2026届青海省玉树市重点中学高三4月仿真模拟（六）数学试题试卷含解析.doc

2026届青海省玉树市重点中学高三4月仿真模拟（六）数学试题试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为
7816

6572

0802

6314

0702

4369

9728

0198

3204

9234

4935

8200

3623

4869

6938

7481

A．08 B．07 C．02 D．01
2．定义：表示不等式的解集中的整数解之和.若，，，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
3．已知是虚数单位，则复数（ ）
A． B． C．2 D．
4．已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，若点的横坐标为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．正项等比数列中的、是函数的极值点，则（ ）
A． B．1 C． D．2
6．函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
7．年某省将实行“”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为
A． B． C． D．
8．设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
9．在中，点为中点，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
10．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
11．若的展开式中含有常数项，且的最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
12．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）

A．8 B． C．4 D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8.则该农作物的年平均产量是______吨.
14．已知关于的方程在区间上恰有两个解，则实数的取值范围是________
15．已知函数在上单调递增，则实数a值范围为_________.
16．设函数，若在上的最大值为，则________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数
（1）已知直线：，：.若直线与关于对称，又函数在处的切线与垂直，求实数的值；
（2）若函数，则当，时，求证：
①；
②.
18．（12分）已知数列，其前项和为，满足，，其中，，，.
⑴若，，（），求证：数列是等比数列；
⑵若数列是等比数列，求，的值；
⑶若，且，求证：数列是等差数列.
19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）.以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）直线（t为参数）与曲线C交于A，B两点，求最大时，直线l的直角坐标方程.
20．（12分）在平面直角坐标系中，设，过点的直线与圆相切，且与抛物线相交于两点．
（1）当在区间上变动时，求中点的轨迹；
（2）设抛物线焦点为，求的周长(用表示)，并写出时该周长的具体取值．
21．（12分）传染病的流行必须具备的三个基本环节是：传染源、传播途径和人群易感性.三个环节必须同时存在，方能构成传染病流行.呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径，为了有效防控新冠状病毒的流行，人们出行都应该佩戴口罩.某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人，为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况，用分层抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本，统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况，得到下面列联表：

戴口罩
不戴口罩
青年人
50
10
中老年人
20
20
（1）能否有的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关？
（2）用样本估计总体，若从该地区出行不戴口罩的居民中随机抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.
附：

0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828

22．（10分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸.呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

患心肺疾病
不患心肺疾病
合计
男

女

合计

已知在全部人中随机抽取人，抽到患心肺疾病的人的概率为.
（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为患心肺疾病与性别有关？请说明你的理由；
（2）已知在不患心肺疾病的位男性中，有位从事的是户外作业的工作.为了指导市民尽可能地减少因雾霾天气对身体的伤害，现从不患心肺疾病的位男性中，选出人进行问卷调查，求所选的人中至少有一位从事的是户外作业的概率.
下面的临界值表供参考：

（参考公式，其中）
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.
考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力.
2．D
【解析】
由题意得，表示不等式的解集中整数解之和为6.
当时，数形结合（如图）得的解集中的整数解有无数多个，解集中的整数解之和一定大于6.

当时，，数形结合（如图），由解得.在内有3个整数解，为1，2，3，满足，所以符合题意.

当时，作出函数和的图象，如图所示.

若，即的整数解只有1，2，3.
只需满足，即，解得，所以.
综上，当时，实数的取值范围是.故选D.
3．A
【解析】
根据复数的基本运算求解即可.
【详解】
.
故选：A
本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题.
4．A
【解析】
由题意得，即可得点M的轨迹为以A，B为左、右焦点，的双曲线，根据双曲线的性质即可得解.
【详解】
如图，连接OP，AM，
由题意得，
点M的轨迹为以A，B为左、右焦点，的双曲线，
.
故选：A.

本题考查了双曲线定义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.
5．B
【解析】
根据可导函数在极值点处的导数值为，得出，再由等比数列的性质可得.
【详解】
解：依题意、是函数的极值点，也就是的两个根
∴
又是正项等比数列，所以
∴.
故选：B
本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.
6．A
【解析】
求出函数在处的导数后可得曲线在处的切线方程，从而可求切线的纵截距.
【详解】
，故，
所以曲线在处的切线方程为：.
令，则，故切线的纵截距为.
故选：A.
本题考查导数的几何意义以及直线的截距，注意直线的纵截距指直线与轴交点的纵坐标，因此截距有正有负，本题属于基础题.
7．B
【解析】
甲同学所有的选择方案共有种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率，故选B．
8．A
【解析】
解出集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】
因为，又，所以.
故选：A.
本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.
9．B
【解析】
由，，三点共线，可得，转化，利用均值不等式，即得解.
【详解】
因为点为中点，所以，
又因为，，
所以．
因为，，三点共线，
所以，
所以，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为1．
故选：B
本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
10．B
【解析】
因为时针经过2小时相当于转了一圈的，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案.
【详解】
因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为.
故选：B
本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.
11．C
【解析】
展开式的通项为
，因为展开式中含有常数项，所以，即为整数，故n的最小值为1．
所以.故选C
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.
12．D
【解析】
根据三视图知，该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥，画出图形，结合图形求出底面积代入体积公式求它的体积．
【详解】
根据三视图知，该几何体是侧棱底面的四棱锥，如图所示：

结合图中数据知，该四棱锥底面为对角线为2的正方形，
高为PA=2，
∴四棱锥的体积为.
故选：D.
本题考查由三视图求几何体体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．属于中等题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．10
【解析】
根据已知数据直接计算即得.
【详解】
由题得，.
故答案为：10
本题考查求平均数，是基础题.
14．
【解析】
先换元，令，将原方程转化为，利用参变分离法转化为研究两函数的图像交点，观察图像，即可求出．
【详解】
因为关于的方程在区间上恰有两个解，令，所以方程在 上只有一解，即有 ，
直线与 在的图像有一个交点，

由图可知，实数的取值范围是，但是当时，还有一个根，所以此时共有3个根.
综上实数的取值范围是.
本题主要考查学生运用转化与化归思想的能力，方程有解问题转化成两函数的图像有交点问题，是常见的转化方式．
15．
【解析】
由在上恒成立可求解．
【详解】
，
令，∵，∴，
又，，从而，令，
问题等价于在时恒成立，∴，解得．
故答案为：．
本题考查函数的单调性，解题关键是问题转化为恒成立，利用换元法和二次函数的性质易求解．
16．
【解析】
求出函数的导数，由在上，可得在上单调递增，则函数最大值为，即可求出参数的值.
【详解】
解：定义域为

，

在上单调递增，
故在上的最大值为
故答案为：
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）①证明见解析②证明见解析
【解析】
（1）首先根据直线关于直线对称的直线的求法，求得的方程及其斜率.根据函数在处的切线与垂直列方程，解方程求得的值.
（2）
①构造函数，利用的导函数证得当时，，由此证得.
②由①知成立，整理得成立.利用构造函数法证得，由此得到，即，化简后得到.
【详解】
（1）由解得
必过与的交点.
在上取点，易得点关于对称的点为，
即为直线，所以的方程为，即，其斜率为.
又因为，所以，，
由题意，解得.
（2）因为，所以.
①令，则，
则，
且，，
时，，单调递减；
时，，单调递增.
因为，所以，因为，
所以存在，使时，，单调递增；
时，，单调递减；时，，单调递增.
又，所以时，，即，
所以，即成立.
②由①知成立，即有成立.
令，即.所以时，，
单调递增；
时，，单调递减，所以，即，
因为，所以，所以时，，
即时，.
本小题考查函数图象的对称性，利用导数求切线的斜率，利用导数证明不等式等基础知识；考查学生分析问题，解决问题的能力，推理与运算求解能力，转化与化归思想，数形结合思想和应用意识.
18．（1）见解析（2）（3）见解析
【解析】
试题分析：（1）(), 所以，故数列是等比数列；（2）利用特殊值法，得，故；（3）得，所以，得，可证数列是等差数列.
试题解析：
（1）证明：若，则当(),
所以，
即，
所以，
又由，，
得，，即，
所以，
故数列是等比数列．
（2）若是等比数列，设其公比为（ ），
当时，，即，得
　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　 ①
当时，，即，得
　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　②
当时，，即，得
　　　　　　　　　，　　　　　　　　③
②-①´，得 ，
③-②´，得 ，
解得．
代入①式，得．
此时()，
所以，是公比为１的等比数列，
故．
（3）证明：若，由，得，
　　又，解得．
由，， ，，代入得，
所以，，成等差数列，
由，得，
两式相减得：
即
所以
相减得：
所以
所以
，
因为，所以，
即数列是等差数列.
19．（1）；（2）.
【解析】
（1）利用消去参数，得到曲线的普通方程，再将，代入普通方程，即可求出结论；
（2）由（1）得曲线表示圆，直线曲线C交于A，B两点，最大值为圆的直径，直线过圆心，即可求出直线的方程.
【详解】
（1）由曲线C的参数方程（为参数），
可得曲线C的普通方程为，
因为，
所以曲线C的极坐标方程为，
即.
（2）因为直线（t为参数）表示的是过点的直线，
曲线C的普通方程为，
所以当最大时，直线l经过圆心.
直线l的斜率为，方程为，
所以直线l的直角坐标方程为.
本题考查参数方程与普通方程互化、直角坐标方程与极坐标方程互化、直线与曲线的位置关系，考查化归和转化思想，属于中档题.
20．（1）．（2）的周长为，时，的周长为
【解析】
（1）设的方程为，根据题意由点到直线的距离公式可得，将直线方程与抛物线方程联立可得，设､坐标分别是､,利用韦达定理以及中点坐标公式消参即可求解.
（2）根据抛物线的定义可得，由（1）可得，再利用弦长公式即可求解.
【详解】
（1）设的方程为
于是
联立
设､坐标分别是､
则
设的中点坐标为，则

消去参数得：
（2）设，，由抛物线定义知
，，
∴
由（1）知
∴

，，

的周长为
时，的周长为
本题考查了动点的轨迹方程、直线与抛物线的位置关系、抛物线的定义、弦长公式，考查了计算能力，属于中档题.
21．（1）有的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关.
（2）
【解析】
(1) 根据列联表和独立性检验的公式计算出观测值,从而由参考数据作出判断.
(2) 因为样本中出行不戴口罩的居民有30人,其中年轻人有10人,用样本估计总体,则出行不戴口罩的年轻人的概率为，是老年人的概率为.根据独立重复事件的概率公式即可求得结果.
【详解】
（1）由题意可知，
有的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关.
（2）由样本估计总体，出行不戴口罩的年轻人的概率为，是老年人的概率为.
人未戴口罩，恰有2人是青年人的概率.
本题主要考查独立性检验及独立重复事件的概率求法,难度一般.
22．（1）列联表见解析，有的把握认为患心肺疾病与性别有关，理由见解析；（2）.
【解析】
（1）结合题意完善列联表，计算出的观测值，对照临界值表可得出结论；
（2）记不患心肺疾病的五位男性中从事户外作业的两人分别为、，其余三人分别为、、，利用列举法列举出所有的基本事件，并确定事件“所选的人中至少有一位从事的是户外作业”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可取得所求事件的概率.
【详解】
（1）由于在全部人中随机抽取人，抽到患心肺疾病的人的概率为，所以人中患心肺疾病的人数为人，故可将列联表补充如下：

患心肺疾病
不患心肺疾病
合计
男

女

合计

.
故有的把握认为患心肺疾病与性别有关；
（2）记不患心肺疾病的五位男性中从事户外作业的两人分别为、，其余三人分别为、、.从中选取三人共有以下种情形：
、、、、、、、、、.
其中至少有一位从事的是户外作业的有种情形，分别为：、、、、、、、、，
所以所选的人中至少有一位从事的是户外作业的概率为.
本题考查利用独立性检验的基本思想解决实际问题，同时也考查了利用列举法求解古典概型的概率问题，考查计算能力，属于中等题.