湖北省水果湖第二中学2026届新洲区部分高中高三下学期期末数学试题含解析.doc

湖北省水果湖第二中学2026届新洲区部分高中高三下学期期末数学试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．定义在上函数满足，且对任意的不相等的实数有成立，若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列说法中正确的是

A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点成中心对称
C．函数在单调递增
D．函数的图象向右平移后关于原点成中心对称
5．已知，则“m⊥n”是“m⊥l”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，分别是三个内角，，的对边，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知集合，，则为( )
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为，若F到直线的距离为，则E的离心率为( )
A． B． C． D．
10．若双曲线：的一条渐近线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数的图象如图所示，则可以为（ ）

A． B． C． D．
12．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计的值：先用计算机产生个数对，其中，都是区间上的均匀随机数，再统计，能与构成锐角三角形三边长的数对的个数﹔最后根据统计数来估计的值.若，则的估计值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数在的零点个数为________．
14．已知向量，，若，则______.
15． “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有________种.
16．已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球的表面上.若球的表面积为则该三棱柱的侧面积为___________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线为参数）与圆的位置关系．
18．（12分）选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.
19．（12分）如图，四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，VO⊥平面ABCD，E是棱VC的中点．

（1）求证：VA∥平面BDE；
（2）求证：平面VAC⊥平面BDE．
20．（12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，是棱上的一点，满足平面.

（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设，，若为棱上一点，使得直线与平面所成角的大小为30°，求的值.
21．（12分）如图，空间几何体中，是边长为2的等边三角形，，，，平面平面，且平面平面，为中点.

（1）证明：平面；
（2）求二面角平面角的余弦值.
22．（10分）如图，为坐标原点，点为抛物线的焦点，且抛物线上点处的切线与圆相切于点

（1）当直线的方程为时，求抛物线的方程；
（2）当正数变化时，记分别为的面积，求的最小值．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
试题分析：化简集合
故选C．
考点：集合的运算．
2．C
【解析】
函数的定义域应满足
故选C.
3．B
【解析】
结合题意可知是偶函数,且在单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数,计算最值,即可.
【详解】
结合题意可知为偶函数,且在单调递减,故
可以转换为
对应于恒成立,即
即对恒成立
即对恒成立
令,则上递增,在上递减,
所以
令,在上递减
所以.故,故选B.
本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案.
4．B
【解析】
根据函数的图象，求得函数，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案．
【详解】
根据给定函数的图象，可得点的横坐标为，所以，解得，
所以的最小正周期， 不妨令，，由周期，所以，
又，所以，所以，
令，解得，当时，，即函数的一个对称中心为，即函数的图象关于点成中心对称．故选B．
本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．
5．B
【解析】
构造长方体ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α为面ADD1A1，底面ABCD为β，然后再在这两个面中根据题意恰当的选取直线为m，n即可进行判断．
【详解】
如图，取长方体ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α为面ADD1A1，底面ABCD为β，直线=直线。

若令AD1＝m，AB＝n，则m⊥n，但m不垂直于
若m⊥，由平面平面可知，直线m垂直于平面β，所以m垂直于平面β内的任意一条直线
∴m⊥n是m⊥的必要不充分条件．
故选：B．
本题考点有两个：①考查了充分必要条件的判断，在确定好大前提的条件下，从m⊥n⇒m⊥？和m⊥⇒m⊥n？两方面进行判断；②是空间的垂直关系，一般利用长方体为载体进行分析．
6．A
【解析】
在中，设，，，结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求，可得，再由已知条件求得，，，考虑建立以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】
在中，设，，，
，即，即，，
，，，，，
，即，又，，
，则，所以，，解得，.
以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则、、，
为线段上的一点，则存在实数使得，
，
设，，则，，，
，，消去得，，
所以，，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：A.
本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解是一个单位向量，从而可用、表示，建立、与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由，发现为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值，考查计算能力，属于难题.
7．C
【解析】
原式由正弦定理化简得，由于，可求的值.
【详解】
解：由及正弦定理得.
因为，所以代入上式化简得.
由于，所以.
又，故.
故选：C.
本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.
8．C
【解析】
分别求解出集合的具体范围，由集合的交集运算即可求得答案.
【详解】
因为集合，，
所以
故选：C
本题考查对数函数的定义域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集运算，考查基本运算能力.
9．A
【解析】
由已知可得到直线的倾斜角为，有，再利用即可解决.
【详解】
由F到直线的距离为，得直线的倾斜角为，所以，
即，解得.
故选：A.
本题考查椭圆离心率的问题，一般求椭圆离心率的问题时，通常是构造关于的方程或不等式，本题是一道容易题.
10．A
【解析】
根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得的值.
【详解】
由题意知双曲线的渐近线方程为，可化为，则，解得.
故选：A
本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.
11．A
【解析】
根据图象可知，函数为奇函数，以及函数在上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出．
【详解】
首先对4个选项进行奇偶性判断，可知，为偶函数，不符合题意，排除B；
其次，在剩下的3个选项,对其在上的零点个数进行判断, 在上无零点, 不符合题意，排除D；然后,对剩下的2个选项,进行单调性判断, 在上单调递减, 不符合题意，排除C.
故选：A．
本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题．
12．B
【解析】
先利用几何概型的概率计算公式算出，能与构成锐角三角形三边长的概率，然后再利用随机模拟方法得到，能与构成锐角三角形三边长的概率，二者概率相等即可估计出.
【详解】
因为，都是区间上的均匀随机数，所以有，，若，能与构成锐角三角形三边长，
则，由几何概型的概率计算公式知，
所以.
故选：B.
本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率，考查学生的基本计算能力，是一个中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数．
【详解】
详解：

由题可知，或
解得,或
故有3个零点．
本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题．
14．1
【解析】
根据向量加法和减法的坐标运算,先分别求得与,再结合向量的模长公式即可求得的值.
【详解】
向量,
则,
则

因为
即,化简可得
解得
故答案为:
本题考查了向量坐标加法和减法的运算,向量模长的求法,属于基础题.
15．
【解析】
先分间隔一个与不间隔分类计数，再根据捆绑法求排列数,最后求和得结果.
【详解】
若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块相邻，则学习方法有种;
若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块的学习方法有种;
因此共有种.
故答案为：
本题考查排列组合实际问题，考查基本分析求解能力，属基础题.
16．
【解析】
只要算出直三棱柱的棱长即可，在中，利用即可得到关于x的方程，解方程即可解决.
【详解】

由已知，，解得，如图所示，设底面等边三角形中心为，
直三棱柱的棱长为x，则，，故，
即，解得，故三棱柱的侧面积为.
故答案为：.
本题考查特殊柱体的外接球问题，考查学生的空间想象能力，是一道中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．直线与圆C相切．
【解析】
首先把直线和圆转换为直角坐标方程，进一步利用点到直线的距离的应用求出直线和圆的位置关系．
【详解】
直线为参数），转换为直角坐标方程为．
圆转换为直角坐标方程为，转换为标准形式为，
所以圆心到直线，的距离．
直线与圆C相切．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系式的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
18．（1）；（2）
【解析】
（1）当时，将原不等式化简后两边平方，由此解出不等式的解集.（2）对分成三种情况，利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，根据单调性求得的取值范围.
【详解】
（1）时，可得，即，
化简得：，所以不等式的解集为.
（2）①当时，由函数单调性可得
，解得；
②当时，，所以符合题意；
③当时，由函数单调性可得，
，解得
综上，实数的取值范围为
本小题主要考查含有绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解，属于中档题.
19．（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）连结OE，证明VA∥OE得到答案.
（2）证明VO⊥BD，BD⊥AC，得到BD⊥平面VAC，得到证明.
【详解】
（1）连结OE．因为底面ABCD是菱形，所以O为AC的中点，
又因为E是棱VC的中点，所以VA∥OE，又因为OE⊂平面BDE，VA⊄平面BDE，
所以VA∥平面BDE；
（2）因为VO⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以VO⊥BD，
因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又VO∩AC＝O，VO，AC⊂平面VAC，
所以BD⊥平面VAC．又因为BD⊂平面BDE，所以平面VAC⊥平面BDE．
本题考查了线面平行，面面垂直，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.
20．（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由平面，可得，又因为是的中点，即得证；
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，设，计算平面的法向量，由直线与平面所成角的大小为30°，列出等式，即得解.
【详解】
（Ⅰ）如图，

连接交于点，连接，
则是平面与平面的交线，
因为平面，
故，
又因为是的中点，
所以是的中点，
故.
（Ⅱ）由条件可知，，所以，故以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，
设，
则，
设平面的法向量为，
则，即，故取
因为直线与平面所成角的大小为30°
所以，
即，
解得，故此时.
本题考查了立体几何和空间向量综合，考查了学生逻辑推理，空间想象，数学运算的能力，属于中档题.
21．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）分别取，的中点，，连接，，，，，要证明平面，只需证明面∥面即可.
（2）以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，
分别计算面的法向量，面的法向量可取，并判断二面角为锐角，再利用计算即可.
【详解】
（1）证明：分别取，的中点，，连接，，，，.
由平面平面，且交于，平面，有平面，

由平面平面，且交于，平面，有平面
，所以∥，又平面，平面，所以∥平面
，由，有，∥，又平面，平面
，所以∥平面，
由∥平面，∥平面，，所以平面∥平面，所以∥平面
（2）以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示空间直角坐标系

由面，所以面的法向量可取，
点，点，点，，，
设面的法向量，所以
，取，
二面角的平面角为，则为锐角.
所以
本题考查由面面平行证明线面平行以及向量法求二面角的余弦值，考查学生的运算能力，在做此类题时，一定要准确写出点的坐标.
22．（1）x2=4y．（2）.
【解析】
试题解析：（Ⅰ）设点P（x0，），由x2=2py（p＞0）得，y=，求导y′=，
因为直线PQ的斜率为1，所以=1且x0--√2=0，解得p=2，
所以抛物线C1的方程为x2=4y．
（Ⅱ）因为点P处的切线方程为：y-=（x-x0），即2x0x-2py-x02=0，
∴ OQ的方程为y=-x
根据切线与圆切，得d=r，即，化简得x04=4x02+4p2，
由方程组，解得Q（，），
所以|PQ|=√1+k2|xP-xQ|=
点F（0，）到切线PQ的距离是d=，
所以S1==，
S2=，
而由x04=4x02+4p2知，4p2=x04-4x02＞0，得|x0|＞2，
所以
=
=+1≥2+1，当且仅当时取“=”号，
即x02=4+2，此时，p=．
所以的最小值为2+1．
考点：求抛物线的方程，与抛物线有关的最值问题.