高中数学 第七章 三角函数 733 余弦函数的性质与图像课件 新人教B版必修第三册 课件.pptx

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第,七,章,三角函数,7.3.3,余,弦函数,的性质,与,图,像,学习目标,1.,能正确使用“五点法”“图像变换法”作出余弦函数,和,的图像,，,并能体会正弦曲线和余弦曲线的关系,.,2.,理解余弦函数的性质,，,会求余弦函数的周期、单调区间及最值,，,并能利用余弦函数的图像和性质来解决相关的综合问题,.,重,点,：余弦函数的图像和性质,.,难,点,：,余弦函数的图像和性质的综合应用,.,知识梳理,一,、,余弦函数,的,定,义与性质,因为对于任意,一,个角,，,都有唯,一,确定的余弦,与之对应,，,所以,是,一,个函数,，一,般称为,余弦函数,.,1.,余,弦函数的定义,由,可知,，,的性质与图像和正弦,型,函数,的相同,，,由,此,可得,余,弦函数,的,性质（如下表所示）,.,尝试与发现,研,究余弦函数,的性质,，,你能给出几种不同的方案呢？请你选择其,中一,个方案,，,研究余弦函数的性质,.,2,.,余,弦函数,的,性质,定义域,值域,最值,周期性,单调性,奇偶性,零点,当,x,+,2k,（,k,）时，,y,min,-1,周期函数，最小正周期为,2,在区,间,-,+2k,，,2k,（,k,）上递增；,在区,间,2k,，,+,2k,（,k,）上递减,偶函,数,（,）,当,x,2k,（,k,）时，,y,max,1,；,二,、,余弦函数的图像,函数,的图像称为,余弦曲线,.,由,，,因此余弦曲线可,由,正,弦曲,线向,左平移,个单位得到,，,如图所示,.,正弦函数与余弦函数的图像形状完全相同，只,是,位置不同,.,由余,弦曲线,可,以看出,，,其,对,称轴为,（,k,），,对,称,中,心为,（,k,）,.,说明：,与正弦曲线类似，,余,弦曲线的对称轴,一,定,过,余,弦曲线的最高,点或,最低点,，,即此时的余弦值为,最,大,值或最小值,，,余弦曲线的对称,中,心为余弦曲线,与,轴的交点,，,其纵坐标,.,【,点拨,】,“五点法”画余弦函数图像,类,比学习正弦函数图像的方法，观,察,余弦曲线,，,可知,在,函数ycos x，x0，2的图像上,，,起关键作用的五个点是它,与x轴的交点,和,函数取得最大值、最小值的点,.它们的坐标依次,为,（0，1），,，（,，-1），,，（2，1,）,，,用,光滑曲线顺次将它们连接起来,就,可,得到,函数ycos x，x0，2,的,简图.,常考题型,一,、余弦函数的性质定义域、值域,1.,利用余弦函数的值域求参数,例1,2019,江西宜春第三,中,学期,中,若,cos,x,2m-1,，,且,x,R,，,则,m,的取值,范,围是,（）,A.,（,-,，,1,B,.,0，+,）,C,.,-1，0,D,.,0，1,【,解析,】,，,，即,，,解,得,，,故,的取值范围是0，1,.,【,答案,】,D,【解题提示】,（,1,）（,2,）利用整体代换法；（,3,）利用二次函数的性质求解；（,4,）先分离常数或反解出,cos,x，,再利用,-1,cos,x,1,求解,.,利用余弦函数的性质,，,求复合函数的最值、值域问题的方法,1.,对于,y,a,cos,x+b,的形式,，,借助余弦函数的有界性,|,cos,x|,1,求解,.,2.,对于,y,A,cos,（,x+,）,+k,（,A,0,）的形式,，,采用整体代换,法,求,解,，,令,x+,t，,借助,y,cos,t,的图,像及性质求解,，,注意,x,的,取,值,范,围对,t,的取值,范,围的,影响,.,3.,对于,y,的形式,，,采用分离常数法或反解出,cos,x，,再,利,用,余弦函数的有界性求解,.,4.,对于,y,a,cos,2,x+b,cos,x+c,的形式,，,利用二次函数的有关知识求解,.,二、余弦函数的性质周期性,1.,判断余弦,型,函数是否为周期函数,例3,判断函数,y,，x,-,，,是不是周期函数,.,若不是,，,请说明理由,，,并指出在什么条件下该函数是周期函数,.,【解题提示】,要判断,一,个函数为周期函数,，一,要看定义域,，,即对任意,，,有,；二是对任意,，,有,.,要说明,一,个函数不是周期函数或者不是以,为周期的函数,，,只要举,一,反,例,即可,.,【解】,x,时,，,x+T,-,，,，,不符合周期函数的定义,，,y,，x,-,，,不是周期函数,.,要使函数为周期函数,，,需将条件,x,-,，,改为,x,R,.,当,x,R,时,，,有,y,，,y,是以,为周期的周期函数,.,2、,求余弦,型,函数的周期,例,4,求下列函数的最小正周期：,y,cos,2x.,解,：令u2x，则y,cos,2x,cos,u是周期函数，且最小正周期为2,，,cos,（u+2,）,cos,u，,即,cos,（2x+2,）,cos,2（x+,）,cos,2x.,y,cos,2x的最小正周期为,.,求余弦,型,函数周期的方法,1.,定义法,：对于定义域内每,一,个,x,是否存在非零常数,T，,使,f,（,x+T,）,f,（,x,）,，,若存在,，,则,T,是它的,一,个周期,.,2.,公式法,：形如,y,A,cos,（,x+,）（其,中,A，,，,为,常,数,，,且,A,0，,0,）的函数的周期,T,.,三、余弦函数的性质奇偶性,例5,判断下列函数的奇偶性：,（,1,）,f,（,x,）,sin,x,cos,x,；,（,2,）,f,（,x,）,；,（,3,）,f,（,x,）,.,【解】,（,1,）函数的定义域为,，,关于原点对称,.,f,（,-x,）,sin,（,-x,）,cos,（,-x,）,-,sin,x,cos,x,-f,（,x,）,，,f,（,x,）,sin,x,cos,x,为奇函数,.,（,2,）函数应满足,1-,sin,x,0，,函数的定义域为,，,显然定义域,不,关,于原点对称,，,f,（,x,）,为非奇非偶函数,.,（,3,）由,得,cos,x,1，,函数的定义域为,x|x,2k,，k,Z,，,定义域关于原点对称,.,当,cos,x,1,时,，,f,（,x,）,0，f,（,x,）,f,（,-x,）,.,f,（,x,）,既是奇函数又是偶函数,.,函数奇偶性的判断方法,判断三角函数的奇偶性,，,首先要观察定义域是否关于原点对称,，,在定义域关于原点对称的前提下,，,再根,据,f,（,-x,）与,f,（,x,）的关系确定奇偶性,.,函数解析式能化简的要化简,，,必须进行恒等变形,.,四、余弦函数的性质单调性,1.,利用余弦函数的单调性,，,比较余弦值的大小,利用单调性比较大小的方法,单调性是对,一,个函数的某个区间而言的,，一,般按如下情况进行比较：,1.,比较同名的三角函数值的大小,，,将所给的角运用诱导公式转化到同,一,单调区间,，,在同,一,单调区间,上,运用单调性比较大小,，,若比较复杂,，,先化简；,2.,比较不同名的三角函数值的大小,，,应先化为同名的三角函数值,，,再进行比较,.,2.,利用余弦函数的单调性,，,求复合函数的单调区间,【解析】,（,1,）,-,0,时,，,其,单调性同,y,cos,x,的单调性,一,致,；,当,a0,）的函数的单调区间,当,A0,时,，,由,2k,x+,+2k,（,k,Z,）,，,解得函数的减区间；,由,-,+2k,x+,2k,（,k,Z,）,，,解得函数的增区间,.,当,A0,时,，,由,2k,x+,+2,k,（,k,Z,）,，,解得函数的增区间；,由,-,+2k,x+,2k,（,k,Z,）,，,解得函数的减区间,.,若,0,的情形,.,3.,复合函数的单调性,按照同增异减进行求解,.,和对数有关的函数,，,因为要保证真数大于零,，,所以必须先求函数的定义域,.,解,：由题意得2k2x2k+,，k,，,kx0,，,排除,C,.,【答案】,D,函数图像的辨析方法,若所给函数不是基本初等函数,，,没有现成的图像可供参考,，,则此时应对函数的定义域、奇偶性等性质进行综合分析,，,排除,一,些选项,，,然后通过取特殊值或研究函数值随自变量,x,的变化趋势来求解,.,训,练题,2019,海南海口高,一,检测函数,y,x,2,cos,x,的部,分,图像是,（）,A B C D,A,5.,借助余弦函数的图像,，,解与方程相关的问题,例12,2011,陕西卷方程,|x|,cos,x,在（,-,，,+,）,内（,）,A,.,没有根,B,.,有且仅有,一,个根,C,.,有且仅有两个根,D,.,有无,穷,多个根,【解析】,在同,一,直角坐标系,中,作出函数,y,|x|,和,y,cos,x,的图像,，,如图所示,.,当,x,时,，,y,|x|,1，y,cos,x,1,；,当,x,1，y,cos,x,1.,所以两函数的图像只在,内有两个交点,，,所以,|x|,cos,x,在（,-,，,+,）内有两个根,.,【答案】,C,训练,题,若,实数,a,使得方程,cos,x,a,在,0,，,2,上,有两,个,不相,等,的实,数根,x,1,，,x,2,，,则,sin,（,x,1,+x,2,）,（,）,A,.0,B.,1,C,.,D.,-1,A,【点拨】,研究方程根的个数问题时,，,如果无法解出方程,，,一,般转化为研究两函数的图像的交点个数问题,.,六、余弦函数的对称性,1.,利用余弦函数图像的对称性,，,判断复合函数,例13,2017,广东汕头二模函数,y,的图,像,与,函数,y,的图像,（）,A.,有相同的对称轴但无相同的对称,中,心,B.,有相同的对称,中,心但无相同的对称轴,C.,既有相同的对称轴也有相同的对称,中,心,D.,既无相同的对称,中,心也无相同的对称轴,【解析】,由,2x-,k,1,+,，k,1,Z,，,可得函数,y,的图像的对称轴为直线,x,+,，k,1,Z,.,由,x-,k,2,，k,2,Z,，,可得函数,y,的图像的对称轴为直线,x,k,2,+,，k,2,Z,.,当,k,1,k,2,0,时,，,二者有相同的对称轴,.,由,2x-,k,3,，k,3,Z,，,可得函数,y,的图像的对称,中,心为点,，k,3,Z,.,由,x-,k,4,+,，k,4,Z,，,可得函数,y,的图像的对称,中,心为点,，k,4,Z,.,设,+,k,4,+,，k,3,，k,4,Z,，,解得,k,3,2k,4,+,，,与,k,3,，k,4,Z,矛盾,.,故两个函数的图像没有相同的对称,中,心,.,故选,A,.,【答案】,A,【解题技法】,若求函数,y,A,cos,（,x+,）（,A,0,）的图像的对称,中,心或对称轴,，,应将,x+,看成,一,个整体,，,利用整体代入思想,，,令,x+,等于,k,+,或,k,（,k,Z,）,，,解出的,x,的值,即对称,中,心的横坐标（纵坐标为零）或对称轴与,x,轴的交点的横坐标,.,2.,利用余弦函数图像的对称性,，,解决其他问题,例14,2019,安徽省示,范,高,中,高三联考已知函数,f,（,x,）,2,cos,（,x+,）（,0,）的图像关于直线,x,对称,，,且,0，,则的最小值为,（）,A,.2,B,.4,C,.6,D,.8,【解析】,由题设知直线,x,，,点,分别,为,函数,图像的对称轴与对称,中,心,，,故,+,k,1,（,k,1,Z,）,，,+,k,2,+,（,k,2,Z,）,，,于,是,（,k,2,-k,1,）,+,，,故的最小值可以是,2.,【答案】,A,训练题,2019,浙江学军,中,学高,一,检测若函数,的图像和直线,y,2,围成,一,个封闭的平面图形,，,如图,所示，,则这个封闭图形的面积为多少？,分析,：,本题主要考查余弦函数图像的对称性，解本题时可用对称图形的面积相等来解决.,解,：,由题图可以看出，直线y2与y2,cos,x（0 x2,）围成的封闭图形的面积SS,2,+S,3,+S,5,，图形S,1,与S,2,，S,3,与S,4,分别是两组对称图形，,S,1,S,2,，,S,3,S,4,.,S,S,2,+S,3,+S,5,S,1,+S,4,+S,5,S,矩,形,OABC,.,|OA|,2,，,|OC|,2,，,S,矩,形,OABC,2,2,4,.,即封闭图形的面积为4,.,小结,1.,余,弦函数的,图,像,图,像常用作法：,平移法,、“,五点法,”,2.,余,弦函数的性质,函数,性质,ycos x,定义域,值域,余弦曲线夹在两条平行线y1和y-1之间，故值域是-1，1,最值,当x2k（k,）时，y,max,1,；,当,x（2k+1）（k,）时，y,min,-1,周期性,周期函数，最小正周期为2,单调性,在每一个区间（2k-1），2k（k,）上是增加的,；,在,每一个区间2k，（2k+1）（k,）上是减少的,奇偶性,偶函数，图像关于y轴对称,图像的对称性,对称轴为直线xk（k,），对称中心为点,（,k,）,