第2章-自动控制系统分析基础.ppt

,第二级,第三级,第四级,第五级,第,2,章 自动控制系统分析基础,第,2,章 自动控制系统分析基础,2.1,控制系统的数学模型,2.2,传递函数,2.1,控制系统的数学模型,分析控制系统，首先要对它的输入变量和输出变量之间的运动关系进行数学描述，也就是要建立系统的,运动数学模型。,在动态过程中，反映各变量之间关系的数学表达式是一组微分方程，称为,动态数学模型,；,当变量的各阶导数为零时，这时描述各变量之间关系的数学表达式称为,静态数学模型,。,数学模型的建立有两种方法：,分析法、实验法,。,采用,分析法,时，应从元件或系统的物理规律出发，建立数学模型。,例如，建立电气网络的数学模型是基于基尔霍夫定律；建立机械系统的数学模型则是基于牛顿定律。,采用,实验法,时，应对实际系统或元件加入一定形式的输入信号，用求取系统或元件输出响应的方法建立数学模型。,线性系统,:,数学模型为线性微分方程式的控制系统。,线性定常系统,:,当线性微分方程式的系数是常数时。,非线性系统,：,如果系统中存在非线性特性，则需要用非线性方程来描述的系统。,连续系统,:,凡是能用微分方程式描述的系统。,离散系统,:,如果系统中包含有数字计算机或数字元件，则要用差分方程描述的系统。,系统种类：,在经典控制理论中，连续控制系统数学模型的形式有,微分方程,、,传递函数,和,频率特性函数,，另外还有,方框图,和,信号流图,。,在现代控制理论中，主要采用,状态空间表达式,作为系统数学模型。,本章以,线性连续系统,为重点，讨论控制系统数学模型的建立和主要研究方法。,2.1.1,系统微分方程的建立,在各种数学模型中，微分方程是最基本的一种数学模型。建立,线性系统微分方程,的一般步骤如下：,(1),确定实际系统的输入量和输出量，再按信号传递顺序，定出各元件或环节的输入量和输出量。,(2),按信号传递顺序，根据有关的物理,(,或化学,),基本定律，写出各元件或环节的微分方程式，有时还要考虑元件之间的相互影响，即所谓的负载效应。,(3),消去中间变量后，即得到描述系统输入输出之间运动关系的微分方程式。,(4),标准化。即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列，最后将系数归一化为具有一定物理意义的形式。,【,例,21】,试列写图所示,RC,无源网络的动态微分方程。给定,u,r,为输入量，,u,c,为输出量。,解：根据电路理论中的基尔霍夫定律，可写出,式中,i,为流经电阻,R,及电容,C,的电流。消去中间变量,i,，,得到,可见，,RC,无源网络的动态数学模型是一个一阶常系数线性微分方程。,令,RC,T,，,则又可以写成如下形式,:,【,例,22】,设有一弹簧,质量,阻尼器动力系统，如图所示。当外力,F,(,t,),作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力,F,(,t,),与质量块,(,质量为,m,),的位移,y,(,t,),之间的微分方程。,解 在外力,F,(,t,),作用下，如果弹簧恢复力和阻尼器阻力与,F,(,t,),不能平衡，则,质量块将有加速度，并进而使速度和位移发生变化。根据牛顿第二运动定律应有,式中,F,1,(,t,),为阻尼器阻力，,F,2,(,t,),为弹簧恢复力。,由弹簧、阻尼器的特性可写出,式中,f,为阻尼系数，,k,为弹簧系数。,消去中间变量,F,1,(,t,),和,F,2,(,t,),，,并将方程式标准化，则得到,令,则上式变为：,式中，,T,称为时间常数，,称为阻尼比，,K,称为放大系数,(,或称增益,),。这就是描述弹簧,质量,阻尼器动力系统的标准微分方程，其诸系数的归一化在研究系统性能指标,时更具有一般意义。,对于线性定常系统来说，其微分方程一般可以写成如下形式：,式中,c,(,t,),为系统输出量，,r,(,t,),为系统输入量，,a,0,，,a,1,，,，,a,n,及,b,0,，,b,1,，,，,b,m,均为由系统结构参数决定的实常数。,2.1.2,非线性微分方程的线性化,线性系统有两个非常重要的性质：,(1),可叠加性,。即同一个线性系统对若干个输入共同作用时所引起的输出响应，等于各个输入单独作用于系统时的输出响应的叠加。,(2),齐次性,。即线性系统的输入若变化,K,倍，则输出响应也变化,K,倍。,因此，对于线性系统可以应用,叠加定理,，这样会给系统分析带来极大的方便。当有几个输入量同时作用于同一个系统时，可以作为单输入单输出系统来处理，分别求出系统在各输入量单独作用时的输出量，然后再叠加，就可以求出总的输出量。,图,2.3,线性系统的叠加原理,但是，实际上所有元件和系统都不同程度地具有非线性特性，求解非线性系统的微分方程也是相当困难的。另外，由于非线性特性有各种不同的类型，所以也没有解析求解的通用方法，因而就提出了线性化问题。,如果在工作点附近一个较小的范围内，能够用线性来代替原有的非线性，使原有非线性微分方程式近似为线性微分方程式，这将给理论分析和工程实践都带来很大方便。,非线性方程的线性化,在工作中，控制系统各个变量偏离其平衡工作点的值一般都比较小，对于具有,非本质非线性特性的系统,，可以采用,小偏差线性化,的方法求取近似的线性微分方程以代替原来的非线性微分方程。,具有间断点、折断点或非单值关系的非线性特性，如饱和特性、死区特性、间隙,(,滞环,),特性、摩擦特性和继电特性等，称为,严重非线性特性或本质非线性,特性,。具有本质非线性特性的系统，只能用,非线性理论,去处理。,非线性微分方程的小偏差线性化,，,是将一个非线性函数,y,(,t,)=,f,(,x,),在工作点,(,x,0,，,y,0,),处展开成泰勒级数，然后略去二次以上的高次项，得到线性函数，用来代替原来的非线性函数。,设非线性函数,y,=,f,(,x,),的平衡工作点是,(,x,0,，,y,0,),，,将它在平衡工作点邻域展开成泰勒级数表达式为,忽略二阶以上的高次项，得,式中，,y,0,=,f,(,x,0,),，,K,f,(,x,0,),，,x,x,-,x,0,，,y,y,-,y,0,。,公式（,2-1,）,或,即,上述方程式反映了输入量的增量,x,与输出量的增量,y,之间的关系，称为,增量方程,。,因为控制系统总是在工作点附近进行调节控制，因此人们关心的是稳态值附近的情况，即增量的情况，所以系统的数学模型可用增量形式表示。,由于输入输出都是用增量形式表示的，因此,符号可以省略，所以,原非线性方程式就简化为在非线性方程平衡工作点附近的一个近似线性表达式了,。,小偏差线性化的几何含义：,K,f,(,x,0,),y,/,x,就是工作点,P,(,x,0,，,y,0,),处的切线的斜率。而方程,(21),就是,y,=,f,(,x,),在点,P,(,x,0,y,0,),处的切线方程。所以，线性化就是在平衡工作点处用线性特性来近似原来的非线性特性。另外还可知，当,y,=,f,(,x,),在平衡工作点处的,曲率越小,，变量偏离平衡值越小，,线性化的精度也就越高,。,2.1.3,微分方程的解,用,拉普拉斯变换,(,简称拉氏变换,，,Laplace,Transform,),的方法求解线性微分方程，可以把,经典数学中的微积分运算转化为代数运算,，又有现成的拉氏变换表可供查找，这样可使方程求解问题大为简化，因而它是一种较为简便的工程数学方法。,1.,拉氏变换的定义,如果有一个以时间,t,为自变量的函数,f,(,t,),，,它的定义域是,t,0,，,那么拉氏变换就是如下运算式：,(22),式中的,s,为复数。一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是：,(1),在,t,0,时，,f,(,t,),0,；,(2),在,t,0,时的任一有限区间内，,f,(,t,),是分段连续的；,在实际工程中，上述条件通常是满足的。式,(22),中，,F,(,s,),称为象函数，,f,(,t,),称,为原函数。为了表述方便，通常把式,(22),记作,F,(,s,)=,L,f,(,t,),如果已知象函数,F,(,s,),，,可用下式求出原函数,:,式中,c,为实数，并且大于,F,(,s,),任意奇点的实数部分。此式称为拉氏变换的反变,换。同样，为了表述方便，可以记作,f,(,t,),L,-1,F,(,s,),为了工程应用方便，常把,F,(,s,),和,f,(,t,),的对应关系编成表格，即一般所说的拉氏变换表。附录中列出了最常用的几种拉氏变换关系。,例,求单位阶跃函数的拉普拉斯变换,例 求指数函数,的拉普拉斯变换（其中,a,为任意复常数）,2.,常用的拉氏变换法则,(,不作证明,),1),线性性质,拉氏变换也遵从线性函数的叠加定理。也就是说，若,f,1,(,t,),和,f,2,(,t,),的拉氏变换分别是,F,1,(,s,),和,F,2,(,s,),，,a,为常数，则有,L,af,1,(,t,)+,f,2,(,t,),=,aF,1,(,s,)+,F,2,(,s,),L,-1,aF,1,(s)+F,2,(s)=af,1,(t)+f,2,(t),2),微分定理,原函数的导数的拉氏变换为,式中,f,(0),为,f,(,t,),在,t,0,时的值。,同样，可得,f,(,t,),各阶导数的拉氏变换为,:,如果上列各式中所有的初始值都为零，则各阶导数的拉氏变换为,:,3),积分定理,原函数,f,(,t,),积分的拉氏变换为,当初始值为零时,4),初值定理,如果原函数,f,(,t,),的拉氏变换为,F,(,s,),，,并且,存在，则时间函数,f,(,t,),的初始值为,5),终值定理,如果原函数,f,(,t,),的拉氏变换为,F,(,s,),，,并且,sF,(,s,),在,s,平面的右半平面和虚轴上是解析的，则时间函数,f,(,t,),的稳态值可由下式求得：,这一定理对于求暂态过程的稳态值是很有用的。但是，,当,sF,(,s,),的极点的实部为正或等于零时，不能应用终值定理,。这一点必须注意。,从初值定理和终值定理可知，,t,0,与,s,对应，,而,t,与,s,0,对应,，事实上这正是反,映了时域与频域,(,或与复数域,),的一种反比关系。,6),卷积和卷积定理,如果时间函数,f,1,(,t,),和,f,2,(,t,),都满足条件：,当,t,0,时，,f,1,(,t,),f,2,(,t,),0,，则,f,1,(,t,),和,f,2,(,t,),的卷积为,由于卷积符合交换律，卷积也可写成,如果,f,1,(,t,),和,f,2,(,t,),是可以进行拉氏变换的，,F,1,(,s,),L,f,1,(,t,),，,F,2,(,s,),L,f,2,(,t,),，,那么,f,1,(,t,)*,f,2,(,t,),的拉氏变换为,这称为卷积定理,。,或,3.,应用拉氏变换法解微分方程,用经典方法求微分方程的全解时需要利用,初始条件,来确定积分常数的值，这一过程比较麻烦。,用拉氏变换法就可省去这一步，因为初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式之中了。而且，如果所有初始条件都为零，那么只要简单地用复变量,s,来代替微分方程中的,d/d,t,，用,s,2,代替,d,2,/d,t,2,就可以十分方便地得到微分方程的拉氏变换式。,应用拉氏变换法解微分方程的步骤如下：,(1),对线性微分方程进行拉氏变换，,使时域的微分方程变换为复数域,s,的代数变换方程；方程中的初始值应取系统,t,=0,-,时的对应值。,(2),求解代数变换方程，,得到输出变量在复数域,s,的象函数表达式。,(3),将,s,域的输出象函数表达式展成部分分式。,(4),对部分分式进行拉氏反变换,(,可查拉氏变换表,),，即得微分方程在时域的全解。,【,例,23】,已知图,21,所示的,RC,无源网络动态微分方程式为,求输入为单位阶跃电压时的拉氏变换和时域的解。,设电容,C,上的初始电压为,u,0,u,c,(0),。,解,:,对网络微分方程式进行拉氏变换，得变换方程,TsU,c,(,s,)-,Tu,c,(0),U,c,(,s,),U,r,(,s,),输入单位阶跃电压为,u,r,1(,t,),，,将其拉氏变换式,U,r,(,s,),1/,s,代入上式，并整理得电容端电压的拉氏变换式为,将输出的象函数,U,c,(,s,),展成部分分式：,(23),对等式两边进行拉氏反变换，得,u,c,(,t,)=1-e,-,t,/,T,+,u,0,e,-,t,/,T,(24),此式表示了,RC,网络在输入为单位阶跃电压时输出电压,u,c,(,t,),的变化过程。,比较方程,(23),和,(24),可见，方程右端的,第一项,取决于外加的输入作用,u,r,1(,t,),，,表示了网络输出响应,u,c,(,t,),的稳态分量,；,第二项表示,u,c,(,t,),的瞬态分量,，,该分量将随着时间的增长而衰减至零；,第三项是与初始值有关的瞬态分量，,当初始值,u,0,0,时，则第三项为零，于是就有,u,c,(,t,)=1-e,-,t,/,T,RC,网络的阶跃响应,u,c,(,t,),及其各组成部分的曲线如图,25,所示。,图,25,RC,网络的阶跃响应曲线,2.2,传,递,函,数,求解控制系统的微分方程,优点,：可以得到在确定的初始条件和输入信号作用下系统输出响应的表达式，并可画出时间响应曲线，因而可直观地反映出系统的动态过程。,缺点,：系统的参数发生,变化，则微分方程及其解均会随之而变，,需要进行多次重复的计算；微分方程的阶次越高，这种计算越繁杂。,对于系统的综合校正及设计，采用微分方程这一种时域数学模型将会遇到更大的困难，必须借助计算机才能完成大量的运算。,在,经典控制理论,中一直广泛使用的分析设计方法,频率法和根轨迹法,，并不是直接求解微分方程，而是采用与微分方程有关的另一种数学模型,传递函数,，间接地分析系统结构参数对响应的影响。所以传递函数是,个极其重要的基本概念。,2.2.1,传递函数的概念及定义,在例,23,中，曾用拉氏变换法对,RC,网络的微分方程进行了求解。如果假定初始值,u,0,0,，,对其微分方程,进行拉氏变换，则有,(,T,s,+1),U,c,(,s,)=,U,r,(,s,),网络输出的拉氏变换式为,令,我们称,G,(,s,),为传递函数，并将其视为另一种数学模型。这是一个复变量函数，是以,s,为变量的代数方程。对任意元部件或系统，传递函数的具体形式各不相同，但都可看作是,在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。,图,26,传递函数方框图表示,方框图（又称结构图）：用以表述,输入、输出与传递函数三者之间的关系,如：,RC,网络的结构图。,根据上述说明，可以对,传递函数作如下定义,：所谓传递函数，就是系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。,已知以,c,(,t,),为输出量，,r,(,t,),为输入量的系统的微分方程一般表达式为,(26),式中,a,0,，,a,1,，,，,a,n,及,b,0,，,b,1,，,，,b,m,均为由系统结构参数决定的实常数。设初始条件为零，对式,(26),两边进行拉氏变换，得,(,a,n,s,n,+,a,n-1,s,n-1,+,a,1,s,+,a,0,)C(,s,),=(,b,m,s,m,+,b,m-1,s,m-1,+,b,1,s,+,b,0,),R,(,s,),则系统的传递函数为,(27),即为系统放大系数。从微分方程看，,s,0,相当于所有导数项为零，方程变为静态方程，,b,0,/,a,0,恰好为输出、,输入的静态比值。,若令,0,，则有,传递函数是在初始条件为零,(,称零初始条件,),时定义的。,控制系统的零初始条件有,两方面的含义,：一是指输入作用是在,t,0,以后才作用于系统，因此，系统的输入量及其各阶导数在,t,0,-,时的值均为零；二是指输入作用加于系统之前，系统是“相对静止”的，因此，系统输出量及其各阶导数在,t,0,-,时的值也为零。,实际的工程控制系统多,属此类情况,，这时，传递函数一般都可以完全表征线性定常系统的动态性能。,根据传递函数的定义，只要求出了系统运动的微分方程表达式，由式,(27),就可以直接写出系统的传递函数。例如，图,22,所示的弹簧,质量,阻尼器动力系统的微分方程如下,:,则其传递函数为,用传递函数来描述系统动态特性，具有一定的局限性。,1),对于非零初始条件，传递函数便不能完全描述系统的动态特性。,因为传递函数只反映零初始条件下输入作用对系统输出的影响,。,2),传递函数只是通过系统的输入变量与输出,变量之间的关系来描述系统,亦即为,系统动态特性的外部描述,，而对系统内部其他变量的情况却不完全知道,现代控制理论采用,状态空间法,描述系统，就可以克服传递函数的这一缺点。,传递函数具有以下性质：,(1),传递函数是复变量,s,的有理真分式,，而且所有系数均为实数，通常分子多项式的次数,m,低于,(,或等于,),分母多项式的次数,n,，即,m,n,。,这是因为系统一般都具有惯性，且能量又有限的缘故。,(2),传递函数只取决于系统和元件的结构与参量，,与外作用形式无关,。,(3),可以将式中分子、分母分别进行因式分解，改写成如下所谓的“,典型环节,”的形式：,2.2.2,传递函数的基本性质,数学上的每一个因子都对应着物理上的一个环节，我们称之为典型环节。其中：,K,比例环节,(,或称放大系数、系统增益,),1/,s,积分环节,1/(,Ts,1),惯性环节或非周期环节（,RC,网络）,1/(,T,2,s,2,2,Ts,1),振荡环节,s,微分环节,s,1,一阶微分环节,2,s,2,2,s,1,二阶微分环节,（,2-8,）,我们所研究的自动控制系统，都可以看成由这,7,种典型环节组合而成。,(4),传递函数都有一定的,零、极点分布图,与之对应。将式,(28),改写成如下零、极点形式：,(29),使分子多项式为零的根，称之为传递函数的零点，使分母多项式为零的根，称之为传递函数的极点,图,2.7,零、极点分布图,式,(29),中的各个因子的,z,i,、,p,j,分别与式,(28),中的,i,、,T,i,互为倒数，常数,K,*,称为传递函数的根轨迹增益,。系统增益,K,与,K,*,之间的关系为,(5),传递函数的拉氏反变换，即为系统的脉冲响应。,所谓脉冲响应,，是指系统在单位脉冲函数,(,t,),输入下的输出响应。因为,单位脉冲的拉氏变换式,R,(,s,),1,，,所以,g,(,t,),L,-1,C,(,s,),L,-1,G,(,s,),R,(,s,),L,-1,G,(,s,),显然，系统的脉冲响应,g,(,t,),与系统传递函数,G,(,s,),有,单值对应关系,，故可以用来描,述系统的动态特性。,(6),若令,s,j,(,即,s,j,，,其中,0),，,这是传递函数的一种特殊形式，,G,(,s,)|,s,j,G,(j,),，,称为,频率特性,。,G,(j,),是用频率法研究系统动态特性的基础,。频率特性也是描述系统动态特性的又一种数学模型，而且频率特性有鲜明的物理意义，这些将在后面讲述频率法时进一步加以介绍。,2.2.3,结构图等效变换及系统的传递函数,求传递函数时，需要对微分方程组,(,或变换方程组,),进行消元，最后仅剩下输入、输出两个变量，因此,中间变量的传递过程得不到反映,。,采用结构图，它就,能形象地表明输入信号在系统或元件中的传递过程,。下面将会看到，利用结构图也便于求取传递函数。,1.,结构图的建立,建立系统结构图的步骤如下：,(1),建立控制系统各元部件的微分方程。,(2),对各元部件的微分方程进行拉氏变换，并作出各元部件的结构图。,(3),按系统中各信号的传递顺序，依次将各元件结构图连接起来，便得到系统的结构图。,【,例,24】,已知随动系统如图,15,所示，要求画出系统的结构图。,解 在图,16,的系统原理图中，依次列写出各元部件的微分方程,:,比较元件,e,r,-,c,电位计,u,e,K,1,e,放大器,u,a,K,2,u,e,电动机,减速器,把该微分方程组进行拉氏交换，可得如下拉氏变换方程组：,e,(,s,),r,(,s,)-,c,(,s,),U,e,(,s,),K,1,e,(,s,),U,a,(,s,),K,2,U,e,(,s,),s,(,T,m,s+1),(,s,),K,m,U,a,(,s,),各元部件的结构图如图,28,所示。然后将各方框图按信号传递顺序连接起来，可得到图,29,所示的随动系统的结构图。,图,28,随动系统各元部件结构图,图,29,随动系统的结构图,由上述讨论可知，系统结构图实质上是,系统原理方框图,和,数学方程,二者的结合。,与第,1,章的系统原理图比较，在结构图上，,用记有传递函数的方框取代原理方框图中的元件名称，也就是用传递函数取代了各元部件的具体物理结构,。可见，结构图对系统特性进行了全面描述，既描述系统各组成元部件之间信号的传递关系，也表示了系统各变量之间的运算关系。,2.,结构图的等效变换及梅森公式,结构图是从具体系统中抽象出来的数学图形，主要是为了研究系统的运动特性，而不是研究它的具体结构。,可以对它进行任何需要的变换，当然，这种变换应该是“等效”的。,所谓”等效”,，,就是不论结构图图,形如何变化,，,变化前后有关变量之间的传递函数应保持不变,。,在实际系统中，任何复杂系统的结构图，都不外乎是由,串联、并联和反馈,三种基本结构交织组成的。,等效变换主要是,通过变换加法点和引出点的位置来实现。有时还可以变换方框的位置。,1),串联,传递函数分别为,G,1,(,s,),与,G,2,(,s,),的元件串联连接，其等效传递函数等于该两个传递函数的,乘积,。,如：,由图,(,a,),可写出,U,(,s,),G,1,(,s,),R,(,s,),C,(,s,),G,2,(,s,),U,(,s,),消去中间变量,U,(,s,),，,则有,C,(,s,),G,1,(,s,),G,2,(,s,),R,(,s,),(210),由图,(,b,),，,并结合式,(210),可得,G,(,s,),G,1,(,s,),G,2,(,s,),2),并联,传递函数分别为,G,1,(,s,),与,G,2,(,s,),的元件并联连接，其等效传递函数等于该两个传递函数的代数和，即,G,(,s,),G,1,(,s,),G,2,(,s,),并联连接及其等效结构图如图所示。,由图,211(,a,),可写出,C,1,(,s,),G,1,(,s,),R,(,s,),和,C,2,(,s,),G,2,(,s,),R,(,s,),C,(,s,),C,1,(,s,),C,2,(,s,),消去中间变量,C,1,(,s,),和,C,2,(,s,),，,得,C,(,s,),G,1,(,s,),G,2,(,s,),R,(,s,),则有,G,(,s,),G,1,(,s,),G,2,(,s,),同样，可将上述结论推广到,n,个传递函数的并联，其等效传递函数为,n,个传递函数的代数和。,3),反馈连接,图,a,为反馈连接的一般形式，其等效变换如图,b,所示。,由图,a,可写出,C,(,s,),G,(,s,),E,(,s,),E,(,s,),R,(,s,),B,(,s,),B,(,s,),H,(,s,),C,(,s,),消去中间变量,E,(,s,),、,B,(,s,),，,得,式中分母上的“,+”,号，对应于负反馈连接；“,-”,号对应于正反馈连接。若令,(211),则称,(,s,),为,闭环传递函数,。若反馈通道的传递函数,H,(,s,),1,，,则系统称为,单位反馈系统,，此时闭环传递函数为,结构图简化后如图,213(,a,),、,(,b,),所示。图中,K,=,K,1,K,2,K,m,/,i,。,以图所示的随动系统的结构图为例。,4),求和点的移动,(1),求和点之间的移动,求和点是指信号比较点。,因为总输出,C,是,R,、,X,1,、,X,2,三个信号的代数和，故更换相邻两个求和点的位置，不会影响总的输出与输入之间的关系。变换前总输出信号为,C,R,X,1,X,2,变换后总输出信号为,C,R,X,2,X,1,(2),求和点顺向,(,或逆向,),移动,求和点的顺向,(,或逆向,),移动主要是指求和点与方框之间交换位置。,图为求和点逆信号方向移动的等效结构图。原结构图,(,a,),的信号关系为,C,(,s,)=,G,(,s,),R,(,s,),X,(,s,),等效变换后图,(,b,),的信号关系为,求和点的顺向移动：,a,的信号关系：,C(s,)=,R(s),X(s)G(s,),b,的信号关系：,C(s,)=,R(s)G(s,),X(s)G(s,)=,R(s)X(s)G(s,),规律：逆向移动需除,G(s,),，顺向移动需乘,G(s,),。,5),引出点的移动,(1),引出点之间的移动,若干个引出点相邻，表明将同一个信号输送到不同的地方去。因此，引出点之间相互交换位置，不会改变引出信号的性质，如图所示。,(2),引出点顺向,(,或逆向,),移动,引出点的逆向移动,引出点的顺向,(,或逆向,),移动主要是指引出点与方框之间交换位置,。,引出点的顺向移动,但是当,引出点与求和点之间进行等效交换,时，变换后的结构图反而变得更加复杂。所以,一般不推荐,这种变换。,【,例,25】,简化图,(,a,),所示系统结构图，并列写系统闭环传递函数,(,s,),C,(,s,)/,R,(,s,),。,解 这是,个多回路系统结构图，且回路有交叉。为了从内回路到外回路逐步简化，首先消除交叉回路。,将求和点,A,、,B,逆向移动，将引出点,C,顺向移动，将图简化为图,(,b,),A,逆向移动后：,B,逆向移动后（,A,、,B,交换位置）：,引出点,C,做顺向移动：,在上图中对前向通路中,G,1,(,s,),、,G,2,(,s,),、,G,3,(,s,),和,G,4,(,s,),进行串联变换，同时对三条反馈通路进行并联变换，,进而只剩一个主反馈回路，简化为图,(,c,),最后变换为一个方框，如图,(d),所示，得系统闭环传递函数为,简化结构图及求闭环传递函数的一般步骤可归纳如下：,(1),若结构图有交叉连接,，则可利用移动规则，首先将交叉回路消除，然后将其简化成无交叉的结构图。可以根据以下原则检查结构图移动前后的等效性：,前向通道传递函数乘积不变：,G,1,(,s,),G,2,(,s,),G,3,(,s,),G,4,(,s,),；,各回路传递函数乘积不变，可分别检验如下：,回路,：,G,2,(,s,),G,3,(,s,),H,2,(,s,),回路,：,G,3,(,s,),G,4,(,s,),H,3,(,s,),回路,：,G,1,(,s,),G,2,(,s,),G,3,(,s,),G,4,(,s,),H,1,(,s,),(2),按照串联、并联、反馈变换的顺序进行化简。,(3),对多回路结构图进行化简，直至变换成一个单回路结构图或一个方框图。最后写出系统闭环传递函数。,6),梅森,(S.J.M,as,o,n,),公式,应用梅森公式，可以不用简化结构图，而,直接写出系统传递函数,。这里只给出公式，并举例说明其应用。在介绍梅森公式之前，首先定义几个术语。,信号从输入端到输出端传递时，通过每个方框只有一次的通路，称为,前向通路,。,前向通路上所有传递函数的乘积，称为,前向通路传递函数,。,信号传递的起点就是其终点，而且每个方框只通过一次的闭合通路，称为,回路,。,回路上所有传递函数的乘积,(,并且包含代表回路反馈极性的正、负号,),，称为,回路传递函数,。,梅森公式的表达形式为,(212),式中,称为特征式，且,1,L,i,L,i,L,j,L,i,L,j,L,k,L,i,所有不同回路的回路传递函数之和；,L,i,L,j,所有两两互不接触回路，其回路传递函数乘积之和；,L,i,L,j,L,k,所有三个互不接触回路，其回路传递函数乘积之和；,P,i,第,i,条前向通路传递函数；,i,在,中，将与第,i,条前向通路相接触的回路有关项去掉后，所剩余的部分称为,的余子式。,下面举例说明,P,i,、,和,i,的求法及梅森公式的应用。,【,例,26】,用梅森公式求图所示系统的闭环传递函数。,从图可见，系统共有四个回路,L,1,、,L,2,、,L,3,和,L,4,。,故有,L,i,L,1,+,L,2,+,L,3,+,L,4,G,1,(,s,),G,2,(,s,),G,3,(,s,),G,4,(,s,),G,5,(,s,),G,6,(,s,),H,1,(,s,)-,G,2,(,s,),G,3,(,s,),H,2,(,s,),G,4,(,s,),G,5,(,s,),H,3,(,s,),G,3,(,s,),G,4,(,s,),H,4,(,s,),在以上四个回路中，只有,L,2,与,L,3,为互不接触回路。因此,L,i,L,j,L,2,L,3,G,2,(,s,),G,3,(,s,),G,4,(,s,),G,5,(,s,),H,2,(,s,),H,3,(,s,),而,L,i,L,j,L,k,=0 ,故可得特征方程式为,1,L,i,+,L,i,L,j,1,(,L,1,L,2,L,3,L,4,),L,2,L,3,1,G,1,(,s,),G,2,(,s,),G,3,(,s,),G,4,(,s,),G,5,(,s,),G,6,(,s,),H,1,(,s,),+,G,2,(,s,),G,3,(,s,),H,2,(,s,),G,4,(,s,),G,5,(,s,),H,3,(,s,),G,3,(,s,),G,4,(,s,),H,4,(,s,),G,2,(,s,),G,3,(,s,),G,4,(,s,),G,5,(,s,),H,2,(,s,),H,3,(,s,),前向通路只有一条，得,P,1,G,1,(,s,),G,2,(,s,),G,3,(,s,),G,4,(,s,),G,5,(,s,),G,6,(,s,),因为所有回路均与前向通路相接触，所以，其余子式,1,1,，,利用梅森公式,(2-12),得,将,、,P,1,、,1,代入上式，就可得系统闭环传递函数。,3.,反馈控制系统的传递函数,一个反馈控制系统在工作过程中，一般会受到两类信号的作用，统称外作用：,一类是有用信号或称,输入信号,、给定值、指令等，用,r,(,t,),表示，通常是加在控制系统的输入端,另一类则是,扰动,，或称干扰,n,(,t,),，,它可以出现在系统的任何位置，但通常最主要的干扰信号是作用在被控对象上的扰动，,例如电动机的负载扰动等。一个闭环控制系统的典型结构图如图所示。应用叠加原理可分别求出下面四种最常用的传递函数。,1),输入信号,r,(,t,),作用下的闭环传递函数,令,n,(,t,),0,，,这时图可简化成图,(,a,),。,输出,C,(,s,),与输入,R,(,s,),之间的传递函数，称为输入作用下的闭环传递函数，简称闭环传递函数，用,(,s,),表示，即,E(s,),而输出的拉氏变换式为,为了寻求,误差信号,与输入之间的关系，可以将结构图简化为图,(,b,),。,输入,R,(,s,),与输出,E,(,s,),之间的传递函数，称为控制作用下的,误差传递函数,，用,e,(,s,),表示，即,（,2-13,）,以,N,(,s,),作为输入，,C,(,s,),作为在扰动作用下的输出，它们之间的传递函数用,n,(,s,),表示，称为在扰动作用下的闭环传递函数，简称,干扰传递函数,，即,系统在扰动作用下所引起的输出为,（,2-15,）,2),干扰,n,(,t,),作用下的闭环传递函数,同样，令,r,(,t,),0,，结构图可简化为,(,a,),。,+,同理，干扰作用下的误差传递函数，称,干扰误差传递函数,，用,n,e,(,s,),表示。以,N,(,s,),作为输入，,E,(,s,),作为输出的结构图如图,b,所示。,系统在同时受,r,(,t,),和,n,(,t,),作用时，根据线性系统的叠原理，系统总输出应为各处作用分别引起的输出的总和，将式,(213),和,(215),相加，即为总输出的变换式,(217),同理，系统总的误差为,E,(,s,),e,(,s,),R,(,s,),n,e,(,s,),N,(,s,),将上述推导的四种传递函数表达式进行比较，可以看出两个特点：,(1),它们的分母完全相同,，均为,1,G,1,(,s,),G,2,(,s,),H,(,s,),，,其中,G,1,(,s,),G,2,(,s,),H,(,s,),称为,开环传递函数,。所谓开环传递函数，是将,H,(,s,),的输出断开，亦即断开系统主反馈回路后，从输入,R,(,s,)(,或,E,(,s,),到,B,(,s,),之间的传递函数。开环传递函,数在今后的控制系统分析和讨论中是十分重要的。,(2),它们的分子各不相同，且与其前向通路的传递函数有关,。因此，闭环传递函数的分子随着外作用的作用点和输出量的引出点不同而不同。显然，同一个外作用加在系统不同的位置上，对系统运动的影响是不同的。,