高三数学一轮复习 8.39 双曲线的简单几何性质课件 理 大纲人教版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,掌握双曲线的简单的几何性质,第,39,课时 双曲线的简单几何性质,1,双曲线的简单几何性质,标准方程,1(,a,0,，,b,0),1(,a,0,，,b,0),范围,x,a,，,y,R,y,a,，,x,R,对称性,坐标轴是双曲线的,，原点是双曲线的对称中心双曲线的对称中心叫做双曲线的,.,顶点,双曲线的对称轴与双曲线的交点叫做双曲线的,.,离心率,e,渐近线,y,x,y,x,对称轴,中心,顶点,2.,等轴双曲线,定,义,：,实轴和虚轴等长的双曲线叫做,双曲线，等轴双曲线的性质：,(1),渐近线方程为,：,y,x,；,(2),渐近线互相,；,(3),离心率,e,.,等轴,3,直线与双曲线的位置关系及判断方法,(1),直,线和双曲线有三种位置关系：相交,、,、,；,(2),直线和双曲线的位置关系的判断：设直线方程,：,y,k,x,m,，,双曲线方程：,1(,a,0,，,b,0),，,两方程联立消去,y,可得方程,：,Ax,2,Bx,C,0,，,相切,相离,垂直,若,A,0,，则直线与双曲线的渐近线,；,若,A,0,，其判别式为,B,2,4,AC,.,当,0,时，直线与双曲线,；,当,0,时，直线与双曲线,；,当,0,时，直线与双曲线,.,平行或重合,相交,相切,相离,1,已,知双曲线,(,a,0,，,b,0),，若过右焦点,F,且倾斜角为,30,的直线与双,曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是,(,),A,(1,2)B,(1,，,)C,2,，,),D,(,),解析：,依题意，结合图形可知,tan 30,10,，,b,0),的右焦点为,F,，若过点,F,且倾斜角为,60,的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围,是,(,),A,(1,2 B,(1,2)C,2,，,)D,(2,，,),解析：,设直线方程为,y,(,x,c,),将直线与双曲线方程联立,消去,y,得,(,b,2,3,a,2,),x,2,6,a,2,cx,3,a,2,c,2,a,2,b,2,0.,当,b,2,3,a,2,0,时,，,符合题意,，,e,先排除,B,、,D,两项,当,b,2,3,a,2,0,时,，,x,1,x,2,0,3,a,2,b,2,3,a,2,，,e,综上,e,2,，,),，故选,C,项,答案：,C,直线与双曲线的位置关系的问题，要注意直线与其双支相交还是与其中一支相交，若有两个交点，则两交点之间的线段都称为弦，这样的问题，主要考虑方程及方程组思想并结合根与系数的关系求解,同时注意直线与渐近线是否平行，直线的斜率是否存在若直线过焦点且垂直于实轴，则称其弦为通径若直线与双曲线的位置关系与向量有关，往往用坐标表示向量,【,例,2,】,过,点,P,(1,，,),的直线与双曲线,x,2,1,有且只有一个公共点，这样的,直线共有,(,),A,1,条,B,2,条,C,3,条,D,4,条,解析：,解法一,：,(1),x,1,为,双曲线,x,2,1,的一条切线；,(2),设过,P,(1,，,),的直线方程为,有一个公共点的直线有,4,条，即,x,1,，,解法二：,如,图作出双曲线,x,2,双曲线,x,2,的渐近线,y,x,和点,P,(1,，,),，利用双曲线的渐近线可观察出过,P,点与渐近线平行的两条,直线,l,1,、,l,2,与双曲线有一个公共点；过,P,点和双曲线右支有两条,切线,l,3,、,l,4,，因此过,P,点与双曲线有一个公共点的直线共,4,条,答案：,D,变式,2.,过,双曲线,2,x,2,y,2,2,0,的右焦点作直线,l,交双曲线于,A,、,B,两点，若,|,AB,|,4,，则这样的直线有,(,),A,4,条,B,3,条,C,2,条,D,1,条,解析：,由,2,x,2,y,2,2,0,得,x,2,则,a,1,，,b,，,如图双曲线两顶点的距离为,2,a,2,，又双曲线通径,CD,的长为,CD,因此过双曲线,2,x,2,y,2,2,0,的右焦点与双曲线交于,A,、,B,两点，且满足,|,AB,|,4,的,直线有,3,条，分别是,l,1,、,l,2,和,l,3,(,通径,),答案：,B,类似于椭圆的中点弦问题，解决双曲线的弦的中点问题方法有两种：一是利用一元二次方程根与系数之间的关系及中点坐标公式构造关系求解；二是利用弦端点在双曲线上，满足双曲线方程用点差法构造出中点坐标和斜率之间的关系求解,【,例,3,】,如,图，,已,知直线,l,交双曲线,(,a,0,，,b,0),及其渐近线于,A,、,D,、,B,、,C,四点，求证：,|,AB,|,|,CD,|.,证明：,(1),当,直线,l,的斜率不存在时，由双曲线的对称,性知：,|,AB,|,|,CD,|.,(2),当直线,l,的斜率存在时，设直线,l,的方程为,y,k,x,m,，由,得,(,b,2,a,2,k,2,),x,2,2,a,2,k,mx,a,2,m,2,a,2,b,2,0.,AD,中点,M,横坐标为,x,M,由 得,BC,中点,N,的横坐标为,x,N,x,M,x,N,.,而,M,、,N,均在直线,l,上，,M,、,N,重合,|,AB,|,|,CD,|,，综上，,|,AB,|,|,CD,|.,变式,3.,直,线,y,k,x,1,与双曲线,x,2,y,2,1,的左支交于,A,，,B,不同两点，直线,l,过点,(,2,0),和,AB,中点，求直线,l,在,y,轴上截距,b,的取值范围,解答：,由,得,(1,k,2,),x,2,2,k,x,2,0.,若直线与双曲线左支相交 于,A,，,B,两点，设,A,(,x,1,，,y,1,),、,B,(,x,2,，,y,2,),则解之，得,1,k,又,AB,中点为所以直线,l,的方程为,即,y,x,0,时，,b,而,1,k,解得,b,2,或,b,2.,1,注意双曲线的简单的几何性质与椭圆的简单的几何性质的联系和区别特别要注,意渐近线与离心率之间的关系，要突出渐近线的作用除了简单的几何性质，还应对双曲线进一步的了解，如,c,a,，,c,a,分别是双曲线两支上的点到其焦点距离的最小值，而通径长 是过焦点的直线被双曲线,(,与其焦点对应的,),一支所截弦长的最小值等,2,解决直线与双曲线的位置关系问题，由直线方程,y,k,x,m,与双曲线方程联立可得,Ax,2,Bx,C,0,，其中要注意,A,0,是其渐近线与,y,k,x,m,平行或重合的情况在解决有关直线与双曲线相切问题时，应借助于双曲线的渐近线而采用数形结合的思 想方法,.,【,方法规律,】,(,本小题满分,12,分,),已知点,M,(,2,0),，,N,(2,0),，,动点,P,满足条件,|,PM,|,|,PN,|,2,记动点,P,的轨迹为,W,.,(1),求,W,的方程,；,(2),若,A,，,B,是,W,上的不同两点,，,O,是坐标原点，求,OA,OB,的最小值,.,解答：,(1),由,|,PM,|,|,PN,|,2,知动点,P,的轨迹是以,M,、,N,为焦点的双曲线的右支，实半轴长,a,.,又半焦距,c,2,，故虚半轴长,b,所以,W,的方程为,(,x,),(2),设,A,，,B,的坐标分别为,(,x,1,，,y,1,),，,(,x,2,，,y,2,),当,AB,x,轴时，,x,1,x,2,，,y,1,y,2,.,从而,OA,OB,x,1,x,2,y,1,y,2,x,y,2.,当,AB,与,x,轴不垂直时，设直线,AB,的方程为,y,k,x,m,，与,W,的方程联立，消去,y,得,(1,k,2,),x,2,2,k,mx,m,2,2,0.,故,x,1,x,2,【,答题模板,】,所以,OA,OB,x,1,x,2,y,1,y,2,x,1,x,2,(,k,x,1,m,)(,k,x,2,m,),(1,k,2,),x,1,x,2,k,m,(,x,1,x,2,),m,2,又因为,x,1,x,2,0,，所以,k,2,10,，从而,OA,OB,2.,综上，当,AB,x,轴时，,OA,OB,取得最小值,2.,直线与圆锥曲线的位置关系是高考中考查的重点和热点涉及到的题有弦长、弦的中点、垂直、三点共线、最值和定值等问题,在解决直线与双曲线位置关系时，特别要注意与解决直线与椭圆位置关系的不同之处比如直线与双曲线一支有两个不同交点的处理手法，往往利用两交点的横坐标的积大于,0.,在解决直线与双曲线位置关系时，还要特别关注双曲线渐近线的作用,.,【,分析点评,】,