自动控制原 理第7章2.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,7,章第,*,页,EXIT,自动控制原 理,第,7,章 非线性控制系统,7.1,非线性系统的基本概念,7.2,描述函数法,7.3,相平面法,7.4,利用非线性特性改善线性系统的性能,前面各章讨论了线性定常控制系统分析与设计的各种问题。但在实际工程中理想的线性系统严格地说是不存在，其组成元件在不同程度上具有某种非线性特性，可以说都是非线性系统。不过，当系统的非线性程度不严重时，在一定范围内或一定条件下可以近似地看作为线性系统，这时采用线性方法去研究具有实际意义。但是，并不是所有的非线性系统都可以进行线性化处理，某些不能进行线性化处理的系统，称为本质非线性控制系统。对于本质非线性控制系统，如果采用线性方法研究可能导致错误的结论。故有必要进行专门的非线性系统的研究。,7.1,非线性系统的基本概念,7.1.1,非线性系统的数学描述,非线性系统：,如果一个系统中包含一个或一个以上具有非线性特性的元件或环节时，即称该系统为非线性控制系统。,描述大多数非线性物理系统的数学模型是,n,阶非线性微分方程,式中，,u,(,t,),为输入函数，,y,(,t,),为输出函数,在通常情况下，可以将构成系统环节分为线性与非线性两部分，可用框图表示非线性系统的基本形式。,当用框图作为非线性系统的数学模型，因为多数情况不关心其各方框的输入和输出关系，所以不必再用微分方程去描述系统，而只需将系统的线性部分用传递函数或脉冲响应表示，非线性部分则用非线性等效增益或描述函数表示即可（将在后面介绍）。但是，对于复杂系统而言，则必须考虑非线性环节加于系统何处以及以何种加入的问题。,7.1.2,典型非线性特性,非线性特性是多种多样的，目前尚不存在统一的分析方法。下面介绍几种控制系统中常见的典型非线性特性。其中一些特性是组成控制系统的元件所固有的，如饱和特性、死区特性、间隙特性等，这些特性一般来说对控制系统的性能是不利的；另一些特性是为了改善系统性能而人为加入的，如继电器特性、变放大系数特性等，在控制系统中加入这类非线性特性，可使系统具有比线性系统更为优良的性能。,1,饱和特性,在控制系统中若存在饱和特性，将使系统在大信号作用下的等效放大倍数降低，从而引起瞬态过程时间的延长和稳态误差的增加。对于条件稳定系统，甚至可能出现小信号时稳定，而大信号时不稳定的情况。,当,e,(,t,)0,时，,sgn,e,(,t,)=+1,；当,e,(,t,)0,（,3,）,m,=1,，,a,=0,（,4,）,描述函数法可以用于分析非线性系统平衡状态的稳定性、是否产生自持振荡、确定自持振荡的振幅和频率以及消除自持振荡的方法等方面的内容。,7.4.3,非线性系统的描述函数分析,系统的闭环特征式为,或,K,n,非线性元件非线性部分的放大系数,非线性元件,线性部分,当线性系统是稳定系统时，（,1,，,j0,）点是判断稳定的参考点。如果线性部分仍是稳定系统，但是，由于系统中存在非线性元件，则用来判断非线性系统稳定性的不再是临界点（,1,，,j0,）,，而是一条临界线 。在应用描述函数法分析非线性系统的稳定性时，主要利用特性曲线 和轨迹线 之间的相对位置进行判别。,（,1,）,当,由,0,，曲线位于轨迹 的右侧，非线性系统是稳定的；,（,2,）,当,由,0,，曲线包围轨迹 ，非线性系统是不稳定的；,（,3,）,当,由,0,，曲线与轨迹 相交，非线性系统是不稳定的，系统将出现极限环。相应的振荡近似于正弦振荡。其振幅和频率分别为交点处曲线上相应的,值和轨迹上的,A,值,极限环的稳定性可根据 的曲线方向来判断。,1,）,如果交点是 曲线穿进 曲线时的交点，则该交点所对应的极限环是不稳定的。如图中的,Q,点。,2,）,如果交点是 曲线穿出 曲线时的交点，则该交点所对应的极限环是稳定的。如图中的,P,点。,Q,点具有发散特性，,P,点具有收敛特性。,7.3,相平面法,相平面法是一种在时域中求解二阶微分方程的图解法。它不仅能分析系统的稳定性和自持振荡，而且能给出系统运动轨迹的清晰图像。相平面法一般适用于二阶非线性系统的分析。,7.3.1,相平面法的基本概念,一般说来，描述二阶系统的二阶常微分方程可以用两个一阶微分方程表示,状态平面是一般的二维平面，其水平轴记为,x,1,，垂直轴记为,x,2,。假设,(,x,1,(,t,),，,x,2,(,t,),表示为上式的一个解，则当,t,为固定值时，解对应于状态平面上的一个点。当,t,变化时，对于在状态平面上形成的运动轨迹称为,状态平面轨迹,。,（,7.30,）,当,这种特殊情况下的状态平面称为,相平面,，相应的状态平面轨迹称为,相平面轨迹，或直接称为相轨迹,。,某二阶系统的时间响应与相轨迹。,图中用,A,、,B,、,C,分别表示不同的初始状态，每一初始状态下对应一条相轨迹。,用相平面图分析系统性能的方法称为相平面法。,状态,(,x,10,，,x,20,),称为式（,7.30,）在,t,0,时刻的一个,平衡点,，其条件为对于所有的,t,t,0,，有,在相轨迹上满足条件：,尤其是非时变系统（常称为自治系统），,t,0,时刻的平衡点必然也是,t,t,0,所有时刻的平衡点。,为不定值的点称为,奇点,。,（,7.33,）,（,7.32,）,式（,7.33,）和式（,7.32,）是等价的，,奇点也必然就是平衡点,。,7.3.2,二阶线性系统的相轨迹,二阶线性系统的微分方程为,（,7.12,）,令,x,=,x,1,，则可改写为下列一阶微分方程组,得,或,解得,x,1,与,x,2,的关系式就是二阶线性系统的相轨迹方程。,其特征根（或二阶线性系统的极点）为：,线性二阶系统的时间响应由其特征根决定，而时间响应又决定了系统相轨迹的性质。,式（,7.12,）的特征为程为：,（,1,）当,=,0,时（,无阻尼状态,），,1,、,2,为,一对共轭纯虚根，系统单位阶跃响应作,等幅振荡但不能持续，系统的相轨迹是一族同心的椭圆每,椭圆对应一个简谐运动（见图,7.26a,）在相平面原点处有一孤立奇点，被周围封闭的椭圆曲线包围。此种奇点称为,中心点,。,（,2,）,当,0,1,时（,过阻尼状态,），,1,、,2,为,两个负实根。其零输入响应是随时间非周期地衰减到零。对应的相轨迹是一族趋向相平面原点的抛物线（见图,7.26c,）。相平面原点为奇点，并称其为,稳定的节点,。,（,4,）,当,1,、,2,为实根，且,1,位于根平面左半部，,2,位于根平面右半部时，系统的零输入响应也是非周期发散的。相应的相轨迹如图,7.26d,所示。此种奇点称为,鞍点,。,（,5,）当,1,0,时，,1,、,2,为位于根平面右半部的一对共轭复根。系统的零输入响应是发散振荡的。对应的相轨迹为由相平面原点出发的对数螺旋线（见图,7.26e,）。此种奇点称为,不稳定的焦点,。,（,6,）当,1,时，,1,、,2,且为位于根平面右半部的两个正实根。系统的零输入响应为非周期发散的，对应的相轨迹是由相平面原点出发的发散型抛物线族（见图,7.26f,）。此种奇点称为,不稳定的节点,。,1,）只有坐标原点（即相平面的原点）是奇点；,2,）无数条相轨迹都通过原点，相轨迹在原点的斜率不是定值；,3,）相平面上任何其他点都只有一条相轨迹通过，该点的相轨迹斜率必为定值，故都不是奇点。,1,、二阶线性系统的相轨迹和奇点的性质由系统的特征根决定，即由系统本身的结构与参量决定，而与初始状态无关。,2,、不同的初始状态只能在相平面上形成一组几何形状相似的相轨迹，而不能改变相轨迹的性质。,3,、由不同初始状态决定的相轨迹不会相交，但有可能部分重合。只有在奇点处，才能有无数条相轨迹逼近或离开它。,4,、二阶或更高阶的线性系统不会形成在全部时间内有定义的孤立封闭曲线形状的相轨迹。,注意：,当,=,0,时,，线性系统处于无阻尼运动状态，相轨迹虽然是封闭曲线形的，但不是孤立的。,7.3.3,相轨迹的绘制方法,求解二阶系统的相轨迹有,解析法与图解法,两类方法。其中，解析法只适用于系统的微分方程较为简单、便于积分求解情况。对于较为复杂的系统，常采用图解法。在绘制系统相轨迹时，通常需将系统的微分方程改变为相变量方程的形式，即,（,7.37,）,（,7.37,）,1.,解析法,将上式写为：,对式（,7.38,）进行积分，得到,x,1,与,x,2,的关系式，即为相轨迹方程，以,x,1,与,x,2,作为平面坐标，描绘出相应曲线即得到相轨迹。,（,7.38,）,2.,等倾线法,不求微分方程的解，而通过作图的办法，直接在相平面上绘制相轨迹。,给定不同的,值，可在相平面上画出许多等倾线。在给定初始状态条件，便可沿着给定的相轨迹切线方向画出系统的相轨迹。,式（,7.38,）实际上表示了相轨迹的斜率，若取斜率为常数,q,，则该式变为,3.,法,由式（,7.37,）变为：,在点,(,x,1,，,x,2,),附近小领域内，视,(,x,1,，,x,2,),为常量，并对上式进行积分，即可得,如果选取新坐标系为,，在新坐标系中以,为圆心，半径为从圆心到所取点,的距离（如图,7.16,），画出的圆弧就近似地表示了所选取点附近的相轨迹。因此，相轨迹就可用一段小圆弧连接而成。,相轨迹是系统的时间响应在,x,1,x,2,平面上映象，虽然能反映系统时间响应的主要特征，但未直接显示时间信息。为了求出系统的时间响应，介绍以下近似求解方法。,7.3.4,相轨迹求系统暂态响应,1.,相轨迹的平均斜率求时间,t,若,x,1,的微小增量,x,1,及时间增量,t,，则与,x,1,相应的纵坐标平均值为：,或,系统状态,x,1,由,A,点转换到,B,点所需时间：,求得,x,1,(,t,),的图形。令,x,1,(,t,)=,c,(,t,),，即可得到系统的时间响应。,同理可求得系统状态,x,1,由,B,点转换到,C,点所需要时间,t,BC,。,2.,面积法求时间,t,图示曲线可表示为,则,积分得,表明：,系统状态,x,1,从,t,=0,开始时的初始状态,x,1,(0),转移到某一状态,x,1,(,t,),所需时间等于曲线 与轴,x,1,之间包含的面积（图中阴影部分）。此面积可采用矩形面积来似近表示。,7.3.5,非线性系统的相平面分析,分析步骤,（,1,）将非线性特性用分段的线性来表示，写出相应各段的数学表达式。,（,2,）在相平面上选择合适的坐标（一般常用误差,e,及其导数做为坐标轴）。然后根据分段情况，在相平面上画出分界线，将相平面分割成几个区域。,（,3,）根据各线性域的微分方程决定奇点的类别和在相平面上的位置，以及基准线的位置。再画出各域的相轨迹。,（,4,）把相邻区域的相轨迹，在分界线上适当的衔接起来，便得到整个非线性系统的相平面图。,（,5,）,由相平面图分析系统的动态和稳态特性。,注：,（,1,）如果相轨迹图较复杂，经分析可能有极限环，需确定其位置；,（,2,）如果分界线较复杂，是非线性曲线等等，建议用实验法绘制精确相图。,（,3,）在一般情况下，只需根据分界线，基准线的位置和奇点的性质和位置，绘制出相轨迹草图，便可分析出系统的品质。,1.,具有饱和特性的非线性系统分析,列写系统微分方程组,则系统的分段线性方程,分界线方程为,方程 ，把 平面分成,、,、,个线性区域,(1),当 时,区,相轨迹的斜率方程,这说明相平面的原点（,0,，,0,）为,I,区相轨迹的奇点，该奇点因位于,I,区内，故为实奇点。若,1,4,TK,0,，则系统在,I,区工作于欠阻尼状态，这时的奇点（,0,，,0,）为稳定焦点，如图,7.35,（,a,）所示；若,1,4,TK,0,，则系统在,I,区工作于过阻尼状态，这时的奇点（,0,，,0,）为稳定节点。,、,区相轨迹的斜率方程为,应用等倾线法，在相平面图的,II,、,III,区分别绘制的一簇相轨迹如图,7.35,（,b,）所示，其中直线,分别为,II,、,III,区内,=0,的等倾线。由于,II,区的全部相轨迹均渐近于,，,III,区的全部相轨迹均渐进于 ，故称,=0,的两条等倾线为相轨迹的渐近线。,基于图,7.35,（,a,）、（,b,）可以绘制在阶跃输入信号下含饱和特性的非线性系统的完整相轨迹图，其中相轨迹的初始点由,来确定。图,7.35,（,c,）所示为 及,情况下非线性系统的完整相轨迹图。,2.,具有继电器特性的非线性控制系统分析,（,1,）具有理想继电器特性的控制系统分析,则系统的分段线性方程,分界线方程为,把 平面分成,、,两个线性区域，相轨迹图对称于坐标原点。系统没有奇点，但有渐近线。,当 时,区,相轨迹的斜率 为,0,相轨迹,渐近线方程,相迹的斜率方程为,等倾线为一族平行于,e,轴的直线,在阶跃信号作用下，系统由初始相点,A,出发，沿,区相轨迹前进，在分界线的,B,点进入,区，然后沿着,区相轨迹前进，在,C,点又进入,区，经过几次振荡，系统逐渐收敛于原点。原点不是奇点，是动平衡点。,区和,区对称,（,2,）具有死区特性的继电控制系统分析,则系统的分段线性方程,分界线方程为,把 平面分成,、,、,三个线性区域，相轨迹图对称于坐标原点。系统没有奇点，但有渐近线。,区,相轨迹是一组斜率为,1/,T,的直线,当 时,（,3,）具有死区滞环特性的继电控制系统,系统在阶跃输入作用下,相平面的上下两部分各分成三个线性区域，三个域的微分方程与图,7.42,三个域的微分方程分别相同，两图响应域的相迹也相同。,但在图,7.44,中由于继电器有滞环，致使继电器释放时的 都比图,7.42,大，这就增加了系统的振荡趋势。,当,域中的相迹斜率的绝对值 不是很大时，系统将出现稳定的极限环。只有当 足够大时，相轨迹才能趋向于,e,轴的,e,至,e,的线段。这时系统是稳定的系统。,7.4,利用,非线性特性改善线性系统的性能,在线性系统中，为了提高系统稳定精度则希望增大系统的开环放大系数，或者在系统的开环传递函数中增添,s,=0,极点，但由此可能导致系统的相对稳定性能降低，使暂态性能恶化；又如，在暂态性能中，响应的快速性与超调量之间也有矛盾。因此，在系统设计时，往往采取折衷方案。但是，如果人为有目的的地在线性系统中加入某些非线性环节，却有可能使系统的性能大幅度地提高，以达到单纯线性系统根本无法实现的预期效果。,开环传递函数为,闭环传递函数为,1,具有微分反馈的二阶系统,开环传递函数为,闭环传递函数为,当未引入局部微分反馈（,=0,）时,曲线为未引入微分反馈时系统的阶跃响应，超调量过大。,曲线为引入微分反馈后系统的阶跃响应，虽无超调，但响应过慢。,非线性微分负反馈的二阶系统,两个输入：,c,(,t,),，,e,(,t,),特性：,K,c,c,(,t,),K,e,e,(,t,),时，,N,(),c,(,t,),在阶跃信号刚作用时，,e,(,t,),很大，,c,(,t,),很小，微分反馈环节不起作用，相当于系统传递函数中,等于零；,随着时间推移，,e,(,t,),减小，,c,(,t,),增长，适当地整定此非线性环节的参数，可以在接近于稳态值时，使微分反馈环节具有输入信号，因而使系统处于附加有输出微分反馈的状态。,曲线,在线性系统中，正确地引入非线性特性能使系统的性能大为改善。,非线性微分负反馈的二阶系统,（,1,）当运算放大器输出未达到饱和值时，,K,（,2,）当运算放大器输出达到饱和值时，,K,1,，相对稳定性增强，暂态过程较为平稳，抑制了系统的超调量。,采用了串联非线性校正装置的系统能够较好地解决稳态性能和暂态性能之间的矛盾。,运算放大器未饱和时的开环对数幅频特性；,运算放大器饱和后的开环对数幅频特性。,本章小结,控制系统有线性和非线性之分。严格地说，实际工程中理想的线性系统是不存在的。实际非线性系统不满足叠加原理，因而线性定常系统的分析方法原则上不适合用于非线性系统。本章阐述了非线性系统的基本理论，介绍了经典控制理论中研究非线性控制系统的两种常用方法：,描述函数法和相平面法。,（,1,）描述函数法主要用于分析非线性系统的稳定性和自振。利用该方法时，要把系统的结构图变换为典型形式，非线性特性应该是奇对称的；线性部分具有良好的低通滤波特性。,（,2,）描述函数法是一种工程近似方法。结果的准确度在很大程度上取决于高次谐波成分被衰减的程度。它所给出的看似正确的解也可能是错误的。但其显著的特点是：分析不受系统阶数的限制，高阶系统的分析准确度比低阶系统高，尤其是在解决工程实际问题上，不需要求得精确解时更为有效。,（,3,）相平面法是一种图解方法，能精确地分析系统，但系统的阶次限于二阶或低于二阶。相平面图清楚的表示了系统在不同初始条件下的自由运动。利用相平面图还可以研究系统的阶跃响应和斜坡响应。,（,4,）正确地人为引入非线性特性可以改善系统性能。这是实现系统的最优控制可能的有效手段之一。,11.,非线性环节,串联后,的等效非线性环节的特性与两个环节的前后顺序有关，改换前后次序则等效特性亦会变化；两个非线性环节,并联后,的等效非线性特性将因两个环节的死区参量不同而有差异。,12.,人为有目的的地在线性系统中加入某些非线性环节，却有可能使系统的性能大幅度地提高，以达到单纯线性系统根本无法实现的预期效果。,