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,命题预测：,分析近年高考试题，平面向量部分突出考查了向量的基本运算，由于大纲要求重在基础，所以预计本章的命题趋势为：,1,考查向量的基本概念、性质和运算向量概念所含内容较多，如单位向量、共线向量、方向向量等基本概念和向量的加减法、实数与向量的积、向量的数量积等运算，高考中或直接考查或用以解决有关长度、垂直、夹角、判断多边形的形状等此类题一般以选择题形式出现，难度不大,2,解斜三角形这部分内容的考查，主要是在三角形中考查正、余弦定理与三角恒等变形知识的综合应用，因此，以三角形为背景，以三角恒等变形公式、向量等为工具的小型综合问题仍是热点，应加强正、余弦定理的训练,3,考查平面向量的综合运用向量的坐标是代数与几何联系的桥梁，它融数、形于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，是中学数学知识的一个重要交汇点，常与平面几何、解析几何、三角等内容交叉渗透，使数学问题的情境新颖别致，自然流畅此类题一般以解答题形式出现，综合性比较强，难度也比较大,备考指南：,1,在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针，本章考题很多是课本的变式题，即源于课本因此，掌握双基、精通课本是本章的关键对基本概念要理解到位，不留下盲点；运算要准确，特别是向量互相垂直、平行的充要条件,(,坐标运算形式,),2,在解决有关平面向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对向量这一二维,(,大小和方向,),的量的本质认识，并体会用向量处理问题的优越性；二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用,3,在解决解斜三角形问题时，要注意运用正弦定理、余弦定理来解决问题，要体会向量方法在解斜三角形中的应用；还要体会解斜三角形是重要的测量手段，从而提高解决实际问题的能力,4,复习中应有意识地把向量与其它内容进行整合如向量与三角函数、函数、解析几何等，特别是平面向量与三角知识的融合交汇问题，在以后的高考中一定会有所体现,5,本章高考题型既会有基本的选择题和填空题，又会有小型或大型的综合题复习时既要熟练掌握基本题型，又要对有一定难度的大型综合题进行针对性的准备,.,基础知识,一、向量的有关概念,1,向量：既有,又有,的量叫做向量，向量的大小叫做向量的,(,或模,),2,零向量：,的向量叫做零向量，其方向是,的,大小,方向,长度,长度为,0,任意,3,单位向量：长度等于,的向量，是与,a,同向的单位向量，是与,a,反向的单位向量,4,平行向量：方向,或,的,向量，平行向量又叫,，任一组平行向量都可以移到同一直线上规定：,0,与任一向量,5,相等向量：长度,且方向,的向量,6,相反向量：长度,且方向,的向量,1,个单位长度,相同,相反,非零,共线向量,平行,相等,相同,相等,相反,二、向量的表示方法,1,表示法：如：,a,，等,2,表示法：用一条有向线段表示向量,3,表示法：在平面直角坐标系中，设向量 的起点,O,在坐标原点，终点,A,坐标为,(,x,，,y,),则,(,x,，,y,),称为 的坐标，记为,(,x,，,y,),字母,几何,代数,三、向量的加法和减法,1,加法,法则：,法则，,法则，加法定义即三角形法则；以,a,，,b,为邻边作平行四边形,ABCD,(,取同一起点,),，即 则 即为,a,，,b,的和,运算性质：,a,b,(,交换律,),；,(,a,b,),c,(,结合律,),；,a,0,a,.,三角形,平行四边形,b,a,a,(,b,c,),0,a,加法的几何意义：从法则可以看出，如下图所示,2,减法,法则：,；,几何意义：如右图所示,三角形法则,四、实数与向量的积,1,定义：实数,与向量,a,的积是一个向量，记作,，它的长度与方向规定如下：,|,a,|,；,当,0,时，,a,与,a,的方向,；当,0,时，,a,与,a,的方向,；当,0,时，,a,.,2,运算律：设,，,R,，则：,(,a,),；,(,),a,；,(,a,b,),.,a,|,|,a,|,相同,相反,0,(,),a,a,a,a,b,五、两个向量共线定理：向量,b,与,a,(,a,0),共线的充要条件是有,.,六、平面向量基本定理,如果,e,1,，,e,2,是同一平面内的两个,向量，那么对于这一平面内的任一向量,a,，有且只有一对实数,1,，,2,，使得,.,我们把不共线的向量,e,1,，,e,2,叫做表示这个平面内所有向量的一组,且只有一个实数,，使得,b,a,不共线,a,1,e,1,2,e,2,基底,一、向量的有关概念应用失误,1,给出下列命题：,若,|,a,|,|,b,|,，则,a,b,；,若,|,a,|,|,b,|,，则,a,b,；,若,a,b,，则,a,b,；,若,a,b,，则,a,b,；,若,a,b,，则,|,a,|,|,b,|,，其中，正确命题的序号是,_,(,把你认为正确的命题序号都填上,),答案：,2,给出下列命题：若 则四边形,ABCD,为平行四边形；在,ABCD,中，一定有,若,m,n,，,n,p,，则,m,p,；,若,a,b,，,b,c,，则,a,c,.,其中正确命题的序号为,_,答案：,二、向量数乘应用失误,4,已知,，,R,，则下列各命题：,0,，,a,0,时，,a,与,a,的方向一定相反；,0,，,a,0,时，,a,与,a,的方向一定相同；,0,，,a,0,时，,a,与,a,的方向一定相同；,0,，,a,0,时，,a,与,a,的方向一定相反，则正确命题的序号为,_,答案：,三、平行向量基本定理的应用失误,5,设两个非零向量,e,1,，,e,2,不共线，且,(,k,e,1,e,2,),(,e,1,k,e,2,),，则实数,k,的值为,_,答案：,1,或,1,回归教材,1,给出下列命题,向量 的长度与向量的 长度相等；,向量,a,与向量,b,平行，则,a,与,b,的方向相同或相反；,两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；,两个有共同终点向量，一定是共线向量；,向量 与向量 是共线向量，则点,A,、,B,、,C,、,D,必在同一条直线上；,有向线段就是向量，向量就是有向线段,其中假命题的个数为,(,),A,2,B,3,C,4,D,5,答案：,C,2,(,教材,P,119,5,题改编,),如图，四边形,ABCD,中,则相等的向量是,(,),解析：,四边形,ABCD,是平行四边形,答案：,D,答案：,A,A,2 B,3,C,2 D,3,答案：,A,5,(,教材,P,113,6,题改编,),化简：,答案：,(1)0,(2)0,(3)0,(4)0,【,例,1,】,判断下列命题是否正确，不正确的说明理由,(1),若向量,a,与,b,同向，且,|,a,|,|,b,|,，则,a,b,；,(2),若向量,|,a,|,|,b,|,，则,a,与,b,的长度相等且方向相同或相反；,(3),对于任意向量,|,a,|,|,b,|,，且,a,与,b,的方向相同，则,a,b,；,(4),由于,0,方向不确定，故,0,不能与任意向量平行；,(5),向量 与向量 是共线向量，,则,A,、,B,、,C,、,D,四点在一条直线上；,(6),起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量,解析,(1),不正确因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故,不正确,(2),不正确，由,|,a,|,|,b,|,只能判断两向量长度相等，不能判断方向,(3),正确,|,a,|,|,b,|,，且,a,与,b,同向，由两向量相等的条件可得,a,b,.,(4),不正确由零向量性质可得,0,与任一向量平行，可知,不正确,(5),不正确若向量 与向量 是共线向量，则向量 与 所在的直线平行或重合，因此，,A,、,B,、,C,、,D,不一定共线,(6),正确对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的,总结评述,对于向量中的零向量、平行向量、相等向量等概念，应有正确认识，才能做出正确解答,判断下列各命题的真假,(1),若,|,a,|,|,b,|,，则,a,b,；,(2),若,A,、,B,、,C,、,D,是不共线的四点，则 是四边形,ABCD,为平行四边形的充要条件；,(3),若,a,b,，,b,c,，则,a,c,；,(4),两个向量相等的充分必要条件是它们的起点相同，终点相同；,(5)|,a,|,|,b,|,是,a,b,的必要不充分条件；,(6),若,a,b,，,b,c,，则,a,c,(,b,0),解：,(1),不正确，两个向量的长度相等，方向不一定相同,(2),正确,(3),正确，因为向量相等是模与方向均相同，从而,a,c,.,(4),不正确，充要条件是大小相等且方向相同；起点相同，终点相同是两向量相等的充分不必要条件,(5),正确，因为,|,a,|,|,b,|/,a,b,，但,a,b,|,a,|,|,b,|.,(6),正确，根据向量平行的定义可知，命题正确,.,总结评述,本例中应用了向量的加减法运算，注意了,M,、,N,将,AB,和,OD,所分成的比例，以达到用,a,、,b,来表示的目的,(2009,湖南，,4),如图所示，,D,，,E,，,F,分别是,ABC,的边,AB,，,BC,，,CA,的中点，则,(,),答案：,A,答案：,A,【,例,3,】,设两个非零向量,a,与,b,不共线,(2),试确定实数,k,，使,k,a,b,和,a,k,b,共线,又它们有公共点,B,，,A,、,B,、,D,三点共线,(2),k,a,b,与,a,k,b,共线，,存在实数,，使,k,a,b,(,a,k,b,),，,即,k,a,b,a,k,b,，,(,k,),a,(,k,1),b,.,a,、,b,是不共线的两个非零向量，,k,k,1,0,，,k,2,1,0.,k,1.,反思归纳,证明三点,A,、,B,、,C,共线，借助向量，只需要证明由这三点,A,、,B,、,C,所组成的向量中有两个向量共线，即这两个向量之间存在一个实数,，使,a,b,(,b,0,),即可,(2009,北京，,2),已知向量,a,、,b,不共线，,c,k,a,b,(,k,R,),，,d,a,b,.,如果,c,d,，那么,(,),A,k,1,且,c,与,d,同向,B,k,1,且,c,与,d,反向,C,k,1,且,c,与,d,同向,D,k,1,且,c,与,d,反向,答案：,D,解析：,c,d,且,a,，,b,不共线，,存在唯一实数,使,c,d,.,k,a,b,a,b,，,故选,D.,思路点拨：,由于,A,、,C,、,D,三点共线，因此存在实数,，使 因而可据已知条件和向量相等条件得到关于,、,k,的方程，从而求出,k,.,方法技巧：,向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想,1,0,与实数,0,有区别，,0,的模为数,0,，它不是没有方向，而是方向不定,.0,可以看成与任意向量平行,2,由,a,b,，,b,c,不能看到,a,c,.,取不共线的向量,a,与,c,，显然有,a,0,，,c,0.,3,注意向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法则的根本区别与联系,请同学们认真完成课后强化作业,
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