中学数学教学设计.ppt

*,*,中学数学课堂教学设计,郭 民,东北师范大学数学与统计学院,guom702,2/28/2026,1,一、,课堂教学设计的基本理念,要关注学生经验的积累,(,基本活动经验,),传统的教育重视知识的传授和技能的训练。,“知识在本质上是一种结果，可以是经验的结果，也可以是思考的结果。”,结果的教育、知识的积累。,素质教育不仅要重视知识、也要重视智慧。,“,智慧并不表现在经验的结果上，也不表现在思考的结果上，而表现在经验的过程，表现在思考的过程。,”,过程的教育、经验的积累。,2/28/2026,2,我们必须清楚，世界有很多东西是不可传递的，只能靠亲身经历。智慧并,不完全依赖知识的多少，而依赖知识的运用、依赖经验，你只能让学生在实际操,作中磨练。,过程的教育不仅仅是指在授课时要讲解、或者让学生经历知识产生的过程，甚至不是指知识的呈现方式。,而是，注重学生探究的过程、思考的过程、反思的过程。,2/28/2026,3,要关注学生的思维的训练,(,基本思想,),爱因斯坦：,西方科学的发展是以两个伟大成就为基础，那就是,希腊哲学家发明的形式逻辑体系（在欧几里德几何中），以及通过,系统的实验发现有可能找出因果关系（在文艺复兴时期）。,杨振宁：,我很有幸能够在两个具有不同文化背景的国度里学,习和工作，我在中国学到了演绎能力，我在美国学到了归纳能力。,2/28/2026,4,演绎能力：,能够熟练使用演绎推理的能力。,演绎推理来源于亚里士多德，他在,工具论,提出了著名的,三段论理论，即大前提、小前提、结论。,这是一种由一般到特殊的推理。,已知,A,求证,B,。,A,和,B,都是确定的。,演绎推理的主要功能在于验证结论，而不在于发现结论。,2/28/2026,5,过去的课程教学设计重视的是演绎：,基础知识（概念记忆与命题理解）扎实；,基本技能（证明技能与运算技能）熟练。,绵延千年的科举。重视基本功：知识记忆；,重视操作技能：熟能生巧。,还缺少什么？,根据情况“预测结果”的能力；,根据结果“探究成因”的能力。,2/28/2026,6,需要一种“从特殊到一般的推理”，,这种推理就是归纳推理，培根在,新工具,提出。,归纳推理就是从个别现象出发、抽象出共性、总结出一般的结论。,从思维训练的角度考虑，过去的数学课程教学设计缺少归纳能力的培养，对培养创新性人才是不利的,但这种培养是困难的,这种培养是基于经验的。,2/28/2026,7,“双基”,“,四基”,基础知识、基本技能,+,基本思想、基本经验。,“,两能,”,“,四能,”,发现问题、提出问题,+,分析问题、解决问题。,2/28/2026,8,例如：在一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共,16,个，如果椅子腿与凳子腿加起来共有,60,个，有几个椅子和几个凳子？,这是,“,鸡兔同笼,”,的问题，但是椅子和凳子相差一条腿，有利于学生进行,“,尝试,”,。可以让学生列表尝试：,椅子数,凳子数,腿的总数,16,0,4,1664,15,1,4,153,163,14,2,4,143,262,2/28/2026,9,对于凳子和椅子的问题，可以仍然用尝试的方法列出方程：,椅子数,凳子数,腿的总数,a=16,16-a=0,4,a3,(16-a)=64,a=15,16-a=1,4,a3,(16-a)=63,a=14,16-a=2,4,a3,(16-a)=62,这样，合题意的方程为,4,a3,(16-a)=60,。,2/28/2026,10,这些“过程的教育”，让学生自己探索答案，而不一定是通过讲,道理分析出答案。,通过“道理”直接给出结果固然是好的，但是通过有规律的计算寻,求这个规律是得到一般结果的有效手段，这是我们过去数学课程设,计教学中忽视的地方。,教师要学会站在学生的立场思考问题，只有这样才能引导学生思考。,2/28/2026,11,在四基、四能的基础上,1.,知道数学内容的主线,2.,知道数学内容的重点,3.,知道数学内容的难点,2/28/2026,12,数学的主线,数学的思想是：抽象、推理、模型；,基础是：定义、符号、假设；,本质是：研究“关系”。,2/28/2026,13,关于抽象,把外部世界的数量、图形的关系抽象到数学内部。形成概念,和运算法则。,概念：研究的对象、关系的术语；,法则：四则运算、代数方程、极限。,两个苹果、两匹马,2,：是抽象，现实不存在。,两个苹果,+,两匹马,=,？：,2+2=4,。,点、线、面；平行线。,2/28/2026,14,关于推理,是数学内部发展的基础。,基础是：同一律、矛盾律、排中律,同一律：,A,就是,A,（科学）,。,A,P,；,x A,；,x P,。,数可以比较大小；,复数是数；？,复数可以比较大小。,2/28/2026,15,矛盾律：,A,和非,A,不能同时成立。,比如在证明,2,是无理数，用到一个数不能同时是奇数又是偶数。,排中律：,A,和非,A,必然有一个成立。,2/28/2026,16,关于模型,是沟通数学与外部世界的桥梁。叙述一类事物的故事。,方程、函数、模型。,ax,2,+,bx,+c=0,：不是模型；,f(x,)=ax,2,+,bx,+c :,不是模型；,y=gt,2,/2,：是模型。,2/28/2026,17,数学研究关系,数量关系：大小（集合的包含）、四则运算；,代数、不等式、方程、函数、微积分。,图形关系：全等、相似、边角关系（三角函数）、,比例关系（解析几何）；,变换关系（平面几何、射影几何、拓扑）。,随机关系：可能性的大小（概率）；,数据的规律（统计）。,2/28/2026,18,代数的,重点,是,符号、方程、函数。,符号：,与数一样运算和证明、结果具有一般性。,方程：,列方程、解方程（根与系数的关系）。,x,2,+4x=25,ax,2,+,bx,+c=0,。,（韦达）,函数：,两种定义（变量、对应）；,两种数域（定义、取值）；,三种表示（表达、图形、表格）。,难点,是：,符号、函数。,2/28/2026,19,几何,重点,是：,建立直观 逻辑推理（,直观与演绎）,几何作图,（尺轨作图、实质是证明）,证明形式,（出发点、演绎推理、反证法）,难点,是：,图形的理解,（平行线）,证明的理解,（演绎、综合法）,2/28/2026,20,二、教育观与课堂教学设计,教育观：,以学生为本,本质与核心：以学生的发展为本,促进学生身心的全面、和谐与可持续发展,注重个性差异，追求教学质量和课堂效益,“以学生为本”的教育观体现了社会发展的新要求，体现基,础教育性质的变化，是教学设计的根本指导思想,2/28/2026,21,三、教学设计的内涵,教学设计是教师为达到教学目标而对课堂教学过程与,行为所进行的系统规划。,主要解决“教什么”和“怎么教”两个问题。,2/28/2026,22,教学需要设计的主要理由,1.,由学校教育的性质决定的。,学生智力的发展依赖于科学的、规律性的知识,和有目的、有计划、有指导的启发式教学,。,教师在教学中的主导地位必须强调。,只讲教师是教学的组织者、引导者、合作者是不够的。,2.,实现教学过程科学化的需要。,目的：提高教学质量和效益,使学生以尽量少的时间、精力等,的投入获得尽量多的收获。,教学过程科学化体现了对教师的专业化要求。,2/28/2026,23,关于概念教学的一些要求,（,1,）采取“归纳式”进行概念教学，让学生经历概念的概括过程；,（,2,）正确、充分地提供概念的变式；,（,3,）适当应用反例；,（,4,）在概念的系统中学习概念，建立概念的“多元联系表,示”；,（,5,）精心设计练习。,2/28/2026,24,归纳教学的例子：尝试。,为得到公式,a,2,b,2,=(a-,b)(a+b,),首先进行化简，令,b=1,。,变化,a,可以,得到：,2,2,1=4-1=3,3,2,1=9-1=8,4,2,1=16-1=15,5,2,1=25-1=24,6,2,1=36-1=35,因为,8=2,4,，,15=3,5,，,24=4,6,，,35=5,7,，,可以想到,a,2,1=(a-1)(a+1),，然后考虑一般的,b,。,2/28/2026,25,课程教学设计要贯彻过程性原则,按照知识的发生发展过程和学生的认知过程，精心设计概括活动,过程,处理好抽象与具体的关系,抽象是数学的一个公认的、最显著的特点,数学的抽象是从具体中得来的，具体中蕴含了本质,从具体中可以进行多次抽象,可以从不同的角度进行抽象,2/28/2026,26,贯彻过程性原则的具体要求,（,1,）通过分析过程，明确概括过程的主导思路，围绕这条思路确定,猜想和发现的方案；,（,2,）在把概括的结论具体化的过程中，推动对概念细节的认识；,（,3,）通过变式、反思、系统化，建立概念的联系，形成概念体系；,（,4,）强调类比、特殊化、推广等具有普适性的逻辑思考方法的应用。,2/28/2026,27,以科学认识的形成与发展途径为参照设计概括过程,（,1,）创设问题情境，引起学生对新知识的注意与思考；,（,2,）开展观察、试验、类比、猜想、归纳、概括、特殊化、一般化等活动，形成假设；,（,3,）利用已有知识进行推理论证活动，检验假设，获得新知识，并纳入到已有认知结构中；,（,4,）新知识的应用，加深理解（理在用中方知妙），建立相关知识的联系，巩固新知识。,2/28/2026,28,不等式基本性质的猜想证明应用,（,1,）引导学生回忆规定实数大小方法（顺序公理，数形结合）；,（,2,）引导学生认识实数大小的基本事实的本质和作用（实数大小比较归结为统一的与,0,的大小比较或判断差的符号问题）；,（,3,）等式有,“,等式两边同加（减）一个数，等式仍然成立,”“,等式两边同乘（除）一个数，等式仍然成立,”,等基本性质。可以看到，等式的基本性质就是,“,运算中的不变性,”,。类似的，不等式有哪些基本性质呢？,2/28/2026,29,（,4,）尝试用实数大小的基本事实证明性质；,（,5,）辨析不等式的基本性质,（与等式问题比较，考察异同；不同语言表述性质；等等）；,（,6,）尝试从基本性质出发，得出一些新的结论,（如,a,b,，,c,d,，则,a,c,b,d,）；,（,7,）概括思想方法,（与实数性质、等式性质的联系性；在数与运算的系统中考察关于实数大小的基本定理；等等）。,2/28/2026,30,课堂教学设计的基本环节,1,背景分析。,（,1,）学习任务分析。重点：本堂课的核心概念、数学思想方法；前后相关的知识；,（,2,）学生情况分析。重点：学生已有认知结构与新内容之间的潜在距离。,2,教学目标的设计。重点：通过学习，学生能做哪些过去不能做的事。,2/28/2026,31,3,课堂结构的设计。,重点：数学知识的逻辑顺序、教学活动顺序。,4,教学媒体的设计。,重点：适应学习需要，有利于揭示数学本质。,5,教学过程的设计。,重点：引导学生概括活动的“问题串”；变式训练；反思活,动；过程性评价。,2/28/2026,32,直线的参数方程的教学设计,教学任务分析,适当选择原点和单位长度，使直线,l,成为数轴，则直线,l,上任一点就可由它在数轴上的坐标,t,惟一确定。因此可以选择坐标,t,为直线参数方程中的参数。从而，建立直线的参数方程就转化为建立（一维）坐标,t,与（二维）坐标,x,，,y,之间关系的问题。,本节课的教学任务是联系数轴、向量等知识，求出直线的参数方程，并进行简单应用，让学生体会直线参数方程在解决问题中的作用。,2/28/2026,33,教学情景设计（问题系列）,（,1,）数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？,（,2,）如果把平面直角坐标系中的一条直线作为数轴，那么直线上任意一点就有两种坐标。怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的联系？,（,3,）当点,M,在直线,l,上运动时，点,M,满足怎样的几何条件？,2/28/2026,34,（,4,）如何确定直线的方向向量,e,？,（,5,）怎样直线上任意一点的坐标,x,，,y,用参数,t,和已知条件表示出来？,（,6,）例题：,已知直线,l,与抛物线交于,A,、,B,两点，求线段,AB,的长和点到,A,、,B,两点的距离之积。,在学习直线参数方程前你会怎样求解？利用直线参数方程求解有什么好处？,（,7,）反思：与直线的参数方程有联系的知识有哪些？在求直线的参数方程过程中，你认为有哪些重要的思想方法？,2/28/2026,35,四,、几个基本观点,1,坚持我国数学教育的优良传统,课程教材体系结构严谨，逻辑性强，语言叙述条理清晰，文,字简洁、流畅，有利于教师组织教学，注重对学生进行基础训练,等；,教学强调概念理解和基本技能训练，强调为学生铺设合理的,认知台阶，强调变式训练等；,学生学习刻苦，基础扎实，运算能力和逻辑推理能力强等。,2/28/2026,36,2.,针对问题进行改革,数学教学“不自然”，强加于人；,缺乏问题意识；,重结果轻过程，“掐头去尾烧中段”；,重解题技能、技巧，轻普适性思考方法的概括，方法论层次,的内容渗透不够，机械模仿多独立思考少，数学思维层次不高；,讲逻辑而不讲思想。,2/28/2026,37,3,处理好数学课改中的各种矛盾关系，把握平衡不走极端,学生主体与教师主导,接受学习与发现学习,基础与创新,数学知识、能力与情感态度,数学化与情境化（直观与逻辑、具体与抽象等）,独立思考与合作交流,过程与结果,面向全体与因材施教,书本知识与数学应用,2/28/2026,38,改革中应重点关注的问题,1,亲和力问题,呈现方式：,自然亲切，,生动活泼，激发兴趣和美感，引发学习激情。,数学的内在吸引力：在体现知识归纳概括过程中的数学思想、,解决各种问题中数学的力量、数学探究和论证方法的优美和精彩,之处、数学的科学和文化价值等方面，引发学生的积极体验。,2/28/2026,39,2,加强“问题性”,问题引导学习,通过,恰当的、对学生思维有适度启发性的问题，引导学生的思考和,探索，经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等理性思维基本,过程，切实改进学生的学习方式，,培养问题意识，孕育创新精神,。,2/28/2026,40,提问题的境界,度,道而弗牵,强而弗抑,开而弗达,2/28/2026,41,好问题的标准,“跳一跳能够摘到的果子”,反映当前教学内容的本质；,学生经过适度努力能够解决。,2/28/2026,42,案例：梯形面积公式的推导,如图，教师在将梯形进行切割后问学生：（,1,）这个平行四边形的底与梯形,的上、下底有什么关系？（,2,）平行四边形的高与梯形的高有什么关系？（,3,）梯,形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？（,4,）梯形的面积应怎样算？,2/28/2026,43,建立在学生思维最近发展区内的提问,我们知道，长方形面积是,“,长,宽,”,。你能回忆一下，我们是如何利用长方形面积得到三角形面积和平行四边形面积的吗？,如何利用已有的面积公式求出梯形的面积公式？,核心思想：利用,割补法,，将梯形面积,化归,为矩形、平,行四边形、三角形的面积,2/28/2026,44,提高思想性,加强过程与联系，以数学概念的发展过程、逻辑关系组织教学内容，保持,思想方法的前后一致性,；以核心概念和基本思想（数及其运算、函数、空间观念、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等）为贯穿教学过程的“灵魂”,。,2/28/2026,45,案例：定性平面几何的结构,主题：,全等形,平面对任意直线的反射对称性；,平行性,三角形内角和等于一个平角所表达的,“平直性”。,2/28/2026,46,定性平面几何的结构,由,SAS,公理和三角形内角和为一个平角这两个基本性质为起点，先讨论等腰三角形、平行四边形的各种性质，并概括出它们的,特征性质,，然后再逐步运用这两个基本工具，解答、论证其他平面几何的定理和问题。,2/28/2026,47,等腰三角形的特征性质,等腰三角形的两腰相等（定义）；,等腰三角形的两底角相等；,等腰三角形定角的平分线垂直于底边；,等腰三角形底边上的中线垂直于底边；,等腰三角形底边的垂直平分线平分顶角。,2/28/2026,48,三角形的两边之和大于第三边；,给定平面上两个点,A,，,B,，那么到,A,，,B,距离相等的点在线段,AB,的垂直平分线上；,从直线,l,外一点,P,到直线上各点的距离中，垂线段最小；,圆内接四边形的对角之和相等；,例 由等腰三角形的特征性质可以推出的定理,ASA,，,SSS,；,两条直线与第三条直线相交，如果同位角相等，那么它们不相交；,三角形的任一外角大于其任一内对角；,AAS,；,大边对大角，大角对大边；,2/28/2026,49,我国古代的定量平面几何学,以矩形面积等于长,宽为基础，用面积法推导直角三角形,面积公式、勾股定理。,矩形面积公式、直角三角形面积公式、勾股定理实际上是,一组完备的定量平面几何基础。,2/28/2026,50,案例一：三角函数诱导公式的推导,你能利用圆的几何性质推导出三角函数的诱导公式吗？,的终边、,+180,的终边与单位圆交点有什么关系？你,能得出,sin,与,sin,（,+180,）之间的关系吗？,我们可以通过查表求锐角三角函数值，那么，如何求,任意角的三角函数值呢？能否将任意角的三角函数转化为,锐角三角函数？,2/28/2026,51,问题情境,三角函数与（单位）圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何,性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某,些线段之间的关系。圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心,对称图形；以任意直径为对称轴的轴对称图形。你能否利用这种对,称性，借助单位圆，讨论一下终边与角,的终边关于原点、,x,轴、,y,轴以及直线,y,=,x,对称的角与角,的关系以及它们的三角函数之间的,关系？,2/28/2026,52,3,提高思想性,加强过程与联系，以数学概念的发展过程、逻辑关系组织学内容，,保持,思想方法的前后一致性,；以核心概念和基本思想（数及其运,算、函数、空间观念、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、,算法等）为贯穿教学过程的“灵魂”,。,2/28/2026,53,案例二：“向量”内容的结构,核心目标：,1.,理解向量及其运算的意义；,2.,能用向量语言和方法表述和解决数学、物理中,的一些问题。,2/28/2026,54,向量方法的内核,利用向量表示空间基本元素，将空间的基本性质和基本定,理的运用转化成为向量运算律的系统运用：,点,（以确定点为始点的）向量。,直线,一个点,A,、一个方向,a,定性刻画；引进数乘向,量,ka,，可以实际控制直线上的每一个点。,2/28/2026,55,平面,一个点,A,、两个不平行的（非,0,）向量,a,，,b,在,“,原则,”,上确定了平面（定性刻画）；引入向量的加法,a,+,b,，平面上的点,X,就可以表示为,a,+,b,（以及定点,A,），而成为可操纵的对象。,距离和角是刻画几何元素之间度量关系的基本量,引进向量的数量积的定义,a,b,=|,a,|,|,b,|,cos,，,作为反映向量的长度和两个向量间夹角的关系。,2/28/2026,56,用向量解决问题的“三步曲”,（,1,）建立几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为向量问题；,（,2,）通过向量运算研究几何元素之间的关系,(,平行、垂直,),，及其度量问题（如距离、夹角）等；,（,3,）把运算结果“翻译”成几何关系。,2/28/2026,57,向量内容的结构顺序,向量的实际背景及基本概念,向量的线性运算,平面（空间）向量基本定理及坐标表示,向量的数量积,向量应用举例,2/28/2026,58,4,加强结构性,结构良好的教学内容的特点,核心知识（基本概念及由内容所反映的数学思想方法）为联结,点，精中求简，易学、好懂、能懂、会用，能切实减轻学生负担；,形成概念的网络系统，联系通畅，便于记忆与检索；,具有自我生长的活力，容易在新情境中引发新思想和新方法。,2/28/2026,59,“结构性”的几个具体要求,1.,教学目标明确，削支强干，重点突出，集中精力于核心内容。,2.,教学内容安排注重层次结构，张弛有序，循序渐进。由浅入,深，由易到难，先简后繁，先单一后综合。,3.,每堂课都围绕一个中心论题展开和深化，精心组织相关的数学,成分，使相应的核心概念或重要思想成为一个有机整体，相关的数,学术语、定义、符号、概念、技能等因素都得到仔细的展开；课与,课之间建立精当的序列关系，保持知识的连贯性，思想方法的一致,性。易错、易混淆的问题有计划地复现和纠正，使知识得到螺旋式,的巩固和提高。,2/28/2026,60,（,4,）强调科学思考方法的应用,推广,类比 当前内容 类比,特殊化,2/28/2026,61,案例三,数系扩张,中的结构思想,度量的实际需要,具有实际意义；,数学概念发展的内在需要：,引进新的数，定义相应的运算，使得算术运算中原来,的运算律保持不变,2/28/2026,62,五、搞好课堂教学设计，提高教学质量和效益,明确教学目标，使学生保持高水平的数学思维。,以问题引导学习，尽量采用“归纳式”，让学生经历概念的概括过程，思想方法的形成过程，这是基本而重要的。,既讲逻辑又讲思想，引导学生通过类比、推广、特殊化等思维活动，促使他们找到研究的问题，形成研究的方法。,使学生在建立知识的内在联系过程中领悟本质,2/28/2026,63,1.,关于教学目标的思考,（,1,）教学目标是教学目的的系统化、具体化，是教学活动每一阶段要实现的教学结果，是衡量教学质量的标准。,（,2,）教学目标的设计必须建立在对学生情况全面了解、对教学内容精确分析的基础上。,（,3,）教学目标应当是可观察的。,2/28/2026,64,关于教学目标分类的思考,三层级模型,第一层级,主成分以记忆为主要标志,培养的是以记忆为主,的基本能力。测试看基本事实、方法的记忆水,平，标准是：获得的知识量以及掌握的准确性。,第二层级,主成分以理解为主要标志，培养的是以理解为主的基本能力，测试,看能否顺利地解决常规性、通用性问题，包括能否满意地解决综,合性问题。测试标准是：运用知识的水平，如正确、敏捷、灵活、,深刻等。,第三层级,主成分以探究为主要标志，培养以评判为主的基本能力，测试看能否对解,决问题的过程进行反思，即检验过程的正确性、合理性及其优劣。标准是,思维的深刻性、批判性、全面性、独创性等。,2/28/2026,65,案例 教学目标的陈述,反映数学的学科特点，反映当前学习内容的本质。,可观测：清楚陈述学习后有什么变化。,例,1,掌握一元二次方程根的判别式。,对“掌握”的内涵作具体界定。重要概念要考虑作适当分解：,（,1,）在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，掌握判别式的结构和作用；,（,2,）能用判别式判断一个一元二次方程是否有解；,（,3,）能用判别式讨论一个含字母系数的一元二次方程的解；,（,4,）能灵活应用判别式解决其他情境中的问题。,2/28/2026,66,例,2,理解函数单调性概念。,这一陈述中，需要对,“,理解,”,的含义作具体界定，以使我们能准确把握学生是否已经达到,“,理解,”,。实际上，,“,理解,”,的基本含义是学生能用概念作出判断。因此可以改述为：,能给出增函数、减函数的具体例证和图象特征；能用函数单调性定义判断一个函数的单调性。,2/28/2026,67,要防止教学目标,“,高大全,”,，有的甚至是,“,假大空,”,，目标,“,远大,”,、空洞，形同虚设。例如，一堂课的目标中含有：,培养学生的数学思维能力和科学的思维方式；,培养学生勇于探索、创新的个性品质；,体验数学的魅力，激发爱国主义热情；等等,。,2/28/2026,68,2.,搞好课堂教学设计的,三个基本点与两个关键,三个基本点,理解数学,对数学的思想、方法及其精神的理解；,理解学生,对学生数学学习规律的理解，核心是理,解学生的数学思维规律；,理解教学,对数学教学规律、特点的理解。,2/28/2026,69,两个关键,提好的问题,在学生思维最近发展区内，有意义；,设计自然的过程,数学知识发生发展的原过程（再创,造），学生对数学知识的认识过程。,2/28/2026,70,案例 “不等式基本性质”中的提问,不等式基本性质的研究可以通过类比等式的基本性质而,得到启发。,你能回忆一下等式的基本性质吗？,考察等式的基本性质的基本思想是什么？（,“,运算中的,不变性,”,）,类似的，不等式有哪些基本性质呢？,2/28/2026,71,过程,抽象与具体、特殊与一般的关系,抽象是数学的一个公认的、最显著的特点,数学的抽象是从具体中得来的，具体中蕴含了本质,从具体中可以进行多次抽象,可以从不同的角度进行抽象,特殊化能使一般的性质得到最明显的表征,2/28/2026,72,案例 正、余弦定理的推导,三角形有各种几何量，如三边长、三个内角的角度、,面积、外经、内径等。,“,解三角形,”,就是给定三角形,的若干几何量，求其余几何量。你认为至少给定几个,量就可以求出其余量？（从定性到定量）,特殊化：解直角三角形（利用勾股定理、两个锐角互,余、锐角三角函数等）。,2/28/2026,73,推广：能否将上述结论推广到一般三角形？,在已有结果的基础上，探索新的证明方法，如：,三角形面积与正弦定理,垂直投影与余弦定理,用余弦定理推导正弦定理,借助于外接圆证明正弦定理,2/28/2026,74,案例 等差数列求和公式教学设计,高斯如何得到求,1+2+,+100,的简便方法？,一个猜测：,第一，知道,常数数列求和最简单；,第二，观察到和式的特点，懂得用“平均数”思想将不同,数求和化归为常数数列求和。,上述猜测是从一个具体问题中归纳的，但反映了等差数列,求和的最核心思想。,2/28/2026,75,问题引导下的教学过程,你知道小高斯是如何求,1+2+,+100,的吗？,这一方法的思想实质是什么（为什么要,“,首尾相加,”,）？,类似的，你能求,1+2+,+,n,吗？,对于公差为,d,的等差数列,an,，如何利用,上述思想方法求,Sn,=,a,1+,a,2+,+,an,？,还有其他方法吗？,2/28/2026,76,一个核心,概括,引导学生自己概括出典型实例的共同本质特征,强调学生实质的、高水平的思维参与度，使学生在教学过,程中保持高水平的数学思维活动,2/28/2026,77,案例 平行线分线段成比例定理的概括,先行组织者：研究平行线的性质，就是探究在一组直线平,行的条件下可以得出哪些结论。,特例,1,一组等距平行线截另一组平行直线，结果如何？,特例,2,一组等距平行线截另一组任意直线，结果如何？,平行线等分线段定理、三角形和梯形的中位线定理。,特例,3,已知距离的不等距平行线截另一组直线，结果如,何？,平行线分线段成比例定理。,2/28/2026,78,3,努力改进教学方式,在教学方式的改进中，最重要的是要让学生有自,己积极地、独立地进行数学思考的空间。不管是,传授式还是活动式（相应的，学生学习方式是接,受式或发现式），只要学生有思维的自主，就是,学生的自主地位得到体现。,2/28/2026,79,根据数学知识的认知需要，为学生设置恰当的教学情景，,通过恰时恰点的问题引导学生的学习活动，充分使用“先,行组织者”，在思想方法上多做引导，在具体细节上让学,生自己多动手做、多阅读、多思考、多交流，让学生多发,表意见，教师自己参与到学生的活动中去，多听少讲，在,关键点上让学生有机会提出自己的见解。,2/28/2026,80,课堂教学的“六字经”,问题引导学习,教学重心前移,典型丰富例证,提供概括时机,保证思考力度,加强思想联系,使用变式训练,强调反思迁移,2/28/2026,81,欢迎诸位老师批评指正,谢 谢！,2/28/2026,82,