浙江省嘉兴市重点名校2026届高三年级第四次调研诊断考试数学试题理试题含解析.doc

浙江省嘉兴市重点名校2026届高三年级第四次调研诊断考试数学试题理试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题：R，；命题 ：R，，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
2．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（ ）
A．17种 B．27种 C．37种 D．47种
3．已知函数，.若存在，使得成立，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
4．在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为：．假设蚂蚁窝在点，一只蚂蚁从点出发，需要在，上分别任意选择一点留下信息，然后再返回点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ）
A． B． C． D．
5．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）

A． B． C． D．
6．在中，为边上的中线，为的中点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}
8．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．23 B．25 C．28 D．29
9．若，满足约束条件，则的最大值是（ ）
A． B． C．13 D．
10．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知三点A(1,0)，B(0， )，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)
A． B．
C． D．
12．已知 ，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在棱长为的正方体中，是正方形的中心，为的中点，过的平面与直线垂直，则平面截正方体所得的截面面积为______.
14．已知函数的最大值为3，的图象与y轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为2，则
15．已知复数，其中为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值是__．
16．已知向量，且，则___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列的前n项和，是等差数列，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令.求数列的前n项和.
18．（12分）已知点为椭圆上任意一点，直线与圆 交于，两点，点为椭圆的左焦点.
（1）求证：直线与椭圆相切；
（2）判断是否为定值，并说明理由.
19．（12分）已知.
（1）若曲线在点处的切线也与曲线相切，求实数的值；
（2）试讨论函数零点的个数.
20．（12分）某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案规定每日底薪150元，外卖业务的前54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.

（1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率；
（2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案的概率为，选择方案的概率为.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案的概率，
（3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）
21．（12分）在直角坐标系中，已知点，若以线段为直径的圆与轴相切.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若上存在两动点（A，B在轴异侧）满足，且的周长为，求的值.
22．（10分）已知函数，，且．
（1）当时，求函数的减区间；
（2）求证：方程有两个不相等的实数根；
（3）若方程的两个实数根是，试比较，与的大小，并说明理由．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
根据，可知命题的真假，然后对取值，可得命题 的真假，最后根据真值表，可得结果.
【详解】
对命题：
可知，
所以R，
故命题为假命题
命题 ：
取，可知
所以R，
故命题为真命题
所以为真命题
故选：B
本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用，识记真值表，属基础题.
2．C
【解析】
由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种；先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解.
【详解】
所有可能的情况有种,其中最大值不是4的情况有种,所以取得小球标号最大值是4的取法有种,
故选:C
本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题.
3．C
【解析】
由题意可知，，由可得出，，利用导数可得出函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，进而可得出，由此可得出，可得出，构造函数，利用导数求出函数在上的最大值即可得解.
【详解】
，，
由于，则，同理可知，，
函数的定义域为，对恒成立，所以，函数在区间上单调递增，同理可知，函数在区间上单调递增，
，则，，则，
构造函数，其中，则.
当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.
所以，.
故选：C.
本题考查代数式最值的计算，涉及指对同构思想的应用，考查化归与转化思想的应用，有一定的难度.
4．C
【解析】
将四面体沿着劈开，展开后最短路径就是的边，在中，利用余弦定理即可求解.
【详解】
将四面体沿着劈开，展开后如下图所示：

最短路径就是的边．
易求得，
由，知
，

由余弦定理知
其中，
∴
故选：C
本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
5．C
【解析】
根据循环结构的程序框图，带入依次计算可得输出为25时的值，进而得判断框内容.
【详解】
根据循环程序框图可知，
则，
，
，
，
，
此时输出，因而不符合条件框的内容，但符合条件框内容，结合选项可知C为正确选项，
故选：C.
本题考查了循环结构程序框图的简单应用，完善程序框图，属于基础题.
6．A
【解析】
根据向量的线性运算可得,利用及，计算即可.
【详解】
因为,
所以

，
所以，
故选：A
本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.
7．D
【解析】
解一元二次不等式化简集合,再由集合的交集运算可得选项.
【详解】
因为集合
，
故选：D.
本题考查集合的交集运算，属于基础题.
8．D
【解析】
由可求，再求公差，再求解即可.
【详解】
解：是等差数列

，又，
公差为，
，
故选：D
考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题.
9．C
【解析】
由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．
【详解】
解：表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由解得即

点到坐标原点的距离最大，即．
故选：．
本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题．
10．A
【解析】
根据分段函数解析式，先求得的值，再求得的值.
【详解】
依题意，.
故选：A
本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.
11．B
【解析】

选B.
考点：圆心坐标
12．D
【解析】
“是的充分不必要条件”等价于“是的充分不必要条件”，即中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集.
【详解】
由题意知：可化简为，，
所以中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集，所以.
利用原命题与其逆否命题的等价性，对是的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
确定平面即为平面，四边形是菱形，计算面积得到答案.
【详解】
如图，在正方体中，记的中点为，连接，
则平面即为平面．证明如下：
由正方体的性质可知，，则，四点共面，
记的中点为，连接，易证．连接，则，
所以平面，则．
同理可证，，，则平面，
所以平面即平面，且四边形即平面截正方体所得的截面．
因为正方体的棱长为，易知四边形是菱形，
其对角线，，所以其面积．
故答案为：

本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
14．
【解析】，由题意，得,
解得，则的周期为4，且，所以.
考点：三角函数的图像与性质.
15．2
【解析】
由题，得，然后根据纯虚数的定义，即可得到本题答案.
【详解】
由题，得，又复数为纯虚数，
所以，解得.
故答案为：2
本题主要考查纯虚数定义的应用，属基础题.
16．
【解析】
由向量平行的坐标表示得出，求解即可得出答案.
【详解】
因为，所以，解得.
故答案为：
本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ）;（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（1）先由公式求出数列的通项公式；进而列方程组求数列的首项与公差，得数列的通项公式；（2）由（1）可得，再利用“错位相减法”求数列的前项和.
试题解析：（1）由题意知当时，，
当时，，所以．
设数列的公差为，
由，即，可解得，
所以．
（2）由（1）知，又，得，，两式作差，得所以．
考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前项和.
【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.
18．（1）证明见解析；（2）是，理由见解析.
【解析】
（1）根据判别式即可证明．
（2）根据向量的数量积和韦达定理即可证明，需要分类讨论，
【详解】
解：（1）当时直线方程为或，直线与椭圆相切.
当时，由得，
由题知，，即，
所以.
故直线与椭圆相切.
（2）设，，
当时，，，，

所以，即.
当时，由得，
则，，
.
因为

.
所以，即.故为定值.
本题考查椭圆的简单性质，考查向量的运算，注意直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
19．（1）（2）答案不唯一具体见解析
【解析】
（1）利用导数的几何意义，设切点的坐标，用不同的方式求出两种切线方程，但两条切线本质为同一条，从而得到方程组，再构造函数研究其最大值，进而求得；
（2）对函数进行求导后得，对分三种情况进行一级讨论，即，，
，结合函数图象的单调性及零点存在定理，可得函数零点情况.
【详解】
解: （1）曲线在点处的切线方程为，即.
令切线与曲线相切于点，则切线方程为，
∴，
∴，
令，则，
记，
于是，在上单调递增，在上单调递减，
∴，于是，.
（2），
①当时，恒成立，在上单调递增，且，
∴函数在上有且仅有一个零点；
②当时，在R上没有零点；
③当时，令，则，即函数的增区间是，
同理，减区间是，
∴.
ⅰ）若，则，在上没有零点；
ⅱ）若，则有且仅有一个零点；
ⅲ）若，则.
，
令，则，
∴当时，单调递增，.
∴
又∵，
∴在R上恰有两个零点，
综上所述，当时，函数没有零点；当或时，函数恰有一个零点；当时，恰有两个零点.
本题考查导数的几何意义、切线方程、零点等知识，求解切线有关问题时，一定要明确切点坐标.以导数为工具，研究函数的图象特征及性质，从而得到函数的零点个数，此时如果用到零点存在定理，必需说明在区间内单调且找到两个端点值的函数值相乘小于0，才算完整的解法.
20．（1）0.4；（2）；（3）应选择方案，理由见解析
【解析】
（1）根据频率分布直方图，可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的频率，即可估算其概率；
（2）根据独立重复试验概率求法，先求得四人中有0人、1人选择方案的概率，再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案的概率；
（3）设骑手每日完成外卖业务量为件，分别表示出方案的日工资和方案的日工资函数解析式，即可计算两种计算方式下的数学期望，并根据数学期望作出选择.
【详解】
（1）设事件为“随机选取一天，这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”.
根据频率分布直方图可知快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为，
∵，
∴估计为0.4.
（2）设事件′为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案”，
设事件，为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有人选择方案”，
则，
所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案的概率为.
（3）设骑手每日完成外卖业务量为件，
方案的日工资，
方案的日工资，
所以随机变量的分布列为

160
180
200
220
240
260
280

0.05
0.05
0.2
0.3
0.2
0.15
0.05
；
同理，随机变量的分布列为

150
180
230
280
330

0.3
0.3
0.2
0.15
0.05
.
∵，
∴建议骑手应选择方案.
本题考查了频率分布直方图的简单应用，独立重复试验概率的求法，数学期望的求法并由期望作出方案选择，属于中档题.
21．（1）；（2）
【解析】
（1）设，则由题设条件可得，化简后可得轨迹的方程.
（2）设直线，联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理化简并求得，结合焦半径公式及弦长公式可求的值及的长.
【详解】
（1）设，则圆心的坐标为，
因为以线段为直径的圆与轴相切，
所以，
化简得的方程为.
(2)由题意，设直线，
联立得，
设 （其中）
所以，，且，
因为，所以，
，所以，故或 （舍），
直线，
因为的周长为
所以.
即，
因为.
又，
所以，
解得，
所以.
本题考查曲线方程以及抛物线中的弦长计算，还涉及到向量的数量积.一般地，抛物线中的弦长问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把已知等式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程.本题属于中档题.
22．（1）（2）详见解析（3）
【解析】
试题分析：（1）当时，，由得减区间；（2）因为，所以，因为所以，方程有两个不相等的实数根；（3）因为，，所以
试题解析：（1）当时，，由得减区间；
（2）法1：，

，，
所以，方程有两个不相等的实数根；
法2：，
，
是开口向上的二次函数，
所以，方程有两个不相等的实数根；
（3）因为，
，
又在和增，在减，
所以．
考点：利用导数求函数减区间，二次函数与二次方程关系