熟知的，时的求根公式,可在数学手册中查到，但比较复杂不适合数值计算，当,时就不能用公式表示方程的根，所以 时求根仍用一般,的数值方法,根据代数基本定理可知,次方程在复数域有且只有,个根（含重根，重根为 个根）,.,另一类是超越方程，例如,4,迭代法要求先给出根 的一个近似，若 且 ，根据连续函数性质可知 在 内至少有一个实根，这时称 为方程,(1.1),的有根区间,.,非线性问题一般不存在直接的求解公式，故没有直接,方法求解，都要使用迭代法,.,通常可通过逐次搜索法求得方程 的有根区间,.,5,例,1,求方程 的有根区间,.,解,根据有根区间定义，对 的根进行搜索计算，结果如下：,由此可知方程的有根区间为,6,检查 与 是否同号，,如果同号，说明所求的根 在,的右侧,这时令,否则 必在 的左侧，,这时令,见图,7-1.,考察有根区间,，,取中点 将它分为,两半，,7.1.2,二分法,假设中点 不是 的零点，然后进行根的搜索,.,图,7-1,不管出现哪一种情况，新的有根区间 的长度仅,为 的一半,.,7,对压缩了的有根区间 又可施行同样的手续，即用,中点 将区间 再分为两半，然后通过根,的搜索判定所求的根在 的哪一侧，从而又确定一个新的,有根区间 ，其长度是 的一半,.,如此反复二分下去，即可得出一系列有根区间,其中每个区间都是前一个区间的一半，因此 的长度,当 时趋于零,.,8,就是说，如果二分过程无限地继续下去，这些区间最终必收缩于一点 ，该点显然就是所求的根,.,作为根的近似，则在二分过程中可以获得一个近似根的序列,该序列必以根 为极限,.,每次二分后，设取有根区间 的中点,9,由于,只要二分足够多次（即 充分大），便有,这里 为预定的精度,.,（,1.3,）,10,例,2,求方程,在区间 内的一个实根，要求准确到小数点后第,2,位,.,解,这里 ，而,取 的中点 ，将区间二等分，由于 ，,即 与 同号，故所求的根 必在 右侧，这时应令,，而得到新的有根区间,如此反复二分下去,按误差估计（,1.3,）式,欲使,（,1.3,）,只需 ，即只要二分,6,次，便能达到预定的精度,.,11,计算结果如表,7-2.,12,二分法是计算机上的一种常用算法，计算步骤为,：,步骤,1,准备,计算 在有根区间 端点处的值,步骤,2,二分,计算 在区间中点 处的值,步骤,3,判断,若 ，则 即是根，,计算过程结束，否则检验,.,若,，,则以 代替,，,否则以,代替,.,13,此时中点 即为所求近似根,.,误差 ，,反复执行步骤,2,和步骤,3,，直到区间 长度小于允许,14,7.2,不动点迭代法及其收敛性,7.2.1,不动点与不动点迭代法,将方程（,1.1,）改写成等价的形式,（,2.1,）,若 满足,，,则 ；,反之亦然，称,为函数 的一个,不动点,.,求 的零点就等价于求 的不动点,.,选择一个初始近似值 ，将它代入,(2.1),右端，即可求得,（,1.1,）,15,如此反复迭代计算,（,2.2,）,称为迭代函数,.,如果对任何 ，由（,2.2,）得到的序列 有极限,则称迭代方程,(2.2),收敛，且 为 的不动点，,故称（,2.2,）为,不动点迭代法,.,16,方程 的求根问题在 平面上就是要确定曲,线 与直线 的交点,对于 的某个近似值,，,在曲线 上可确定,一点,，,它以 为横坐标，而纵坐标则等于,就是说，迭代过程实质上是一个逐步显示化的过程,.,过 引平行 轴的直线，设此直线交直线 于点 ，,然后过 再作平行于 轴的直线，,与曲线 的交点,上述迭代法是一种逐次逼近法，其基本思想是将隐式,方程 归结为一组显式的计算公式,.,17,则点 的横坐标为 ，,图,7-2,记作 ，,纵坐标则等于,按图,7-2,中箭头所示的路径继续做下去,.,在曲线 上得到点列，,其横坐标分别为,18,例,3,求方程,（,2.3,）,在 附近的根,解,设将方程（,2.3,）改写成下列形式,依公式 求得的迭代值,如果点列 趋向于点,，,则相应的迭代值 收敛,到所求的根,据此建立迭代公式,19,各步迭代的结果见表,7-3.,这时可以认为 实际上已满足方程,(2.3),，即为所求的根,.,如果仅取,6,位数字，那么结果 与 完全相同，,（,2.3,）,20,但若采用方程（,2.3,）的另一种等价形式,建立迭代公式,仍取迭代初值 ，则有,结果会越来越大，不可能趋于某个极限,.,这种不收敛的迭代过程称作是,发散,的,.,如图,7-3.,一个发散的迭代过程，纵使进行了千百次迭代，其结果也是毫无价值的,.,图,7-3,21,7.2.2,不动点的存在性与迭代法的收敛性,首先考察 在 上不动点的存在唯一性,.,定理,1,设 满足以下两个条件：,1.,对任意 有,2.,存在正常数,，,使对任意 都有,（,2.4,）,则 在 上存在唯一的不动点,22,因 ，,以下设 及 ，,若 或,，,则不动点为 或 ，,存在性得证,.,定义函数,显然 ，,由连续函数性质可知存在,且满足,使,即,即为 的不动点,.,证明,先证不动点存在性,.,23,再证唯一性,.,设 都是 的不动点，,引出矛盾,.,故 的不动点只能是唯一的,.,则由,(2.4),得,（,2.4,）,24,（,2.5,）,定理,2,设 满足定理,1,中的两个条件，则,对任意 ，由（,2.2,）得到的迭代序列 收敛到,的不动点 ，并有误差估计,证明,设 是 在 上的唯一不动点，,由条件，可知 ，再由（,2.4,）得,因,，,故当 时序列 收敛到,.,（,2.4,）,（,2.2,）,25,再证明估计式（,2.5,），,由（,2.4,）有,（,2.6,）,反复递推得,于是对任意正整数 有,（,2.5,）,（,2.4,）,26,在上式令,，,注意到 即得式（,2.5,）,.,迭代过程是个极限过程,.,在用迭代法实际计算时，必须按精度要求控制迭代次数,.,原则上可以用误差估计式（,2.5,）确定迭代次数，但由,于它含有信息 而不便于实际应用,.,根据式（,2.6,），对任意正整数 有,在上式中令 知,（,2.6,）,（,2.5,）,27,由此可见，只要相邻两次计算结果的偏差,足够小即可保证近似值 具有足够精度,.,对定理,1,和定理,2,中的条件,2,，如果,且对任意 有,（,2.7,）,则由中值定理可知对 有,表明定理中的条件,2,可用（,2.7,）代替,.,28,例,3,中，当 时，,在区间 中，故（,2.7,）成立,.,又因 ，故定理,1,中条件,1,也成立,.,所以迭代法是收敛的,.,而当 时，在区间 中,不满足定理条件,.,（,2.7,）,29,7.2.3,局部收敛性与收敛阶,上面给出了迭代序列 在区间 上的收敛性，,定理的条件有时不易检验，实际应用时通常只在不动点 的邻近考察其收敛性，即局部收敛性,.,定义,1,设 有不动点 ，如果存在 的某个邻域,对任意 ，迭代（,2.2,）产生的序列,且收敛到 ，则称迭代法（,2.2,）,局部收敛,.,通常称为全局收敛性,.,（,2.2,）,30,证明,由连续函数的性质，存在 的某个邻域,使对于任意 成立,定理,3,设 为 的不动点，在 的某个邻,域连续，且 ，则迭代法（,2.2,）局部收敛,.,此外，,对于任意 ，,总有 ，,于是依据定理,2,可以断定迭代过程 对于任意,初值 均收敛,.,这是因为,（,2.2,）,31,讨论迭代序列的收敛速度,.,例,4,用不同方法求方程 的根,解,这里 ，可改写为各种不同的等价形式,其不动点为 由此构造不同的迭代法：,32,取 ，对上述,4,种迭代法，计算三步所得的结果如下表,.,33,从计算结果看到迭代法（,1,）及（,2,）均不收敛，且它们均不满足定理,3,中的局部收敛条件,.,注意,.,迭代法（,3,）和（,4,）均满足局部收敛条件，且迭代法（,4,）比（,3,）收敛快，因在迭代法（,4,）中,.,34,定义,2,设迭代过程 收敛于方程,的根 ，如果迭代误差 当 时成立下列,渐近关系式,则称该迭代过程是,阶收敛,的,.,特别地,时称,线性收敛,，,时称,超线性收敛,，,时称,平方收敛,.,35,定理,4,对于迭代过程 ，如果 在所,求根 的邻近连续，并且,则该迭代过程在点 邻近是 阶收敛的,.,（,2.8,）,证明,由于 ，据定理,3,立即可以断定迭代,过程 具有局部收敛性,.,再将 在根 处做泰勒展开，利用条件（,2.8,），,则有,36,注意到 ，,因此对迭代误差，,当 时有,（,2.9,）,这表明迭代过程 确实为 阶收敛,.,由上式得,上述定理说明，迭代过程的收敛速度依赖于迭代函数,的选取,.,如果当 时 ，则该迭代过程只可能是线性收敛,.,37,在例,4,中，迭代法（,3,）的,，,故它只是线性,收敛,.,而迭代法（,4,）的 ，而,由定理,4,知 ，该迭代过程为,2,阶收敛,.,38,7.3,迭代收敛的加速方法,7.3.1,埃特金加速收敛方法,设 是根 的某个近似值，,用迭代公式迭代一次得,由微分中值定理，有,其中 介于 与 之间,.,假定 改变不大，近似地取某个近似值 ，,（,3.1,）,则有,39,由于,将它与（,3.1,）式联立，消去未知的 ，,由此推知,在计算了 及 之后，可用上式右端作为 的新近,似，记作,.,若将校正值 再迭代一次，又得,有,（,3.1,）,40,一般情形是由 计算 ，,(3.2),称为埃特金（,Aitken,）加速方法,.,可以证明,它表明序列 的收敛速度比 的收敛速度快,.,（,3.2,）,记,41,7.3.2,斯蒂芬森迭代法,埃特金方法不管原序列 是怎样产生的，对 进,行加速计算，得到序列,.,如果把埃特金加速技巧与不动点迭代结合，则可得到,如下的迭代法：,称为斯蒂芬森,(,Steffensen,),迭代法,.,（,3.3,）,42,它的理解为，要求 的根 ，,已知 的近似值 及 ，其误差分别为,过 及 两点做线性插值函数,.,它与 轴交点就是（,3.3,）中的 ，即方程,的解,令,（,3.3,）,43,实际上（,3.3,）是将不动点迭代法（,2.2,）计算两步合,并成一步得到的，可将它写成另一种不动点迭代,（,3.4,）,其中,（,3.5,）,（,2.2,）,（,3.3,）,44,定理,5,若 为（,3.5,）定义的迭代函数 的不动点，,则 为 的不动点,.,反之，若 为 的不动点，,设 存在，则 是 的不动点，,且斯蒂芬森迭代法（,3.3,）是,2,阶收敛的,.,解,例,3,中已指出,下列迭代,是发散的，现用,(3.3),计算，取,.,例,5,用斯蒂芬森迭代法求解方程,计算结果如下表,.,（,3.5,）,（,3.3,）,45,至于原来已收敛的迭代法（,2.2,），由定理,5,可知它可达到,2,阶收敛,.,计算表明它是收敛的，这说明即使迭代法（,2.2,）不收,敛，用斯蒂芬森迭代法（,3.3,）仍可能收敛,.,46,更进一步还可知若（,2.2,）为 阶收敛，则（,3.3,）为,阶收敛,.,例,6,求方程 在 中的解,.,解,由方程得等价形式 ，取对数得,由此构造迭代法,且当 时，,由于,根据定理,2,此迭代法是收敛的,.,（,2.2,）,（,3.3,）,47,若取 迭代,16,次得,，,有六位有效数,字,.,若用（,3.3,）进行加速，计算结果如下：,这里计算,2,步（相当于（,2.2,）迭代,4,步）结果与 相同，,说明用迭代法（,3.3,）的收敛速度比迭代法（,2.2,）快得多,.,48,7.4,牛顿法,7.4.1,牛顿法及其收敛性,设已知方程 有近似根,（,假定,),，,将函数 在点 展开，有,于是方程 可近似地表示为,（,4.1,）,牛顿法是一种线性化方法，,其基本思想是将非线性方程,逐步归结为某种线性方程来求解,.,49,这是个线性方程，记其根为 ，,则 的计算公式为,（,4.2,）,这就是,牛顿,(,Newton,),法,.,牛顿法的几何解释,.,方程 的根 可解释为,曲线 与 轴的交点的横坐标,图,7-4,（图,7-4).,50,设 是根 的某个近似值，过曲线 上横坐标为 的点 引切线，并将该切线与 轴的交点的横坐标 作为 的新的近似值,.,注意到切线方程为,这样求得的值 必满足（,4.1,），从而就是牛顿公式,（,4.2,）的计算结果,.,由于这种几何背景，牛顿法亦称,切线法,.,由定理,4,，可以直接得到牛顿法的收敛性，,（,4.2,）,（,4.1,）,51,由于,假定 是 的一个单根，,即 ，,则由上式知 于是依据定理,4,可以断定，牛顿法,在根 的邻近是平方收敛的,.,(4.2),的迭代函数为,又因,（,4.2,）,52,故由（,2.9,）可得,（,4.3,）,例,7,用牛顿法解方程,（,4.4,）,解,这里牛顿公式为,取迭代初值,，,迭代结果列于表,7-6,中,.,所给方程（,4.4,）实际上是方程 的等价形式,.,（,2.9,）,53,牛顿法的计算步骤：,步骤,1,准备,选定初始近似值 ，计算,步骤,2,迭代,按公式,迭代一次，,得新的近似值 ，,若用不动点迭代到同一精度,可见牛顿法的收敛速度是很快的,.,要迭代,17,次,.,计算,54,此处 是允许误差，而,其中 是取绝对误差或相对误差的控制常数，,步骤,4,修改,如果迭代次数达到预先指定的次数 ，,步骤,3,控制,如果 满足 或 ，,则终止迭代，以 作为所求的根；否则转步骤,4.,一般可取,55,或者 ，则方法失败；,否则以 代替 转步骤,2,继续迭代,.,56,7.4.2,牛顿法应用举例,对于给定的正数,，,应用牛顿法解二次方程,可导出求开方值 的计算程序,（,4.5,）,这种迭代公式对于任意初值 都是收敛的,.,事实上，对（,4.5,）式施行配方手续，易知,57,以上两式相除得,据此反复递推有,（,4.6,）,记,58,解,取初值 ，,对 按,(4.5),式迭代,3,次便得到精度为 的结果（见表,7-8).,对任意 ，,总有 ，故由上式推知，当,时 ，即迭代过程恒收敛,.,例,8,求,.,整理（,4.6,）式，得,（,4.6,）,（,4.5,）,59,由于公式（,4.5,）对任意初值 均收敛，并且收,敛的速度很快，因此可取确定的初值如 编成通用程序,.,（,4.5,）,60,7.4.3,简化牛顿法与牛顿下山法,牛顿法的优点是收敛快，缺点一是每步迭代要计算,及 ，计算量较大且有时 计算较困难，,为克服这两个缺点，通常可用下述方法,.,（,1,）简化牛顿法，,也称平行弦法,.,其迭代公式为,（,4.7,）,迭代函数,二是初始近似 只在根 附近才能保证收敛，如,给的不合适可能不收敛,.,61,若在根 附近成立,，,即取,则迭代法（,4.7,）局部收敛,.,在（,4.7,）中取,，,则称为,简化牛顿法,，,这类方法计算量省，但只有线性收敛，,其几何意义是用平行弦与 轴交,点作为 的近似,.,如图,7-5,所示,.,图,7-5,即,62,（,2,）牛顿下山法,.,牛顿法收敛性依赖初值 的选取,.,如果 偏离所求根 较远，则牛顿法可能发散,.,例如，用牛顿法求方程,（,4.8,）,在 附近的一个根,.,设取迭代初值,，,用牛顿法公式,（,4.9,）,计算得,63,迭代,3,次得到的结果 有,6,位有效数字,.,但如果改用 作为迭代初值，则依牛顿法公式,（,4.9,）迭代一次得,这个结果反而比 更偏离了所求的根,.,为了防止迭代发散，对迭代过程再附加一项要求，即,具有单调性：,（,4.10,）,满足这项要求的算法称,下山法,.,（,4.9,）,64,将牛顿法与下山法结合起来使用，即在下山法保证函,数值稳定下降的前提下，用牛顿法加快收敛速度,.,将牛顿法的计算结果,与前一步的近似值 适当加权平均作为新的改进值,（,4.11,）,其中 称为下山因子，,（,4.12,）,(4.12),称为,牛顿下山法,.,（,4.11,）即为,65,选择下山因子时从 开始，逐次将 减半进行试算，,若用此法解方程（,4.8,），当 时由（,4.9,）求得,直到能使下降条件（,4.10,）成立为止,.,，,它不满足条件（,4.10,）,.,通过 逐次取半进行试算，当 时可求得,此时有 ，,显然,.,而,由 计算 时,均能使条件（,4.10,）,成立,.,计算结果如下：,（,4.10,）,（,4.9,）,（,4.8,）,66,即为 的近似,.,一般情况只要能使条件（,4.10,）成立，,则可得到 ，从而使 收敛,.,（,4.10,）,67,7.4.4,重根情形,设,，,整数 ，,则 为方程 的 重根，此时有,只要 仍可用牛顿法（,4.2,）计算，此时迭代函数,的导数为,且,，,所以牛顿法求重根只是线性收敛,.,（,4.2,）,68,则,.,（,4.13,）,求 重根，则具有,2,阶收敛，但要知道 的重数,.,构造求重根的迭代法，还可令,，,若 是 的 重根，则,若取,用迭代法,69,从而可构造迭代法,（,4.14,）,它是二阶收敛的,.,故 是 的单根,.,对它用牛顿法，其迭代函数为,70,例,9,方程 的根 是二重根，,用上述三种方法求根,.,解,（,1,）牛顿法,先求出三种方法的迭代公式：,（,2,）用（,4.13,）式,（,3,）用（,4.14,）式,取初值,，,计算结果如表,7-9.,（,4.13,）,71,从结果看出，经过三步计算，方法（,2,）及（,3,）均达到,10,位有效数字，而由于牛顿法只有线性收敛，所以要达到同,样精度需迭代,30,次,.,72,7.5,弦截法与抛物线法,当函数 比较复杂时，计算 往往较困难，,值 的计算,.,为此可以利用已求函数值 来回避导数,还要算,.,用牛顿法求方程 的根，每步除计算 外，,73,7.5.1,弦截法,设 是 的近似根，,利用,构造一次插值多项式 ，并用 的根作为新的,近似根,.,（,5.1,）,由于,因此有,（,5.2,）,74,（,5.2,）可以看做将牛顿公式,中的导数 用差商 取代的结果,.,接着讨论几何意义,.,曲线 上横坐标为 的点分别记为 ，,则弦线 的斜率等于差商值,（,5.2,）,75,按（,5.2),式求得的 实际上是弦线 与 轴交点的横坐标,.,表,7-6,这种算法因此而称为,弦截法,.,其方程为,（,5.2,）,76,而弦截法（,5.2,），在求 时要用到前面两步的结果 ，,弦截法与切线法（牛顿法）都是线性化方法，但两者,有本质的区别,.,切线法在计算 时只用到前一步的值,.,因此使用这种方法必须先给出两个开始值,.,例,10,用弦截法解方程,解,设取 作为,开始值，用弦截法求得的结果见表,7-10,，,（,5.2,）,77,实际上，弦截法具有超线性的收敛性,.,比较例,7,牛顿法的计算结果可以看出，弦截法的收敛速度也是相当快的,.,定理,6,假设 在根 的邻域 内,具有二阶连续导数，且对任意 有 ，又初值,那么当邻域,充分小时，弦截法（,5.2,）将按,阶收敛到根,.,这里 是方程 的正根,.,（,5.2,）,78,7.5.2,抛物线法,设已知方程 的三个近似根 ，,几何上，这种方法的基本思想,是用抛物线与 轴的交点 作为,所求根 的近似位置（图,7-7).,图,7-7,以这三点为节点构造二次插值多项式 ，,的一个零点 作为新的近似根，,并适当选取,这样确定的迭代过程称为,抛,物线法,，亦称,密勒（,Mller,）,法,.,79,插值多项式,有两个零点：,（,5.3,）,式中,问题是该如何确定,.,假定在 三个近似根中，更接近所求的根,.,80,为了保证精度，选（,5.3,）中较接近 的一个值作为新的近似根,.,为此，只要取根式前的符号与 的符号相同,.,例,11,用抛物线法求解方程,解,设用表,7-10,的前三个值,作为开始值，计算得,（,5.3,）,81,故,代入（,5.3,）式求得,以上计算表明，抛物线法比弦截法收敛得更快,.,在一定条件下可以证明，对于抛物线法，迭代误差有,下列渐近关系式,（,5.3,）,82,可见抛物线法也是超线性收敛的，其收敛的阶,从（,5.3,）看到，即使 均为实数，也,可以是复数，所以抛物线法适用于求多项式的实根和复根,.,收敛速度比弦截法更接近于牛顿法,.,（,5.3,）,83,7.6,求根问题的敏感性与多项式的零点,84,7.6.1,求根问题的敏感性与病态代数方程,方程求根的敏感性与函数求值是相反的，若 ，,则由 求 的病态性与由 求 的病态性相反，光滑函数,在根,附近函数绝对误差与自变量误差之比,若 ，则求根为反问题，即输入 满足,若找到一个 使,则解的误差 与,之比为 ，即 误差将,达到 ，如果 非常小，这个值就非常大，直,观的可用图,7-8,表示,.,85,图,7-8,86,对多项式方程,若系数有微小扰动其根变化很大，这种根对系数变化的敏,感性成为病态的代数方程,.,若多项式 的系数有微小变化，可表示为,其中 是一个多项式，次数不大于 的零点,表示为 ，令 为,的零点，即 ，将（,6.2,）对 求,导，可得,（,6.1,）,（,6.2,）,87,于是当 时有,当 充分小时，利用 在 处的泰勒展开得,它表明系数有微小变化 时引起根变化的情况,.,当 很大时代数方程（,6.1,）就是病态的,.,（,6.3,）,（,6.4,）,88,例,12,多项式,解,取 的根,由（,6.4,）可得,实际上，方程 的根 分别为,这说明方程是严重病态的,.,89,7.6.2,多项式的零点,很多问题要求多项式的全部零点，即方程（,6.1,）的,全部根，它等价于求,的全部根,.,前面讨论的任一种方法都可用于求出一个根 ，但通常使用牛顿法最好，可利用秦九韶算法计算 及,的值,.,（,6.5,）,90,再求 的一个根 ，,如此反,复直到求出全部 个根,.,由牛顿法 计算到,，则得到,.,由于 ，即 ，将,的次数降低一阶,.,一般地，这里,为二次多项式，在此过程中当 增加时,不精确性也增加，为了解决此困难可通过原方程,的牛顿法改进 的结果,.,91,由于 可能是复根，因此使用抛物线法对求复根更有利,.,若 为复根，记 ，则 也是一个根，,于是 是 的一个二次因,子，于是 是 阶多项式，可,降低二阶,.,即使不是复根，也可通过抛物线法求出两个实根，它,比牛顿法更优越,.,92,例,13,求 的全部零点,.,解,先用抛物线法求方程的根，取,计算到 为止,.,结果见表,7-11.,93,求得根为 ，从而可得,再由 可求得另外两根为,可对原方程 ，以此两根为初值，用牛顿法迭代一次,可得到更精确的根,94,令一种求多项式零点的方法是将其转化为求矩阵的特征,值问题,.,由于方程（,6.5,）是矩阵,的特征多项式，利用计算矩阵特征值方法求矩阵 的全部,特征值，则可得到方程（,6.5),的全部根，,MATLAB,中的,roots,函数使用的就是这种方法,.,此外还有专门针对求多项式全部零点的专门方法,.,95,7.7,非线性方程组的数值解法,96,考虑方程组,（,7.1,）,其中 均为 的多元函数,.,用向量记号记,（,7.2,）,(7.1,）就可写成,7.7.1,非线性方程组,97,的非线性函数时，称方程组（,7.1,）为,非线,性方程组,.,当,，,且 中至少有一个是自变量,例,14,求 平面上两条抛物线 及,的交点，这就是方程组（,7.1),中 的情形,.,解,当 时无解,.,当 时有唯一解,当 时有两个解,.,及,当 时有,4,个解,98,求方程组（,7.1,）的根可直接将单个方程 的求根,方法加以推广，实际上只要把单变量函数 看成向量函,数 ，将方程,(7.1,）改写为方程组,(7.2),，就可将前面,讨论的求根方法用于求方程组（,7.2,）的根,.,为此设向量函数 定义在区域 若,，则称 在,连续,，这意味着对任,意实数 ，存在实数 ，使得对满足,的 ，有,如果 在 上每点都连续，则称 在域 上连续,.,99,向量函数 的导数 称为 的,雅可比矩阵,，它表,示为,（,7.3,）,100,7.7.2,多变量方程的不动点迭代法,为了求解方程组（,7.2,），可将它改写为便于迭代的形式,（,7.4,）,其中向量函数 ，且在定义域 上连续，如果,，满足 ，称 为函数 的,不动点,，,也就是方程组（,7.2,）的一个解,.,根据（,7.4,）构造的迭代法,称为,不动点迭代法,，称为,迭代函数,.,（,7.5,）,101,如果由它产生的向量序列 满足 ，对,（,7.5,）取极限，由 的连续性可得 ，故 是,的不动点，也就是方程组（,7.2,）的一个解,.,102,类似于 时单个方程有下面的定理,.,定理,7,函数 定义在区域 ，假设：,（,1,）存在闭集 及实数 ，使,（,2,）对任意 ，有,.,则 在 有唯一不动点 ，且对任意 ，由迭代法,（,7.5,）生成的序列 收敛到 ，并有误差估计,定理的条件（,1,）称为 的压缩条件,.,（,7.6,）,（,7.7,）,103,若 是压缩的，则它也是连续的,.,条件（,2,）表明 把区,域 映入自身，此定理也称压缩映射原理,.,它是迭代法在域,的全局收敛性定理,.,类似于单个方程还有以下局部收敛定理,.,定理,8,设 在定义域内有不动点 的分量函数有,连续偏导数且,则存在 的一个邻域 ，对任意 ，迭代法（,7.5,）产,生的序列 收敛于,（,7.8,）中的 是指函数 的雅可比矩阵的谱半径,.,（,7.8,）,104,类似于一元方程迭代法也有向量序列 收敛阶的,定义，设 收敛于 ，若存在常数 及 ，使,则称 为 阶收敛,.,（,7.9,）,105,设 ，不难验证,，故有 时,.,例,15,用不动点迭代法求解方程组,解,将方程组化为（,7.4,）的形式，其中,106,又对一切 ，,于是有 ，即 满足条件（,7.6,）,.,根据定理,7,，在域 中存在唯一不动点 内任意点出,发的迭代法收敛于,.,今取 ，用迭代法（,7.5,）可求得,107,由于,对一切 都有 ，故 ，从而有,，满足定理,7,的条件,.,此外还可看到,故 ，即满足定理,8,条件,.,108,7.7.3,非线性方程组的牛顿迭代法,将单个方程的牛顿法直接用于方程组（,7.2,）则可得到,解非线性方程组的牛顿迭代法,这里 是（,7.3,）给出的雅可比矩阵的逆矩阵,.,求出向量 ，再令,.,每步包括了计算向,量函数 及矩阵,（,7.10,）,具体计算时记 ，先解方程组,109,定理,9,设 的定义域为 满足,在 的开邻域 上 存在且连续，非奇异，,则牛顿法生成的序列 在闭域 上超线性收敛于 ，,若还存在常数 ，使,则 至少平方收敛,.,牛顿法有以下收敛性定理,.,110,例,16,用牛顿法解例,15,的方程组,解,选 ，解线性方程组 ，即,111,解得 ，按牛顿迭代法（,7.10,）计算结果,如表,7-12.,112,