高二数学 空间向量在立体几何证明中的应用 ppt 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,空间向量,在立体几何证明中的应用,新登中学高二数学备课组,前,段,时间我们研究了用空间向量求角,(,包括线线角、线面角和面面角,),、求距离,(,包括线线距离、点面距离、线面距离和面面距离,),今天我来研究如何利用空间向量来解决立体几何中的有关证明问题。,立体几何中的有关证明问题，大致可分为“平行”“垂直”两大类：,平行：,线面平行、面面平行,垂直：,线线垂直、线面垂直和面面垂直,平行与垂直的问题的证明，除了要熟悉相关的定理之外，下面几个性质必须掌握。,1,、已知,b,，,a,不在,内，如果,ab,，则,a,。,2,、如果,a,，,a,，则,。,3,、如果,ab,，,a,，则,b,。（,课本,P22.6,）,4,、如果,a,，,b,，,ab,，则,。,一、用空间向量处理“平行”问题,G,A,E,D,C,B,F,H,M,N,例,1.,如图：,ABCD,与,ABEF,是正方形，,CB,平面,ABEF,，,H,、,G,分别是,AC,、,BF,上的点，且,AH=GF.,求证：,HG,平面,CBE.,MHAB,NG AB MHNG,AH=FG CH=BG CH:CA=BG:BF MH=NG,G,A,E,D,C,B,F,H,P,PHCB,PGBE,平面,HPG,平面,CBE,HG,平面,CBE,G,A,E,D,C,B,F,H,o,z,y,证明：由已知得：,AB,、,BC,、,BE,两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系,o-xyz.,x,设正方形边长为,1,AH=FG=a,则,H(0,1-a,a),、,G(1-a,1-a,0),故,而平面,CBE,的法向量为,(0,1,0),故,而 平面,CBE,故,HG,平面,CBE,R,D,B,C,A,A,1,Q,P,N,M,D,1,C,1,B,1,例,2.,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,P,、,Q,分别是,A,1,B,1,和,BC,上的动,点，且,A,1,P=BQ,，,M,是,AB,1,的中点，,N,是,PQ,的中点,.,求证：,MN,平面,AC.,M,是中点，,N,是中点,MNRQ,MN,平面,AC,D,B,C,A,A,1,Q,P,N,M,D,1,C,1,B,1,作,PP,1,AB,于,P,1,，,作,MM,1,AB,于,M,1,，,连结,QP,1,，,作,NN,1,QP,1,于,N,1,，,连结,M,1,N,1,N,1,M,1,P,1,NN,1,PP,1,MM,1,AA,1,又,NN,1,、,MM,1,均等于边长的一半,故,MM,1,N,1,N,是平行四边形，故,MNM,1,N,1,MN,平面,AC,D,B,C,A,A,1,Q,P,N,M,D,1,C,1,B,1,z,y,x,o,证明：建立如图所示的空间直角坐标系,o-xyz,设正方形边长为,2,，又,A,1,P=BQ=2x,则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0)故N(2-x,1+x,1),而M(2,1,1),所以向量,(-x,x,0),，,又平面,AC,的法向量为,(0,0,1),，,又,M,不在平面,AC,内，所以,MN,平面,AC,D,C,B,A,D,1,C,1,B,1,A,1,例,3.,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，求证：平面,A,1,BD,平面,CB,1,D,1,平行四边形,A,1,BCD,1,A,1,BD,1,C,平行四边形,DBB,1,D,1,B,1,D,1,BD,于是平面,A,1,BD,平面,CB,1,D,1,D,C,B,A,D,1,C,1,B,1,A,1,o,z,y,x,证明：建立如图所示的空间直角坐标系,o-xyz,设,正方形边长为,1,，则向量,设平面,BDA,1,的法向量为,则有,x+z=0,x+y=0,令,x=1,则得方程组的解为,x=1 y=-1 z=-1,故,平面,BDA,1,的法向量为,同理可得,平面,CB,1,D,1,的法向量为,则,显然有,即得两,平面,BDA,1,和,CB,1,D,1,的法向量平行,所以 平面,BDA,1,CB,1,D,1,通过本例的练习，同学们要进一步掌握平面法向量的求法：即用平面内的两个相交向量与假设的法向量求数量积等于,0,，利用解方程组的方法求出平面法向量,(,在解的过程中可令其中一个未知数为某个数,),。,例,1,、,2,与例,3,在利用法向量时有何不同？,D,C,B,A,D,1,C,1,B,1,A,1,F,G,H,E,例,4.,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,、,F,、,G,、,H,分别是,A,1,B,1,、,B,1,C,1,、,C,1,D,1,、,D,1,A,1,的中点,.,求证：平面,AEH,平面,BDGF,ADGF，AD=GF,又EHB,1,D,1,，GFB,1,D,1,EHGF,平行四边形,ADGE AEDG,故得,平面,AEH,平面,BDGF,D,C,B,A,D,1,C,1,B,1,A,1,H,G,F,E,o,z,y,x,略证：建立如图所示的空间直角坐标系,o-xyz,则,求得平面,AEF,的法向量为,求得平面,BDGH,的法向量为,显然有,故 平面,AEH,平面,BDGF,二、用空间向量处理“垂直”问题,F,E,X,Y,Z,例,6,：如图，在正三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中，,AB=AA,1,/3=a,，,E,、,F,分别是,BB,1,、,CC,1,上的点，且,BE=a,，,CF=2a,。,求证,:,面,AEF,面,ACF,。,A,F,E,C,1,B,1,A,1,C,B,x,z,y,A,F,E,C1,B1,A1,C,B,z,y,不防设,a=2,，则,A,（,0,，,0,，,0,），,B,（,3,，,1,，,0,），,C,（,0,，,2,，,0,），,E,（,3,，,1,，,2,），,F,（,0,，,2,，,4,），,AE=,（,3,，,1,，,2,）,AF=,（,0,，,2,，,4,），,因为，,x,轴面,ACF,，,所以可取面,ACF,的法向量为,m=,（,1,，,0,，,0,），设,n=,（,x,y,z),是面,AEF,的法向量，则,x,nAE,=,3x+y+2z=0,nAF,=2y+4z=0,x=0,y=-2z,令z=1得,n=（0，-2，1）,显然有,m n=0,，,即，,m,n,面AEF,面ACF,证明：如图，建立空间直角坐标系,A-xyz,，,A,D,C,B,求证：平面,MNC,平面,PBC,；,求点,A,到平面,MNC,的距离。,已知,ABCD,是矩形，,PD,平面,ABCD,，,PD,DC,a,，,AD,，,M,、,N,分别是,AD,、,PB,的中点。,P,M,N,练习,1,A,B,C,D,M,X,Y,Z,A,B,C,D,M,G,X,Y,Z,A,B,C,F,E,D,X,Y,Z,A,B,C,F,E,D,X,Z,A,B,C,F,E,D,X,Y,Z,小结：,利用向量的有关知识解决一些立体几何的问题，是近年来很“热”的话题，其原因是它把有关的“证明”转化为“程序化的计算”。本课时讲的内容是立体几何中的证明“线面平行、垂直”的一些例子，结合我们以前讲述立体几何的其他问题,(,如：求角、求距离等,),，大家从中可以进一步看出基中一些解题的“套路”。,利用向量解题 的关键是建立适当的空间直角坐标系及写出有关点的坐标。,用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发展趋势，而向量是用代数的方法解决立体几何问题的主要工具，故，学会用向量法解立体几何问题是学好立体几何的基础。,D,C,B,A,D,1,C,1,B,1,A,1,P,F,E,作业：,1.,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,E,、,F,分别是,A,1,D,1,、,BB,1,的中点，问,:,在边,CC,1,上,是否存在一点,P,，,使,A,1,C,平面,EFP,？若,存在，求出,P,的位置；若不存在，请说明理由。,N,M,P,D,C,B,A,2.,在四棱锥,P-ABCD,中，底,ABCD,是正方形，且,PA=PB=PC=PD=AB=BC=CD =DA,M,、,N,分别 是,PA,、,BD,上的 动点，且,PM:MA=BN:ND,。,问：直线,MN,与平面,PBC,有什么关系？请证明你的结论,.,