高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件 新人教A版必修4 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.4.1,平面向量数量积的物理背景及其含义,定义：,一般地，实数,与向量,a,的,积,是一个,向量,，记作,a,，,它的长度和方向规定如下：,(1)|,a,|=|,|,a,|,(2),当,0,时,a,的方向与,a,方向相同；,当,0,时,a,的方向与,a,方向相反；,特别地，当,=0,或,a=0,时,a,=,0,运算律：,设,a,b,为任意向量，,为任意实数，则有：,(,a,)=(),a,(,+,),a=,a+,a,(,a+b,)=,a+,b,复习实数与向量积,=180,=90,回顾向量夹角的定义,已知两个非零向量,a,和,b,，作,OA=,a,，,OB=,b,，,则,AOB=,（,0,180,）,叫做向量,a,与,b,的,夹角,。,=0,特殊情况,O,B,A,例 如图，等边三角形中，求,（,1,）,AB,与,AC,的夹角；,（,2,）,AB,与,BC,的夹角。,A,B,C,通过平移,变成共起点！,找向量夹角必须保证向量有相同的起点,我们学过功的概念，即一个物体在力,F,的作用下产生位移,s,（,如图）,F,S,力,F,所做的功,W,可用下式计算,W,=|,F,|,S,|cos,其中,是,F,与,S,的夹角,向量的夹角？,新课引入,我们学过功的概念，即一个物体在力,F,的作用下产生位移,s,（,如图）,F,S,力,F,所做的功,W,可用下式计算,W,=|,F,|,S,|cos,其中,是,F,与,S,的夹角,新课引入,在问题中，功是一个标量，它由力和位移两个向量确定。这启示我们，能否把功看成是这两个向量的一种运算结果呢？,规定,:,零向量与任一向量的数量积为数,0,。,数量积,(,向量的乘法,),定义：,说明：,(1),两向量相乘,(,数量积,),结果是一个数量，而不是向量，,符号由夹角决定,怎么决定？,(2),a,b,不能写成,a,b,已知两个,非零,向量,a,与,b,，,它们的夹角为,，,我们把数量,|,a,|,b,|cos,叫做,a,与,b,的数量积（或内积），记作,ab,.,ab,=|,a,|,b,|,cos,，,物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方,向上的力做功,s,F,，过点,B,作,垂直于直线,OA,，,垂足为 ，则,|b|,cos,O,A,B,a,b,O,A,B,a,b,|,b,|,cos,叫向量,b,在,a,方向上的,投影,为锐角时，,|,b,|,cos,0,为钝角时，,|,b,|,cos,0,为直角时，,|,b,|,cos,=0,B,O,A,a,b,数量积的几何意义,数量积,ab,的几何意义：,数量积,ab,等于,a,的长度,|a|,与,b,在,a,的方向上的投影,|,b|cos,的乘积。,数量积的重要性质,:,说明：“向量方等于向量模方”是向量和向量模相互转化的重要依据，今后常用。,平面向量数量积的运算律,已知向量 和实数 ，则向量的数量积满足：,（,1,）,（交换律）,（,2,）,（数乘结合律）,（,3,）,（分配律）,注意：数量积运算不满足结合律,1,若,a,=0,，,则对任一向量,b,，有,a b,=,0,2,若,a,0,，,则对任一非零向量,b,有,a b,0,3.,若,a,0,，,a b,=,0,则,b,=0,4.,若,a b,=,0,则,a b,中至少有一个为,0,5.,若,b,0,，,a b,=,b c,则,a,=,c,6.,若,a b,=,a c,则,b,c,当且仅当,a,=0,时成立,7.,对任意向量,a,b,c,有,(,a b,),c,a(b c),8.,对任一向量,a,有,a,2,=|,a,|,2,练习：判断正误,(,）,(,）,(,）,(,）,(,）,(,）,(,）,(,）,平面向量的数量积及运算律,例,2.,求证：（,1,）,（,2,）,证明：（,1,）,（,2,）,向量满足完全平方公式、平方差公式,例,4.,已知,与 的夹角为,60,，,求：（,1,）在 方向上的投影；,（,2,）在 方向上的投影；,（,3,）,=2,=3,当且仅当为何值时，与互相垂直？,1.ab,=|,a,|,b,|,cos,2.,数量积,几何意义,3.,重要性质,课堂小结,4.,运算律,课堂练习,:,1.,在,ABC,中,=,a,=b,ab,0,则,ABC,是,_,三角形,BA,BC,2.,已知,|,a,|,=4,为单位向量,它们的夹角为,则,a,在,方向上的投影是,_,2,3,3.,设,a,、,b,、,c,是非零向量，则（,ab,),c,是（）,（,A,）,数量,（,B,）与,a,共线的向量,(C),与,c,共线的向量,(D),无意义,钝角,2,C,