《伽罗瓦与群论》课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,伽罗瓦与群论,2,了解一下,3,伽罗瓦,4,伽罗瓦的成就,5,群的概念,6,1,1,对称性的意义,在非相对论量子力学，经常使用外场的概念，外场存在使系统对称,性降为外场的几何对称性，全同粒子的置换对称性对多体问题是重要的。,因此，这两种对称性对于原子，原子核，分子和固体系统的理论，具有,重要的意义。,1.2,，对称变换,在量子力学中，一个系统的状态用波函数,（,r,）来描述，现考查在,空间变换和粒子的置换变换下波函数的导出形式，以及对称变换的条,件。,用,f,表示坐标空间的一个变化，它使,r,变成 记为,f,可以是平移,a,，绕,z,轴转,角，或对原点的反演，具体表示为：,平移,7,1,1,对称性的意义,绕,z,轴转动,和反演,当坐标空间发生变化时，系统的状态波函数,也会发生变化，变为,，在 处的值即为,在,r,处的值，可写为,8,1,1,对称性的意义,若将,fr,记为,r,，,r,就变为 ，上式可以写为,（,1.2,）,波函数,（,r,）变为 的变换，也可以用一个算符 来表示，记为,也可写为 ，这式可以看成算符 的定义。,当,f,为空间反演时，便是宇称算符，,当,f,是空间平移时，是平移算符，从（,1.2,）式出发，利用泰勒展开可,以推出平移算符的显式为,其中 是动量算符。,9,1,1,对称性的意义,当,f,为空间转动时，取转动矢量为 ，它的方向为转轴方向，,是,转角的大小，为转动算符。其显式为,，,其中,为角动量算符。,对给定系统，变换是否对称变换要由系统的运动方程在 作用下是,否改变来决定，即要看,和,是否满足同一方程，设,满足,Schrodinger,方程，,（,1.3,）,是系统的,Hamilton,算符。,10,1,1,对称性的意义,假定 是一个与,t,无关的算符，将其作用在方程（,1.3,）的两边，得,（,1.4,）,从上两式看出，,和,满足同一方程要求,（,1.5,）,上式表明，一个变换是对称变换的必要而充分的条件是这变换算符与,系统的,Hamilton,算符对易。,在量子力学中，全同粒子是不可区分的，当两个粒子交换时，系统的,Hamilton,量不变，因此，在任何情况下，全同粒子的置换变换是对称变,换。,11,1,1,对称性的意义,1.3,，对称性与守恒定律,在物理学的研究中，守恒定律具有非常重要的作用。人们经常观测到,某些物理量在变化过程中总是不变的，这些量就是守恒量。守恒定律与,对称性之间有密切关系。,关于守恒定律与对称性之间的联系，最早由,Jacobi,在,1842,年所注意，,他用拉氏函数描述经典力学系统时，从拉氏函数在平移下不变，导出线,动量守恒。在转动运动下不变，给出角动量守恒。,1887,年,schatz,从拉氏,函数的时间平移不变，得到能量守恒。,现在人们都习惯用,Hamilton,量而不是用拉氏函数讨论对称性与守恒定,律的联系，因它在量子力学中更为方便。不管在经典力学还是量子力学,中，线动量，角动量和能量的守恒都来自,Hamilton,量在平移、转动和时,间平移下的对称性，更暜遍地说，物理系统的任一个守恒定律都对应哈,密顿量在相应变换群下是不变的。反过来不能说一种对称性一定存在一,个守恒定律，例如时间反演对称性就没有相应的守恒定律。,12,1,1,对称性的意义,Wigner,指出，在量子力学中，对称变换都对应一个幺正算符或反幺正,算符，对幺正算符则伴随守恒律，若在反幺正变换下就没有明确的守恒,律，如时间反演，但会带来其它的限制。,如果描述粒子相互作用的哈密顿量，在一个幺正变换下是不变的，则,我们能看到系统的散射矩阵在这变换下也不变，即反应截面不变。例如,研究两个极化电子束的散射，当极化电子束平行与反平行于束方向时，,相互作用哈密顿量不变则马上可以推出这两种反应截面相同。当然这结,果可以利用量子场论计算给出。,在有些情况下，相互作用性质不清，真实的哈密顿量写不出来，但利,用对称性也能预言某些结果，例如，质子质子的散射，核力的细节不,清，相互作用,H,写不出来，但利用对称性仍然能预言极化质子平行与反,平行于束方向极化，其散射微分截面相等。,对称性的讨论还能给出某些跃迁过程的选择定则，这些选择定则使我,们能预言反应是否能发生。例如，在任何反应中，总电荷守恒，即反应,中有以下选择定则 。,13,1.2,对称性与群,一个几何图形或物理系统的对称性可以用它的对称变换,的集合来描述，这对称变换集合具有明显的数学性质：,1),任何两个对称变换接连发生（相乘）所得变换仍是一,个对称变换；,2,）当几个对称变换相继连续发生时，在不改变次序的,条件下，可以将其随意组合（结合律）；,3,）恒等变换是对称变换（单位元素）,;,4),对称变换的逆变换也是对称变换。,具有以上性质的集合，数学中称为群。因此，对称变换的性,质可以利用群来研究。,14,1.2,对称性与群,例如，绕定点的空间转动，它有以下性质,;,(1),一个物体连续进行两次转动，一定相当从开始到末了绕某轴的一次转动；,(2),如果连续完成三次转动，它可以先完成前一次转动然后完成一个等于后两次的转动，也可以先完成等于前两次转动再完成后一次转动，即转动变换满足结合律；,(3),转动角度为零为恒等变换，相当单位元素；,(4),如果绕某轴转动,角，一定可以绕同轴转动,-,而复原，第二次转动为第一次转动的逆元素。,这样所有的转动的集合构成一个群，称为转动群，,记为,SO,（,3,）。,15,1.2,对称性与群,空间转动可以连续变化，它是连续群。如果群元素都可以,表示为一组参数的函数，而且函数可微，这群称为李群，李,群在物理学中广泛使用。,几何图形对称变换形成的群常是不连续的，有限的。例,如利用以下六种操作可保持,平面正三角形不变：,e,是不转，,a,为 绕轴,1,转 ，,b,为绕轴,2,转 ，,c,是绕轴,3,转 ，,d,为 绕垂直轴,z,逆时钟转,2 /3,，,f,是 绕,z,轴顺时钟转,2 /3,。,它们构成一个,6,元素的群 ，不难证明 满足群的四点要求。,总之对称变换，与代数中的群密切相关，因此人们可以通,过研究群的性质来了解物理中的系统各种对称性质。,16,1.3,对称性的分类,在物理学中有多种不同的对称性，根据它们性质与原因不同，可以分,为三类,:,一种是客观存在严格对称性，另一种是不严格的近似对称性，还,有一种是为了讨论问题而引入的，称为模型对称性。下面分别介绍。,3.1,，严格对称性,对我们来说最熟悉的严格对称性是空间、时间平移及空间转动对称,性，可以证明它们对应动量、能量和角动量守恒。,还有一种对称性是来自相对论的,Lorentz,变换下的不变性，即两个相对,以匀速直线运动坐标系之间变换具有不变性，英语中称为,Boost,，与,Boost,有关的物理守恒定律不太有用，因一般物理系统角动量守恒，而角,动量算符与,Boost,相联系的算符不对易，因此不能从,Boost,联系的守恒定,律给出有用的选择定则。,以上四种对称性，十个守恒量组合起来称为在非均匀,Lerentz,变换下的,对称性，这种对称性目前在物理领域认为是精确的，相应的时空是平滑,的。,17,1.3,对称性的分类,另一类严格对称性是在总体规范变换下的不变性，或称第一类规范不变,性。这种对称性联系着电荷（,Q,）守恒，重子数（,B,）守恒与轻子数（,L,）,守恒，,所谓规范变换，在学习电磁场理论时有一个例子，电磁规律具有,Lorentz,规范不变性，就是当利用矢势 和标势,描述电磁场时，和,做以下变换,;,是任一标量函数，给出同样的电场强度和磁场强度。就说电磁,规律在,Lorentz,规范变换下具有不变性。这种规范变换意味着静电势的零,点可以任意取。则在电荷守恒下能量守恒。,重子数守恒也是一种规范变换下的不变性，即重子数规范变换下具有,不变性，即当 时系统的性质不变。因系统的相互作用能,量是依赖于 ，因此与相因子无关，其中,B,是重子数。即表明不同,重子数态的相因子不可区分。,18,1.3,对称性的分类,当 时，相应系统的,Hamilton,量变换为,若方程不变有,则 ，,所以，,【B,，,H】=0,。,在量子力学中知道，任何一个力学量，若与,Hamilton,量对易，就为守恒量。因此重子数是守恒量。类似可以证明电荷数和轻子数守恒。重子数、轻子数和电荷数守恒已为大量实验事实所证明。,19,1.3,对称性的分类,除总体规范变换下不变性外，电磁相互作用在定域规范变,换下是不变的，如果假定,Hamilton,量是在总体规范变换下不,变，而不是在定域规范变换下不变，则对称性就不是精确,的，现在已有一种理论推测重子数、轻子数守恒只是一个近,似守恒定律，这理论就是所谓大统一理论。,下面介绍与全同粒子交换有关的对称性，由于全同粒子是,不可区分的，因此全同粒子系统的所有可观测量都是相对于,全同粒子交换是对称的，否则我们可以利用这个可观测量来,区分全同粒子。量子力学状态常用一组力学量的本征值来表,征，因此，量子力学状态，在全同粒子交换下应有确定的对,称性质。从实验所知，具有整数自旋的全同粒子系统，当两,个粒子交换时状态是对称的；而具有半整数自旋的全同粒子,系统，当两个粒子交换时，状态是反对称的。全同粒子状态,这些性质构成一个定律，称自旋,-,统计定律。,20,1.3,对称性的分类,3.2,近似对称性,前面讨论严格对称性是对所有相互作用都成立的，至少对强相互作用，电磁作用，和弱相互作用是如此。下面介绍一些对称性只是近似的，或者说只在某些作用下成立，而在另外作用下不成立。但在近代物理中人们对它们具有更大的兴趣。,首先要介绍的是坐标空间的反演对称性，它对应的守恒量就是宇称守恒。在,1957,年以前，人们认为空间左右对称性是严格的，直到李政道和杨振宁提出弱相互作用下宇称不守恒，尔后为吴健雄等人实验所证明时，才知道空间反演对称性是近似的，只在强相互作用和电磁相互作用下成立。,另一种近似对称性，是正反粒子相互替换的对称性，或称电荷共轭变换,C,，与这对称性有关的守恒定律就是电荷共轭宇称，或,C,宇称。,21,1.3,对称性的分类,它也只在强相互作用和电磁相互作用下成立，而弱相互作,用下不成立。至于,CP,联合变换，,P,是坐标空间的反演，原来,认为,CP,联合变换在弱相互作用下成立，但,1964,年人们从,介子衰变中发现它在弱相互作用下也不成立，它也是一个近,似对称性。,下面考虑时间反演（,T,）下的对称性，在量子力学中，时,间反演是一个反幺正变换，因此，没有相应的守恒定律，,人们从 介子衰变实验结果分析中给出,T,变换在弱相互作用,中不是严格对称的。单独证实,T,违反是困难的，现在都通过,CPT,定律来证明。在量子场论中，可以证明,CPT,联合变换是,严格对称的，应有,CPT,定律，若,CP,不变，,T,也不变。因,C,和,P,相应幺正变换，,T,相应反幺正变换，则,CPT,对称性是反幺正,的，所以它没有相应的守恒定律。但,CPT,联合变换下不变性,有些重要的推论，例如，一个结果是正反粒子的质量相等。,22,1.3,对称性的分类,3.3,模型对称性,在近代物理中，常引入一些模型，原子、分子、原子核或基本粒子，,在这模型空间中具有某种对称性，对称性质的研究，可以给出这些微观,粒子的结构和能谱的某些知识。,例如，基本粒子中的,Quark,模型，认为基本粒子是由,Quank,组成，在粲,数粒子没发现之前，认为,Quark,有三味，它们构成,SU,（,3,）群基础表示的,基矢，基本粒子可以用,SU,（,3,）群的一维、八维和十维表示来分类。,又如原子核低激发谱的,U(6),模型，对于偶偶核，两个核子耦合成玻色,子，用玻色子来模拟费米子对，,s,和,d,六种玻色子形成,SU,（,6,）群的基,底，利用玻色子相互作用，而给出原子核的振转能谱。,在原子核的相互作用玻色子模型启发下，人们提出了双原子分子的,U(4),模型和三原子分子的,U(5),模型，用其计算分子的低激发谱和受激,Raman,都取得较好的效果，有关具体的结果将在课程的最后一章介绍。,