2025-2026学年清华大学附中高三三模考试数学试题含解析.doc

2025-2026学年清华大学附中高三三模考试数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在（单位：元）的同学有34人，则的值为（ ）

A．100 B．1000 C．90 D．90
2．已知向量，满足，在上投影为，则的最小值为( )
A． B． C． D．
3．已知正方体的体积为，点，分别在棱，上，满足最小，则四面体的体积为
A． B． C． D．
4．函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知是虚数单位，则复数（ ）
A． B． C．2 D．
6．设集合，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知复数（为虚数单位，），则在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，若点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（ ）

A．45 B．50 C．55 D．60
12．设，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列的各项均为正数，记为数列的前项和，若，，则______.
14．已知复数满足（为虚数单位），则复数的实部为____________.
15．已知集合，则_______．
16．三棱锥中，点是斜边上一点.给出下列四个命题：
①若平面，则三棱锥的四个面都是直角三角形；
②若，，，平面，则三棱锥的外接球体积为；
③若，，，在平面上的射影是内心，则三棱锥的体积为2；
④若，，，平面，则直线与平面所成的最大角为.
其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确命题的序号都填上）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小爱同学”智能音箱和阿里巴巴的“天猫精灵”智能音箱，它们可以通过语音交互满足人们的部分需求.某经销商为了了解不同智能音箱与其购买者性别之间的关联程度，从某地区随机抽取了100名购买“小爱同学”和100名购买“天猫精灵”的人，具体数据如下：

“小爱同学”智能音箱
“天猫精灵”智能音箱
合计
男
45
60
105
女
55
40
95
合计
100
100
200
（1）若该地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，试估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多多少人？
（2）根据列联表，能否有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关？
附：

0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

18．（12分）己知的内角的对边分别为.设
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
19．（12分）如图是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不同于的任意一点

（1）求证：平面平面；
（2）设为的中点，为上的动点（不与重合）求二面角的正切值的最小值
20．（12分）已知椭圆 的左焦点为F，上顶点为A，直线AF与直线 垂直，垂足为B，且点A是线段BF的中点.
（I）求椭圆C的方程；
（II）若M，N分别为椭圆C的左，右顶点，P是椭圆C上位于第一象限的一点，直线MP与直线 交于点Q，且,求点P的坐标.
21．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证：

（1）MN∥平面ABB1A1；
（2）AN⊥A1B．
22．（10分）在如图所示的多面体中，平面平面，四边形是边长为2的菱形，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，且， ，
（1）若分别为，的中点，求证：平面；
（2）若，与平面所成角的正弦值，求二面角的余弦值．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
利用频率分布直方图得到支出在的同学的频率，再结合支出在（单位：元）的同学有34人，即得解
【详解】
由题意，支出在（单位：元）的同学有34人
由频率分布直方图可知，支出在的同学的频率为
．
故选：A
本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.
2．B
【解析】
根据在上投影为，以及，可得；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为模长和夹角运算，代入即可求得.
【详解】
在上投影为，即

又

本题正确选项：
本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到的最小值.
3．D
【解析】
由题意画出图形，将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面，可得当时最小，设正方体的棱长为，得，进一步求出四面体的体积即可．
【详解】
解：如图，

∵点M，N分别在棱上，要最小，将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面，三线共线时，最小，

∴
设正方体的棱长为，则，
∴．
取，连接，则共面，
在中，设到的距离为，

设到平面的距离为，

.
故选D．
本题考查多面体体积的求法，考查了多面体表面上的最短距离问题，考查计算能力，是中档题．
4．C
【解析】
先根据是奇函数，排除A，B，再取特殊值验证求解.
【详解】
因为，
所以是奇函数，故排除A，B，
又，
故选：C
本题主要考查函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
5．A
【解析】
根据复数的基本运算求解即可.
【详解】
.
故选：A
本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题.
6．C
【解析】
由得出，利用集合的包含关系可得出实数的取值范围.
【详解】
，且，，.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题.
7．B
【解析】
复数，在复平面内对应的点在第二象限，可得关于a的不等式组，解得a的范围.
【详解】
，
由其在复平面对应的点在第二象限，
得，则.
故选：B.
本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．D
【解析】
分别解出集合然后求并集.
【详解】
解：，

故选：D
考查集合的并集运算，基础题.
9．B
【解析】
分别比较复数的实部、虚部与0的大小关系，可判断出在复平面内对应的点所在的象限.
【详解】
因为时，所以，，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.
故选：B.
本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
10．B
【解析】
通过抛物线的定义，转化，要使有最小值，只需最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值．
【详解】
解：由题意可知，抛物线的准线方程为，，
过作垂直直线于，
由抛物线的定义可知，连结，当是抛物线的切线时，有最小值，则最大，即最大，就是直线的斜率最大，
设在的方程为：，所以，
解得：，
所以，解得，
所以，
．
故选：．

本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题．
11．D
【解析】
根据频率分布直方图中频率＝小矩形的高×组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量求出班级人数.
【详解】
根据频率分布直方图，得：低于60分的频率是（0.005+0.010）×20＝0.30，
∴样本容量（即该班的学生人数）是60（人）.
故选：D.
本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率的应用问题，属于基础题
12．D
【解析】
集合是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可
【详解】
，
，
则
故选
本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．63
【解析】
对进行化简，可得，再根据等比数列前项和公式进行求解即可
【详解】
由

数列为首项为，公比的等比数列，
所以63
本题考查等比数列基本量的求法，当处理复杂因式时，常用基本方法为：因式分解，约分。但解题本质还是围绕等差和等比的基本性质
14．
【解析】
利用复数的概念与复数的除法运算计算即可得到答案.
【详解】
，所以复数的实部为2.
故答案为：2
本题考查复数的除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.
15．
【解析】
由可得集合是奇数集，由此可以得出结果.
【详解】
解：因为
所以集合中的元素为奇数，
所以.
本题考查了集合的交集，解析出集合B中元素的性质是本题解题的关键.
16．①②③
【解析】
对①，由线面平行的性质可判断正确；
对②，三棱锥外接球可看作正方体的外接球，结合外接球半径公式即可求解；
对③，结合题意作出图形，由勾股定理和内接圆对应面积公式求出锥体的高，则可求解；
对④，由动点分析可知，当点与点重合时，直线与平面所成的角最大，结合几何关系可判断错误；
【详解】
对于①，因为平面，所以，，，又，
所以平面，所以，故四个面都是直角三角形，∴①正确；

对于②，若，，，平面，
∴三棱锥的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球，
∴，，∴体积为，∴②正确；

对于③，设内心是，则平面，连接，
则有，又内切圆半径，
所以，，故，
∴三棱锥的体积为，∴③正确；

对于④，∵若，平面，则直线与平面所成的角最大时，点与点重合，
在中，，∴，即直线与平面所成的最大角为，
∴④不正确，

故答案为：①②③.
本题考查立体几何基本关系的应用，线面垂直的性质及判定、锥体体积、外接球半径求解，线面角的求解，属于中档题

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）多2350人；（2）有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.
【解析】
（1）根据题意，知100人中购买“小爱同学”的女性有55人，购买“天猫精灵”的女性有40人，即可估计该地区购买“小爱同学”的女性人数和购买“天猫精灵”的女性的人数，即可求得答案；
（2）根据列联表和给出的公式，求出，与临界值比较，即可得出结论.
【详解】
解：（1）由题可知，100人中购买“小爱同学”的女性有55人，购买“天猫精灵”的女性有40人，
由于地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，
估计购买“小爱同学”的女性有人.
估计购买“天猫精灵”的女性有人.
则，
∴估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多2350人.
（2）由题可知， ，
∴有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.
本题考查随机抽样估计总体以及独立性检验的应用，考查计算能力.
18．（1）（2）
【解析】
（1）由正弦定理将，转化，
即，由余弦定理求得， 再由平方关系得再求解.
（2）由，得，结合再求解.
【详解】
（1）由正弦定理，得，
即，则，
而，又，解得，
故.
（2）因为，则，
因为，故，
故，
解得，
故，
则.
本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于中档题.
19．（1）见解析（2）
【解析】
（1）推导出，，从而平面，由面面垂直的判定定理即可得证．
（2）过作，以为坐标原点，建立如图所示空间坐标系，设，利用空间向量法表示出二面角的余弦值，当余弦值取得最大时，正切值求得最小值；
【详解】
（1）因为，面

，，平面，平面，
平面，
又平面，
平面平面；

（2）过作，以为坐标原点，建立如图所示空间坐标系，
则，设，

则平面的一个法向量为
设平面的一个法向量为
则，即，令，
如图二面角的平面角为锐角，设二面角为，
则，
时取得最大值，最大值为，则最小值为

本题考查面面垂直的证明，利用空间向量法解决立体几何问题，属于中档题.
20．（I）．
（II）
【解析】
（I）写出坐标，利用直线与直线垂直，得到.求出点的坐标代入，可得到的一个关系式，由此求得和的值，进而求得椭圆方程.（II）设出点的坐标，由此写出直线的方程，从而求得点的坐标，代入，化简可求得点的坐标.
【详解】
（I）∵椭圆的左焦点，上顶点，直线AF与直线垂直
∴直线AF的斜率，即 ①
又点A是线段BF的中点
∴点的坐标为
又点在直线上
∴ ②
∴由①②得：
∴
∴椭圆的方程为．
（II）设
由（I）易得顶点M、N的坐标为
∴直线MP的方程是：
由 得：
又点P在椭圆上，故
∴
∴
∴或（舍）
∴
∴点P的坐标为
本小题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查两直线垂直的条件，考查向量数量积的运算.属于中档题.在解题过程中，首先阅读清楚题意，题目所叙述的坐标、所叙述的直线是怎么得到的，向量的数量积对应的坐标都有哪一些，应该怎么得到，这些在读题的时候需要分析清楚.
21．（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
（1）利用平行四边形的方法，证明平面.
（2）通过证明平面，由此证得.
【详解】
（1）设是中点，连接，由于是中点，所以且，而且，所以与平行且相等，所以四边形是平行四边形，所以，由于平面，平面，所以平面.
（2）连接，由于直三棱柱中，而，，所以平面，所以，由于,所以.由于四边形是矩形且，所以四边形是正方形，所以,由于,所以平面，所以.

本小题主要考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
22． (1)见解析(2)
【解析】
试题分析：（1）第（1）问，转化成证明平面 ,再转化成证明和.(2)第（2）问，先利用几何法找到与平面所成角，再根据与平面所成角的正弦值为求出再建立空间直角坐标系，求出二面角的余弦值.
试题解析：
（1）连接,因为四边形为菱形，所以.
因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面.
又平面，所以.
因为，所以.
因为，所以平面.
因为分别为，的中点，所以，所以平面
（2）设，由（1）得平面.
由，，得，.
过点作，与的延长线交于点，取的中点，连接，，如图所示，

又，所以为等边三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，故平面.
因为为平行四边形，所以，所以平面.
又因为，所以平面.
因为，所以平面平面.
由（1），得平面，所以平面，所以.
因为，所以平面，所以是与平面所成角.
因为，，所以平面，平面，因为，所以平面平面.
所以，，解得.
在梯形中，易证，分别以，，的正方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.
则，，，，，，
由，及，得，所以，，.
设平面的一个法向量为，由得令，得m=(3,1,2)
设平面的一个法向量为，由得令，得.
所以
又因为二面角是钝角，所以二面角的余弦值是.