高三数学一轮复习 3.3 等比数列及其性质课件 文 大纲人教版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,1.,理解等比数列的概念,2,掌握等比数列的通项公式与前,n,项和公式并能解决简单的实际问题,【,考纲下载,】,第,3,讲 等比数列及其性质,1,等比数列的有关概念,(1),等比数列的定义：如果一个数列从第,项起，每一项与它的前一项的比等于,，这个数列就叫做等比数列，其中常数叫做等比数列,的,，记作,q,.,(2),通项公式：等比数列,a,n,的首项为,a,1,，公比为,q,，则称,a,n,为数,列,a,n,的通项公式,2,同一个常数,a,1,q,n,1,公比,提示,：,等比数列的定义与等差数列的定义从字面上看相似，就,是,“,比,”,与,“,差,”,的区别，但等比数列隐含着数列的各项不为,零，公比不为零，项与公式的正负号有着密切的关系等等,(3),等比中项：如果,a,，,G,，,b,成等比数列，那么,叫做,a,与,b,的,等比中项，且,ab,.,G,G,2,3,等比数列的重要性质,(1),若,m,n,p,q,，则,a,m,a,n,a,p,a,q,(,m,，,n,，,p,，,q,N,*,),(2),a,n,a,1,q,n,1,可推广为,a,n,a,m,q,n,m,.,(3),设等比数列,a,n,的首项为,a,1,，公比为,q,.,当,q,1,，,a,1,0,或,0,q,1,，,a,1,1,，,a,1,0,或,0,q,0,时，数列,a,n,为递减数列；,当,q,1,时，数列,a,n,是,(,非零,),常数列；,当,q,2,pq,，又,a,1,、,b,1,不为零，,因此,c,c,1,c,3,，故,c,n,不是等比数列,.,巧用性质，可以减少计算量，同时需要有敏锐的观察能力和应对能力,【,例,3,】,等比数列,a,n,的前,n,项和等于,2,，紧接在后面的,2,n,项和等于,12,，再紧接其后的,3,n,项和为,S,，求出,S,.,思维点拨,：利用等比数列的性质求解或利用整体代换，通过求,q,n,和 来解决问题,解：解法一,：,设依次,n,项之和分别为：,A,1,，,A,2,，,A,3,则有,A,1,2,，,A,2,A,3,12,，,A,4,A,5,A,6,S,，,而数列,A,n,为等比数列,，,公比为,q,n,，,A,2,A,3,2,q,n,2,q,2,n,，,2,q,n,2,q,2,n,12,，,q,2,n,q,n,6,0,，,q,n,2,或,q,n,3.,当,q,n,2,时,，,S,A,4,A,5,A,6,2,2,3,2,2,4,2,2,5,112,；,当,q,n,3,时,，,S,A,4,A,5,A,6,2,(,3),3,2,(,3),4,2,(,3),5,378.,所以,S,的值为,112,或,378.,解法二,：,由题意得,q,1,，,且,q,n,(,q,n,1),6,，,q,n,2,或,q,n,3.,S,2,2,3,(1,2,3,),112,或,S,(,3),3,1,(,3),3,378.,解,：,由等比数列的性质可知，,S,n,，,S,2,n,S,n,，,S,3,n,S,2,n,仍成等比数列,(,S,2,n,S,n,),2,S,n,(,S,3,n,S,2,n,),，,即,10,2,2(,S,3,n,12),，,S,3,n,62.,拓展,3,：,将本例中条件改为前,n,项和为,2,，前,2,n,项为,12,，求前,3,n,项和,【,方法规律,】,等比数列的定义，通项公式，前,n,项和公式是解决等比数列中的有关计算、,讨论等比数列的有关性质的问题的基础和出发点,1,确定等比数列的关键是确定首项,a,1,和公比,q,.,2,在等比数列通项公式和前,n,项和公式中共涉及五个量,a,n,，,a,1,，,n,，,q,，,S,n,，可,“,知三求二,”,3,等比数列求和公式的推导的思想可用于等比数列与等差数列对应项之积构,成的数列求和问题，即利用错位相消的方法去求数列的前,n,项和,4,在利用等比数列前,n,项和公式时，一定要对公比,q,1,或,q,1,作出判断；计,算过程中要注意整体代入的思想方法,5,等差数列与等比数列的关系是：,(1),若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列；,(2),若,a,n,是等比数列，且,a,n,0,，则,lg,a,n,构成等差数列,【,高考真题,】,(12,分,)(,2009,陕西卷,),已知数列,a,n,满足,a,1,1,，,a,2,2,，,a,n,2,，,n,N,*,.,(1),令,b,n,a,n,1,a,n,，证明：,b,n,是等比数列；,(2),求,a,n,的通项公式,【,规范解答,】,证明,：,(1),b,1,a,2,a,1,1,，,当,n,2,时,，,b,n,a,n,1,a,n,a,n,(,a,n,a,n,1,),b,n,1,，,b,n,是以,1,为首项,，,为公比的等比数列,.,4,分,解,：,(2),由,(1),知,b,n,a,n,1,a,n,，,6,分,当,n,2,时,，,a,n,a,1,(,a,2,a,1,),(,a,3,a,2,),(,a,n,a,n,1,),1,1,n,2,1,1,10,分,当,n,1,时，,1,a,1,，,a,n,(,n,N,*,).12,分,【,命题探究,】,给出数列的递推关系式，探求其通项公式，在这样一个常规的命题背景下，如何才能使命题形式不落俗套，新颖别致，是高考命题人的不倦追求本题设置了一个二阶递推式，以算术平均数的形式给出，貌似等差数列中的等差中项,(,注意不能理解为此递推式表示等差数列，这是命题人设计的一个小陷阱,),这里，,b,n,a,n,1,a,n,是命题人精心给出的一个关系式，它的设计，使等比数列知识得到了考查，同时，也为第,(2),问求数列,a,n,的通项公式给出了解题方向，可谓一石二鸟，也使得本题设计思路清晰，解题方向自然，解题过程简捷,(,1),看到递推式,a,n,2,，误认为,a,n,2,是,a,n,和,a,n,1,的等差中项,(,对等差中项的定义理解失误,),，于是判断数列,a,n,是等差数列，得到下列解法：由,a,1,1,，,d,a,2,a,1,1,，得,a,n,1,(,n,1),1,n,，并且,b,n,a,n,1,a,n,(,n,1),n,1,，,b,n,是非零常数数列，符合等比数列的条件从这个错误解法中我们得到启示：考场中看清题设条件，明确推理方向，既不把问题复杂化，也不把问题简单化，是高考成功解题的必备条件之一,【,易入误区,】,(2),不会利用,b,n,a,n,1,a,n,这个递推关系式去求,a,n,的通项公式合理利用题目的条件，特别是系列设问的试题，第,(1),问的结论，往往也是第,(2),问的条件，在解题时应该重视这种思维方法和解题技巧,【,知识链接,】,求数列递推式的通项公式的题型与方法,(1),已知,a,1,a,，递推关系为,a,n,1,qa,n,b,(,n,N,*,),，可将,a,n,1,qa,n,b,转化为,a,n,1,q,(,a,n,),的形式，其中,由待定系数法确定，即,qa,n,b,a,n,1,qa,n,(,q,1),，所以,(,q,1),b,，即,.,(2),已知,a,1,，且,a,n,a,n,1,f,(,n,)(,n,N,*,),，可以用,“,逐差法,”,：,即,a,n,a,n,1,f,(,n,),，,a,n,1,a,n,2,f,(,n,1),，,，,a,3,a,2,f,(3),，,a,2,a,1,f,(2),，,所有等式左右两边分别相加：,(,a,n,a,n,1,),(,a,n,1,a,n,2,),(,a,3,a,2,),(,a,2,a,1,),f,(,n,),f,(,n,1),f,(2),，,即,a,n,a,1,f,(2),f,(3),f,(,n,1),f,(,n,),(3),已知,a,1,，且,f,(,n,)(,n,N,*,),，可以用,“,累积法,”,：即,f,(,n,),，,f,(,n,1),，,，,f,(3),，,f,(2),，,所有等式左右两边分别相乘：,f,(,n,),f,(,n,1),f,(3),f,(2),，,即,a,n,a,1,f,(2),f,(3),f,(,n,1),f,(,n,),