解析函数 的幂函数表示.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,一、重点与难点,重点：,难点：,函数展开成泰勒级数与洛朗级数,函数展开成洛朗级数,2,复数项级数,函数项级数,充,要,条,件,必,要,条,件,幂级,数,收敛半径,R,复 变 函,数,绝,对,收,敛,运算与性质,收敛条件,条,件,收,敛,复数,列,收敛半径的计算,泰勒级数,洛朗级数,二、内容提要,3,1.复数列,记作,4,表达式,称为复数项无穷级数,.,其最前面 项的和,称为级数的部分和.,部分和,2.复数项级数,1)定义,5,2)复级数的收敛与发散,充要条件,必要条件,6,非绝对收敛的收敛级数称为,条件收敛级数,.,3)复级数的绝对收敛与条件收敛,如果,收敛,那末称级数,为,绝对收敛,.,绝对收敛 条件收敛,7,称为这级数的,部分和,.,级数最前面,项的和,3.复变函数项级数,其中各项在区域,D,内有定义,.,表达式,称为复变函数项级数,记作,8,4.幂级数,1)在复变函数项级数中,形如,的级数称为,幂级数,.,9,-阿贝尔,Abel,定理,如果级数,在,收敛,那末对,的,级数必绝对收敛,如果,在,级数发散,那末对满足,的,级数必发散,.,满足,2)收敛定理,10,(3)既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收,敛的正实数.,此时,级数在复平面内除原点外处处发散.,3)收敛圆与收敛半径,对于一个幂级数,其收敛半径的情况有三种:,对所有的正实数都收敛.即级数在复平面内处,处收敛.,(2)对所有的正实数除,外都发散.,11,在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出,一般的结论,要对具体级数进行具体分析.,注意,.,.,收敛圆,收敛半径,12,方法,1,:,比值法,方法2:,根值法,4)收敛半径的求法,那末收敛半径,那末收敛半径,13,5),幂级数的运算与性质,14,如果当,时,又设在,内,解析且满足,那末当,时,(2),幂级数的代换(复合)运算,复变幂级数在收敛圆内的解析性,设幂级数,的收敛半径,为,那末,是收敛圆,内的解析函数,.,它的和函数,即,(1),15,(2),在收敛圆,内的导数可将其幂,级数逐项求导得到,即,(3),在收敛圆内可以逐项积分,即,或,16,5.泰勒级数,其中,泰勒级数,1)定理,设,在区域,内解析,为,内的一,为,到,的边界上各点的最短距离,那末,点,时,成立,当,17,2)常见函数的泰勒展开式,18,19,6.洛朗级数,定理,C,为圆环域内绕,的任一正向简单闭曲线,.,为洛朗系数,.,1),20,函数,在圆环域内的,洛朗展开式,在圆环域内的,洛朗(,Laurent),级数,.,某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的,这就是,f,(,z,),的洛朗级数.,21,根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可,用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.,(2)间接展开法,2)将函数展为洛朗级数的方法,(1),直接展开法,22,三、典型例题,例1,判别级数的敛散性,.,解,发散，,收敛，,23,三、典型例题,例1,判别级数的敛散性,.,解,24,解,收敛,收敛,三、典型例题,例1,判别级数的敛散性,.,25,解,由正项级数的比值判别法知,绝对收敛.,三、典型例题,例1,判别级数的敛散性,.,26,例2,求下列幂级数的收敛半径,解,27,28,例3,展开函数 成 的幂级数到 项,.,解,由此得,所以,解析函数展为幂级数的方法,利用定义来求,.,29,分析：,采用间接法即利用已知的展开式来求.,解,例4,求 在 的泰勒展式.,30,由于,31,例5,分析：,利用级数的乘除运算较为简单,.,解,故乘积也绝对收敛.,32,例6,设,又,由泰勒展式的唯一性,又,所以,解,利用待定系数法,33,比较两端系数得,34,例7,分析：,利用逐项求导、逐项积分法.,解,所以,35,例8,解,利用微分方程法,对上式求导得,36,由此可得,故,37,例9,分析:,利用部分分式与几何级数结合法.即把函数,分成部分分式后,应用等比级数求和公式,.,解,38,故,两端求导得,39,40,例10,解,41,例11,解,有,42,43,同一级数在不同圆环域内的洛朗级数展开式是不同的.,44,解,例12,45,放映结束，按,Esc,退出.,46,