中南大学概率论1.ppt

连续型随机变量,X,所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“,概率密度函数,”的方式,.,下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法,.,2.3,连续型随机变量的概率分布,1.,实例,:,上海市年降雨量的分布,由实例启发我们如何描述连续型随机变量,.,上海市,99,年年降雨量的数据已知,根据这些数据作频率直方图,对频率直方图进行考察,使得对任意,有,对于随机变量,X,如果存在非负可积函数,f(x),x,则称,X,为连续型随机变量,称,f(x),为,X,的概率,密度函数，简称为概率密度或分布密度,.,2.,连续型随机变量及其密度函数的定义,3.,概率密度函数的性质,1,o,2,o,这两条性质是判定一个函数,f(x),是否为某随机变量,X,的,概率密度函数的充要条件,.,f,(,x,),x,o,面积为1,故,X,的密度,f(x),在,x,这一点的值，恰好是,X,落在区间 上的概率与区间长度,之比的极限,.,这里，如果把概率理解为质量，,f(x),相当于线密度,.,若,x,是,f(x),的连续点，则：,=,f(x),4.,对,f(x),的进一步理解,:,要注意的是，密度函数,f(x),在某点处,a,的高度，并不反映,X,取值的概率,.,但是，这个高度越大，则,X,取,a,附近的值的概率就越大,.,也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度,.,f,(,x,),x,o,若不计高阶无穷小，有：,它表示随机变量,X,取值于 的概率近似等于,.,在连续型随机变量理论中所起的作用与,在离散型随机变量理论中所起的,作用相类似,.,连续型随机变量取任一指定值的概率为,0.,即：,a,为,任一指定值,这是因为,需要指出的是,:,由此得,，,1),对连续型随机变量,X,有,2),由,P,(,X,=,a,)=0,可推知,而,X=a,并非不可能事件,并非必然事件,称,A,为,几乎不可能事件,，,B,为,几乎必然事件,.,可见，,由,P,(,A,)=0,不能推出,由,P,(,B,)=1,不能推出,B=S,由于连续型随机变量唯一被它的,密度函数,所确定,.,所以，若已知密度函数，该连续型,随机变量的概率规律就得到了全面描述,.,f,(,x,),x,o,至此，我们已初步介绍了两类重要的随机变量,:,离散型随机变量和连续型随机变量,能不能对它们给出一种统一的描述方法？这就是后面要介绍的分布函数,.,f,(,x,),x,o,x,P(x),o,对它们分别用概率函数和密度函数描述,.,（,1,）均匀分布,:,若随机变量,X,的概率密度为：,则称,X,服从区间,(,a,b,),上的均匀分布，记作：,X,U,(,a,b,),5.,常见的连续型随机变量密度函数,公交线路上,两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等,.,均匀分布常见于下列情形：,如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差；,它的实际背景是：随机变量,X,取值在,(,a,b,),上，并且取值在,(,a,b,),中任意小区间,内的概率与这个小区间的长度成正比,.,则,X,具有,(,a,b,),上的,均匀分布,.,例,1,某公共汽车站从上午,7,时起，每,15,分钟来一班车，即,7:00,，,7:15,，,7:30,7:45,等时刻,有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间,X,是,7:00,到,7:30,之间的均匀随机变量,试求他候车,时间少于,5,分钟的概率,.,解：,依题意，,X,U,(0,30),以,7:00,为,起点,0,，以分为单位,为使候车时间,X,少于,5,分钟，乘客必须在,7:10,到,7:15,之间，或在,7:25,到,7:30,之间到达车站,.,所求概率为：,从上午,7,时起，每,15,分钟来一班车，即,7:00,，,7:15,，,7:30,等时刻有汽车到达汽车站，,即乘客候车时间少于,5,分钟的概率是,1/3.,区间,(0,1),上的均匀分布,U,(0,1),在计算机模拟中起着重要的作用,.,实用中，用计算机程序可以在短时间内产生大量服从,(0,1),上均匀分布的随机数,.,它是由一种迭代过程产生的,.,严格地说，计算机中产生的,U,(0,1),随机数并非完全随机，但很接近随机，故常称为,伪随机数,.,如取,n,足够大，独立产生,n,个,U,(0,1),随机数，则从用这,n,个数字画出的频率直方图就可看出，它很接近于,(0,1),上的均匀分布,U,(0,1).,则称,X,服从参数为 的指数分布.,指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.,若随机变量,X,具有概率密度,常简记为,XE().,（,2,）,指数分布,:,或称,X,服从参数为 的指数分布,其中,:,至此，我们已初步介绍了两类重要的随机变量,:,离散型随机变量和连续型随机变量,能不能对它们给出一种统一的描述方法？这就是后面要介绍的分布函数,.,f,(,x,),x,o,x,P(x),o,对它们分别用概率函数和密度函数描述,.,正态分布是应用最广泛的一种连续型分布,.,正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布,.,德莫佛,德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是,正态分布的首次露面,.,(3),正态分布,高,尔,顿,钉,板,试,验,这条曲线就近似我们将要介绍的,正态分布,的密度曲线。,一、正态分布的定义,若随机变量,X,的,概率密度为,记作,f,(,x,),所确定的曲线叫作,正态曲线,.,其中 和 都是常数，任意，,0,，,则称,X,服从参数为 和 的正态分布,.,二、正态分布 的图形特点,正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线,.,特点是,“,两头小，中间大，左右对称,”,.,决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度,.,正态分布 的图形特点,能不能根据密度函数的表达式，得出正态分布的图形特点呢？,容易看到，,f,(,x,)0,即整个概率密度曲线都在,x,轴的上方,;,故,f,(,x,),以,为对称轴，并在,x,=,处达到最大值,:,令,x,=,+,c,x,=,-,c,(,c,0),分别代入,f,(,x,),可得,f,(,+,c,)=,f,(,-,c,),且,f,(,+,c,),f,(,),f,(,-,c,),f,(,),这说明曲线,f,(,x,),向左右伸展时，越来越贴近,x,轴。即,f,(,x,),以,x,轴为渐近线。,当,x,时，,f,(,x,),0,用求导的方法可以证明，,为,f,(,x,),的两个拐点的横坐标。,x=,这是高等数学的内容。,根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图。,回忆我们遇到过的年降雨量问题，我们用上海,99,年年降雨量的数据画出了频率直方图。,从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布。,下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图。,红线,是拟合的正态密度曲线,可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布。,人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点。,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布,.,请同学们想一想，实际生活中具有这种特点的随机变量还有那些呢？,