辽宁省辽源市鼎高级中学2026届高三下学期第二次月考试题数学试题试卷含解析.doc

辽宁省辽源市鼎高级中学2026届高三下学期第二次月考试题数学试题试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（　　）
A．12种 B．18种 C．24种 D．64种
2．二项式展开式中，项的系数为（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线，F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦，若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．函数的最小正周期是，则其图象向左平移个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合，，则集合的真子集的个数是（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
6．如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（　　）

A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省．
B．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长．
C．2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个
D．去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元．
7．函数在上为增函数，则的值可以是( )
A．0 B． C． D．
8．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：

则下列结论正确的是（ ）.
A．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加
B．与2016年相比，2019年一本达线人数减少
C．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍
D．2016年与2019年艺体达线人数相同
9．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
10．已知数列的首项，且，其中，，，下列叙述正确的是（ ）
A．若是等差数列，则一定有 B．若是等比数列，则一定有
C．若不是等差数列，则一定有 D．若不是等比数列，则一定有
11．已知全集，集合，，则阴影部分表示的集合是（ ）

A． B． C． D．
12． “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线左支交于两点，，的内切圆的圆心的纵坐标为，则双曲线的离心率为________.
14．已知，，且，则最小值为__________．
15．在直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上，且，则向量的坐标为___________.
16．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x轴上，且=, 那么椭圆的方程是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在底面为菱形的四棱柱中，平面.

（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
18．（12分）已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求直线的直角坐标方程；
（2）求曲线上的点到直线距离的最小值和最大值.
19．（12分）在极坐标系中，曲线的极坐标方程为
（1）求曲线与极轴所在直线围成图形的面积；
（2）设曲线与曲线交于，两点，求.
20．（12分）已知函数，.
（1）若对于任意实数，恒成立，求实数的范围；
（2）当时，是否存在实数，使曲线：在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
21．（12分）已知抛物线，直线与交于，两点，且.
（1）求的值；
（2）如图，过原点的直线与抛物线交于点，与直线交于点，过点作轴的垂线交抛物线于点，证明：直线过定点.

22．（10分）已知，，求证：
（1）；
（2）.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，分2步进行分析：
①，将4人分成3组，有种分法；
②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，
将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有种情况，
此时有种情况，
则有种不同的安排方法；
故选：C．
本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
2．D
【解析】
写出二项式的通项公式,再分析的系数求解即可.
【详解】
二项式展开式的通项为,令,得,故项的系数为.
故选：D
本题主要考查了二项式定理的运算,属于基础题.
3．A
【解析】
根据可知,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.
【详解】
由题意可知抛物线方程为,设点点,则由抛物线定义知,,则.
由得,则.
又MN为过焦点的弦,所以,则,所以.
故选：A
本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.
4．D
【解析】
由三角函数的周期可得，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为，再求其对称轴方程即可.
【详解】
解：函数的最小正周期是，则函数，经过平移后得到函数解析式为，由，
得，当时，.
故选D.
本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.
5．D
【解析】
转化条件得，利用元素个数为n的集合真子集个数为个即可得解.
【详解】
由题意得，
，集合的真子集的个数为个.
故选：D.
本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.
6．C
【解析】
利用图表中的数据进行分析即可求解.
【详解】
对于A选项：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A正确；
对于B选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B正确；
对于C选项：2017年第一季度GDP总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C错误；
对于D选项：去年同期河南省的GDP总量，故D正确.
故选：C.
本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.
7．D
【解析】
依次将选项中的代入，结合正弦、余弦函数的图象即可得到答案.
【详解】
当时，在上不单调，故A不正确；
当时，在上单调递减，故B不正确；
当时，在上不单调，故C不正确；
当时，在上单调递增，故D正确.
故选：D
本题考查正弦、余弦函数的单调性，涉及到诱导公式的应用，是一道容易题.
8．A
【解析】
设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为，通过简单的计算逐一验证选项A、B、C、D.
【详解】
设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为，2016年高考不上线人数为，
2019年不上线人数为，故A正确；
2016年高考一本人数，2019年高考一本人数，故B错误；
2019年二本达线人数，2016年二本达线人数，增加了
倍，故C错误；
2016年艺体达线人数，2019年艺体达线人数，故D错误.
故选：A.
本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目.
9．C
【解析】
由题意，根据二项式定理展开式的通项公式，得展开式的通项为，则展开式的通项为，由，得，所以所求的系数为.故选C.
点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出，将的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.
10．C
【解析】
根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可.
【详解】
A：当时，，显然符合是等差数列，但是此时不成立，故本说法不正确；
B：当时，，显然符合是等比数列，但是此时不成立，故本说法不正确；
C：当时，因此有常数，因此是等差数列，因此当不是等差数列时，一定有，故本说法正确；
D：当 时，若时，显然数列是等比数列，故本说法不正确.
故选：C
本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.
11．D
【解析】
先求出集合N的补集，再求出集合M与的交集，即为所求阴影部分表示的集合.
【详解】
由，，可得或，
又
所以.
故选：D.
本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题.
12．B
【解析】
或，从而明确充分性与必要性.
【详解】
，
由可得：或，
即能推出，
但推不出
∴“”是“”的必要不充分条件
故选
本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．2
【解析】
由题意画出图形，设内切圆的圆心为，圆分别切于，可得四边形为正方形,再由圆的切线的性质结台双曲线的定义，求得的内切圆的圆心的纵坐标,结合已知列式，即可求得双曲线的离心率.
【详解】

设内切圆的圆心为，圆分别切于，连接，
则，故四边形为正方形，边长为圆的半径，
由，，得，
与重合，
，，即——①
，——②
联立①②解得：，
又因圆心的纵坐标为，
.
故答案为：
本题考查双曲线的几何性质，考查数形结合思想与运算求解能力,属于中档题.
14．
【解析】
首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.
【详解】
，
结合可知原式，
且
，
当且仅当时等号成立.
即最小值为.
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
15．
【解析】
点在的平分线可知与向量共线，利用线性运算求解即可.
【详解】
因为点在的平线上，
所以存在使，
而，
可解得，
所以，
故答案为：
本题主要考查了向量的线性运算，利用向量的坐标求向量的模，属于中档题.
16．
【解析】
由题意可设椭圆方程为：
∵短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在轴上
∴
又，
∴，
∴椭圆的方程为，
故答案为．
考点：椭圆的标准方程，解三角形以及解方程组的相关知识．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）由已知可证，即可证明结论；
（2）根据已知可证平面，建立空间直角坐标系，求出坐标，进而求出平面和平面的法向量坐标，由空间向量的二面角公式，即可求解.
【详解】
方法一：（1）依题意，且∴，
∴四边形是平行四边形，∴，
∵平面，平面，
∴平面.
（2）∵平面，∴，
∵且为的中点，∴，
∵平面且，
∴平面，
以为原点，分别以为轴、轴、轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
∴
设平面的法向量为，
则，∴，取，则.
设平面的法向量为，
则，∴，取，则.
∴，
设二面角的平面角为，则，
∴二面角的正弦值为.
方法二：（1）证明：连接交于点，
因为四边形为平行四边形，所以为中点，
又因为四边形为菱形，所以为中点，
∴在中，且，
∵平面，平面，
∴平面
（2）略，同方法一.
本题主要考查线面平行的证明，考查空间向量法求面面角，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养，属于中档题.
18．（1）（2）最大值；最小值.
【解析】
（1）结合极坐标和直角坐标的互化公式可得；
（2）利用参数方程，求解点到直线的距离公式，结合三角函数知识求解最值.
【详解】
解：（1）因为，代入，可得直线的直角坐标方程为.
（2）曲线上的点到直线的距离
，其中，.
故曲线上的点到直线距离的最大值，
曲线上的点到直线的距离的最小值.
本题主要考查极坐标和直角坐标的转化及最值问题，椭圆上的点到直线的距离的最值求解优先考虑参数方法，侧重考查数学运算的核心素养.
19．（1）；（2）
【解析】
（1）利用互化公式，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，得出曲线与极轴所在直线围成的图形是一个半径为1的圆周及一个两直角边分别为1与的直角三角形，即可求出面积；
（2）联立方程组，分别求出和的坐标，即可求出.
【详解】
解：（1）由于的极坐标方程为，
根据互化公式得，曲线的直角坐标方程为：
当时，，
当时，，
则曲线与极轴所在直线围成的图形，
是一个半径为1的圆周及一个两直角边分别为1与的直角三角形，
∴围成图形的面积.

（2）由得，其直角坐标为，
化直角坐标方程为，
化直角坐标方程为，
∴，
∴.
本题考查利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程，以及联立方程组求交点坐标，考查计算能力.
20．（1）；（2）不存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直.
【解析】
（1）分类时，恒成立，时，分离参数为，引入新函数，利用导数求得函数最值即可；
（2），导出导函数，问题转化为在上有解．再用导数研究的性质可得．
【详解】
解：（1）因为当时，恒成立，
所以，若，为任意实数，恒成立.
若，恒成立，
即当时，，
设，，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
所以当时，取得最大值.
，
所以，要使时，恒成立，的取值范围为.
（2）由题意，曲线为：.
令，
所以，
设，则，
当时，，
故在上为增函数，因此在区间上的最小值，
所以，
当时，，，
所以，
曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程在上有实数解.
而，即方程无实数解.
故不存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直.
本题考查不等式恒成立，考查用导数的几何意义，由导数几何把问题进行转化是解题关键．本题属于困难题．
21．（1）；（2）见解析
【解析】
（1）联立直线和抛物线，消去可得，求出，，再代入弦长公式计算即可.
（2）由（1）可得，设，计算直线的方程为，代入求出，即可求出，再代入抛物线方程，求出，最后计算直线的斜率，求出直线的方程，化简可得到恒过的定点.
【详解】
（1）由，消去可得，
设，，则，.
，
解得或(舍去)，
.
（2）证明：由（1）可得，设，
所以直线的方程为，
当时，，则，
代入抛物线方程，可得，，
所以直线的斜率，
直线的方程为，
整理可得，故直线过定点.
本题第一问考查直线与抛物线相交的弦长问题，需熟记弦长公式.第二问考查直线方程和直线恒过定点问题，需有较强的计算能力，属于难题.
22．（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
（1）结合基本不等式可证明；
（2）利用基本不等式得，即，同理得其他两个式子，三式相加可证结论．
【详解】
（1）∵，
∴
，当且仅当a=b=c等号成立，
∴；
（2）由基本不等式，
∴，同理，，
∴，当且仅当a=b=c等号成立
∴．
本题考查不等式的证明，考查用基本不等式证明不等式成立．解题关键是发现基本不等式的形式，方法是综合法．