高中数学第一轮总复习 第66讲空间距离及其计算、折叠问题课件(理科)新人教A版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,新课标高中一轮总复习,第九单元,直线、平面、简单几何体和空间向量,第,66,讲,空间距离及其计算、折叠问题,1.,了解空间各种距离的概念，掌握求空间距离的一般方法,.,2.,能熟练地将直线与平面之间的距离，两平行平面之间的距离转化为点到平面的距离,.,3.,了解折叠问题的基本内涵，掌握分析求解折叠问题的基本原则,.,1.,在长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，若,AB,=,BC,=,a,AA,1,=2,a,则点,A,到直线,A,1,C,的距离为,(),C,A.,a,B.,a,C.,a,D.,a,如图，点,A,到直线,A,1,C,的距离，即为,Rt,A,1,AC,斜边上的高,AE,.,由,AB,=,BC,=,a,得,AC,=,a,.,又,AA,1,=2,a,所以,A,1,C,=,a,所以,AE,=,a,.,2.,在正三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,中，若,AB,=2,，,AA,1,=1,，则点,A,到平面,A,1,BC,的距离为,(),B,A.B.C.D.,取,BC,的中点,M,，连接,AM,、,A,1,M,，可证平面,A,1,AM,平面,A,1,BC,.,作,AH,A,1,M,，垂足为,H,则,AH,平面,A,1,BC,.,在,Rt,A,1,AM,中，,AA,1,=1,，,AM,=,A,1,M,=2,故,AH,=.,3.,正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为,a,E,、,F,分别是,B,1,C,1,、,BB,1,的中点，则：,(1),直线,EF,与,CD,间的距离为,;,(2),直线,EF,与平面,D,1,AC,1,的距离是,;,(3),平面,AB,1,D,1,与平面,C,1,BD,间的距离是,.,a,a,a,(1),取,EF,的中点,G,，连接,CG,，则,CG,为异面直线,EF,与,CD,的公垂线段，且,CG,=,a,.,(2),易知,EF,平面,D,1,AC,1,.,过,E,作,EH,BC,1,于,H,.,因为,D,1,C,1,平面,BB,1,C,1,C,，所以,D,1,C,1,EH,故,EH,平面,D,1,AC,1,，从而,EF,与平面,D,1,AC,1,的距离为,EH,=,a,.,(3),因为平面,AB,1,D,1,平面,C,1,BD,连接,A,1,C,设,A,1,C,分别与平面,AB,1,D,1,和平面,C,1,BD,交于,O,1,、,O,2,则,O1O2,为所求距离,且,O,1,O,2,=,A,1,C,=,a,.,4.,如图，四边形,ABCD,中，,AD,BC,，,AD,=,AB,，,BCD,=45,，,BAD,=90,，将,ABD,沿,BD,折起，使平面,ABD,平面,BCD,，构成几何体,ABCD,，则在几何体,ABCD,中，下列命题中正确的是,(),D,A.,平面,ABD,平面,ABC,B.,平面,ADC,平面,BCD,C.,平面,ABC,平面,BCD,D.,平面,ADC,平面,ABC,由已知,BA,AD,CD,BD,，又平面,ABD,平面,BCD,所以,CD,平面,ABD,.,从而,CD,AB,又,BA,AD,故,AB,平面,ADC,.,又,AB,平面,ABC,所以平面,ABC,平面,ADC,.,一、空间距离,1.,两点间的距离,:,连接两点的,的长度,.,2.,点到直线的距离：从直线外一点向直线引垂线，,的长度,.,3.,点到平面的距离：自点向平面引垂线，,的长度,.,4.,平行直线间的距离：从两条平行线中的一条上任意取一点向另一条直线引垂线,.,的长度,.,线段,点到垂足之间线段,点到垂足间线段,到垂足间线段,点,5.,异面直线间的距离,:,两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的,的长度,.,6.,直线与平面间的距离,:,如果一条直线和一个平面平行,从这条直线上任意一点向平面引垂线,的长度,.,7.,两平行平面间的距离：夹在两平行平面之间的,的长度,.,线段,这点到垂足间线段,公垂线段,二、求距离的一般方法与步骤,1.,两点间距离、点到直线的距离和两平行线间的距离其实是平面几何中的问题，可用,求解,.,2.,平行直线与平面间的距离、平行平面间的距离可归结为求,的距离,.,3.,求距离的基本步骤是：,(),找出或作出有关距离的图形；,(),证明它符合定义；,(),在平面图形内计算,.,平面几何方法,点面间,三、折叠问题,1.,概念：将平面图形沿某直线翻折成立体图形，再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算，就是折叠问题,.,2.,折叠问题分析求解原则：,(1),折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；,(2),折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持,.,不变,例,1,题型一,点面距离和线面距离及求法,如图，在梯形,ABCD,中，,AD,BC,，,ABC,=,AB,=,BC,=,AD,=,a,PA,平面,ABCD,且,PA,=,a,，点,F,在,AD,上，且,CF,PC,.,(1),求点,A,到平面,PCF,的距离；,(2),求,AD,与平面,PBC,间的距离,.,（,1,）,通过论证平面,PAC,平面,PCF,，找到点,A,在平面,PCF,上的射影,H,位于,PC,上，然后解三角形求,AH,的长,.,（,2,）,由于,AD,平面,PBC,，可考虑依据问题情境在,AD,上选择具备特殊位置的点,A,，然后推理过,A,点的平面,PAD,平面,PBC,，找到过点,A,的垂线,.,(,方法一,)(1),连接,AC,.,因为,PA,平面,ABCD,，所以,PA,CF,.,又,CF,PC,，,PA,PC,=,P,，,所以,CF,平面,PAC,，,所以平面,PFC,平面,PAC,.,过点,A,作,AH,PC,于,H,，所以,PH,平面,PCF,，,即,AH,为点,A,到平面,PCF,的距离,.,由已知,AB,=,BC,=,a,，所以,AC,=,a,PC,=,a,.,在,Rt,PAC,中，得,AH,=,a,.,(2),因为,BC,AD,，,BC,平面,PBC,，,所以,AD,平面,PBC,.,过,A,作,AE,PB,于,E,，,又,AE,BC,PB,BC,=,B,所以,AE,平面,PBC,所以,AE,的长度即为所求的距离,.,在等腰直角三角形,PAB,中，,PA,=,AB,=,a,所以,AE,=,a,.,（方法二）,(1),建立空间直角坐标系，如图,.,则,A,(0,0,0),B,(,a,0,0),C,(,a,a,0),D,(0,3,a,0),P,(0,0,a,).,设,F,(0,y,0).,则,=(-,a,y,-,a,0),=(-,a,-,a,a,).,因为,PCCF,所以,，,所以,=(-,a,)(-,a,)+(-,a,)(,y,-,a,)+0,a,=,a,2,-,a,(,y,-,a,),=0.,所以,y,=2,a,，即,F,(0,2,a,0).,设平面,PCF,的法向量为,n,=(,x,y,z,),n,=-,ax,+,ay,=0,x,=,y,n,=-,ax,-,ay,+,az,=0,z,=2,x,.,取,x,=1,，得,n,=(1,1,2).,设点,A,到平面,PCF,的距离为,d,=(,a,a,0),则,d,=,a,.,则,，解得,(2),由于,=(-,a,0,a,),=(0,a,0),=(0,0,a,).,设平面,PBC,的法向量为,n,1,=(,x,0,y,0,z,0,),，,n,1,=-,ax,0,+,az,0,=0,x,0,=,z,0,n,1,=,ay,0,=0,y,0,=0.,取,x,0,=1,，得,n,1,=(1,0,1).,设点,A,到平面,PBC,的距离为,h,，因为,AD,平面,PBC,，所以,h,为,AD,到平面,PBC,的距离，,h,=,a,.,由,，得,线面距离、面面距离通常情况下化归为点面距离求解，求空间点面距离，若利用传统构造法，关键是“找射影”，一般是应用垂面法求射影,.,若利用向量法，建系和求平面法向量是关键,.,如图，在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,AA,1,=2,，,AB,=1,，,ABC,=90.,点,D,、,E,分别在,BB,1,、,A,1,D,上，且,B,1,E,A,1,D,，四棱锥,C,ABDA,1,与直三棱柱的体积之比为,35.,求异面直线,DE,与,B,1,C,1,的距离,.,因为,B,1,C,1,A,1,B,1,，且,B,1,C,1,BB,1,，,A,1,B,1,BB,1,=,B,1,，,故,B,1,C,1,平面,A,1,ABB,1,，从而,B,1,C,1,B,1,E,.,又,B,1,E,DE,，,故,B,1,E,是异面直线,B,1,C,1,与,DE,的公垂线段,.,设,BD,的长为,x,，则四棱锥,C,ABDA,1,的体积为,V,1,=,S,四边形,ABDA,1,BC,=(,DB,+,A,1,A,),AB,BC,=(,x,+2),BC,.,而直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,的体积为,V,2,=,S,ABC,AA,1,=,ABBCAA,1,=,BC,.,由已知条件,V,1,V,2,=35,故,(,x,+2)=,解得,x,=.,从而,B,1,D,=,B,1,B,-,DB,=.,在,Rt,A,1,B,1,D,中，,A,1,D,=,=.,又因为,S,A,1,B,1,D,=,A,1,D,B,1,E,=,A,1,B,1,B,1,D,故,B,1,E,=.,例,2,题型二,折叠问题,在直角梯形,ABCD,中，,D,=,BAD,=90,，,AD,=,DC,=,AB,=,a,(,如图），将,ADC,沿,AC,折起，使,D,到,D,，记平面,ACD,为,，平面,ABC,为,，平面,BCD,为,（如图）,.,（,1,）,若二面角,-,AC,-,为直二面角，求二面角,-,BC,-,的大小；,（,2,）,若二面角,-,AC,-,为,60,，求三棱锥,D,-,ABC,的体积,.,(1),在直角梯形,ABCD,中，由已知,DAC,为等腰直角三角形，,所以,AC,=,a,CAB,=45.,过点,C,作,CH,AB,由,AB,=2,a,，,可推得,AC,=,BC,=,a,，,所以,AC,BC,.,取,AC,的中点,E,，连接,D,E,，则,D,E,AC,.,又二面角,-,AC,-,为直二面角,所以,D,E,.,又因为,BC,平面,，所以,BC,D,E,，,所以,BC,.,而,D,C,，所以,BC,D,C,，,所以,D,CA,为二面角,-,BC,-,的平面角,.,由于,D,CA,=45,，,所以二面角,-,BC,-,的大小为,45.,(2),取,AC,的中点,E,，连接,D,E,，再过点,D,作,D,O,，垂足为,O,，连接,OE,.,因为,AC,D,E,，所以,AC,OE,，,所以,D,EO,是二面角,-,AC,-,的平面角，,所以,D,EO,=60.,在,Rt,D,OE,中，,D,E,=,AC,=,a,，,D,O,=sin60,D,E,=,a,，,所,V,D,-,ABC,=,S,ABC,D,O,=,AC,BC,D,O,=,a,a,a,=,a,3,.,分析求解折叠问题的关键是分辨折叠前后的不变量和不变关系，在求解过程中充分利用不变量和不变关系,.,如图，已知四边形,ABCD,是上、下底边长分别为,2,和,6,，高为,3,的等腰梯形（如图）,.,将它沿对称轴,OO,1,折成直二面角,(,如图,).,(1),证明：,AC,BO,1,；,(2),求二面角,O,AC,O,1,的正弦值,.,（方法一）（,1,）,证明：由题设知，,OA,OO,1,，,OB,OO,1,所以,AOB,是所折成的直二面角的平面角，即,OA,OB,.,从而,AO,平面,OBCO,1,.,OC,是,AC,在面,OBCO,1,内的射影,.,因为,tan,OO,1,B,=,tan,O,1,OC,=,所以,OO,1,B,=60,，,O,1,OC,=30,从而,OC,BO,1,，由线面垂直得,AC,BO,1,.,(2),由,(1),知,AC,BO,1,OC,BO,1,知,BO,1,平面,AOC,.,设,OC,O,1,B,=,E,过点,E,作,EF,AC,于,F,连接,O,1,F,则,EF,是,O,1,F,在平面,AOC,内的射影,.,由线面垂直得,AC,O,1,F,，,所以,O,1,FE,是二面角,O,-,AC,-,O,1,的平面角,.,由已知，,OA,=3,，,OO,1,=,，,O,1,C,=1,，,所以,O,1,A,=,=2 ,AC,=,，,从而,O,1,F,=.,又,O,1,E,=,OO,1,sin30=,所以,sin,O,1,FE,=.,(,方法二,)(1),证明,:,由题设知,OA,OO,1,OB,OO,1,.,所以,AOB,是所折成的直,二面角的平面角，即,OA,OB,.,故可以,O,为原点，,OA,、,OB,、,OO,1,所在直线分别为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立空间直角坐标系，如右图,.,则相关各点的坐标是,A,(3,0,0),B,(0,3,0),，,C,(0,1,),，,O,1,(0,0,).,从而,=(-3,1,),=(0,-3,),故,=-3+=0,，所以,ACBO1.,(2),因为,=-3+=0,所以,BO,1,OC,.,由,(1),知,AC,BO,1,，,AC,OC,=,C,，,所以,BO,1,平面,OAC,，,所以 是平面,OAC,的一个法向量,.,设,n,=(,x,y,z,),是平面,O,1,AC,的一个法向量，,n,=0 -3,x,+,y,+,z,=0,n,=0,y,=0,，,由,，得,取,z,=,得,n,=(1,0,).,设二面角,O,A,C,O,1,的大小为,，由,n,、的方向可知,=,n,，,所以,cos,=,cos,n,，,=,，,则,sin,=.,即二面角,O,AC,O,1,的正弦值为,.,1.,对于空间中的距离，我们主要研究点到平面的距离、直线和平面的距离及两个平行平面之间的距离，其重点是点到直线、点到平面的距离,.,点到平面的距离要注意其作法，一般要利用面面垂直的性质来做,.,求点到平面的距离也可以用等体积法,.,2.,求距离传统的方法和步骤是“一作、二证、三计算”，即先作出表示距离的线段，再证明它是所求的距离，然后再计算,.,其中第二步证明易被忽略，应当引起重视,.,3.,在求距离时，要注意各种距离的转化；在选择求距离的方法时，也要灵活,.,一般来说，空间关系在不太复杂的情况下使用传统方法，而在距离不好作、空间关系较复杂的条件下可用等积法,.,4.,将平面图形折叠，使形成立体图形，通过对折叠问题的研究进一步树立空间概念，提高空间想象能力,.,5.,平面图形折叠成空间图形，主要抓住变与不变的量，所谓不变的量，即是指“未折坏”的元素，包括“未折坏”的边和角，一般优先标出未折坏的直角（从而观察是否存在线面垂直），然后标出其他特殊角，以及所有不变的线段,.,学例,1,(2009,重庆卷,),如图所示，在四棱锥,S,-,ABCD,中，,AD,BC,且,AD,CD,；平面,CSD,平面,ABCD,，,CS,DS,，,CS,=2,AD,=2;,E,为,BS,的中点,CE,=2,AS,=3.,求：,(1),点,A,到平面,BCS,的距离；,(2),二面角,E,-,CD,-,A,的大小,.,(,方法一,)(1),因为,AD,BC,且,BC,平面,BCS,，所以,AD,平面,BCS,，从而点,A,到平面,B,CS,的距离等于点,D,到平面,BSC,的距离,.,因为平面,CSD,平面,ABCD,，,AD,CD,，故,AD,平面,CSD,，从而,AD,DS,.,由,AD,BC,，得,BC,DS,.,又,CS,DS,，故,DS,平面,BSC,，从而,DS,为点,D,到平面,BCS,的距离,.,因此，在,Rt,ADS,中，,DS,=3-1=2.,(2),如图所示,过点,E,作,EG,CD,交,CD,于点,G,又过点,G,作,GH,CD,交,AB,于,H,故,EGH,为二面角,E,-,CD,-,A,的平面角,记为,.,过点,E,作,EF,BC,交,CS,于点,F,，,连接,GF,.,故,=-,EGF,.,由于,E,为,BS,的中点，,F,为,CS,的中点故,CF,=,CS,=1.,在,Rt,CFE,中,EF,=2-1=1.,因为,EF,平面,CSD,，又,EG,CD,，,故可证得,FG,CD,，,从而又可得,CGF,CSD,，,因此,=.,而在,Rt,CSD,中,CD,=,故,FG,=,DS,=.,在,Rt,EFG,中，,tan,EGF,=,，,可得,EGF,=,，,故所求二面角的大小为,=.,(,方法二,)(1),如图所示，以,S,(,O,),为坐标原点，射线,SD,、,SC,分别为,x,轴、,y,轴的正方向，建立空间直角坐标系,.,设,A,(,x,A,，,y,A,z,A,).,因为平面,COD,平面,ABCD,，,A,D,CD,，故,AD,平面,COD,，,即点,A,在,xOz,平面上，,因此,y,A,=0,z,A,=|=1.,又,x,A,2,+1,2,=|,2,=3,，,x,A,0,，解得,x,A,=.,从而,A,(,，,0,，,1).,因,AD,BC,，故,BC,平面,CSD,，即平面,BCS,与平面,yOz,重合，从而点,A,到平面,BCS,的距离为,x,A,=.,(2),易知,C,(0,，,2,，,0),，,D,（，,0,，,0,）,.,因为,E,为,BS,的中点，,BCS,为直角三角形，,CE,=,，知,|=2|=2 .,设,B,（,0,，,2,，,z,B,）,z,B,0,，则,z,B,=2,，,故,B,（,0,，,2,，,2,），所以,E,（,0,，,1,，,1,）,.,所以,=(-,2,-1),=(0,0,-1),=(0,1,-1),=(-,，,-1,，,-1,）,.,设面平,ACD,的一个法向量为,n,1,=,（,x,1,y,1,z,1,),n,1,=0 -,x,1,+2,y,1,-,z,=0,n,1,=0 0,x,1,+0,y,1,-,z,1,=0,x,1,=,y,1,z,1,=0,同理，平面,ECD,的一个法向量为,n,2,=(,1,1).,则,cos,n,1,n,2,=.,故所求的二面角的大小为,.,则,即,亦即,令,y,1,=1,则,n,1,=(,1,0).,本节完，谢谢聆听,高考资源网，您的高考专家,