11二次函数与方程、不等式 高三数学函数整章课件ppt 高三数学函数整章课件ppt.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二次函数与方程、不等式,1.,一般式,:,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0,),;,一、二次函数的解析式,2.,顶点式,:,y,=,a,(,x,-,m,),2,+,n,(,其中,(,m,n,),为抛物线的顶点坐标,),;,3.,两根式,:,y,=,a,(,x,-,x,1,)(,x,-,x,2,),(,其中,x,1,x,2,为抛物线与,x,轴两交点,的横坐标,),;,注,:,求二次函数的解析式,一般都采用待定系数法,.,做题时,要根据题设条件,合理地设出解析式,.,二、二次函数的图象,有关知识,:,图象形状,;,对称轴,;,顶点坐标,;,与,x,轴交点坐标,;,截,x,轴线段长,.,三、二次函数的性质,1.,当,a,0,时,抛物线开口向上,函数在,(-,-,上单调递,减,在,-,+,),上单调递增,当,x,=,-,时,f,(,x,),取得最小值,为,.,2,a,b,2,a,b,2,a,b,4,a,4,ac,-,b,2,2.,当,a,0),在,m,n,上的最值,2.,若,x,0,m,n,则,(1),当,x,0,n,时,f,(,x,),min,=,f,(,n,),f,(,x,),max,=,f,(,m,).,五、不等式,ax,2,+,bx,+,c,0,恒成立问题,1.,若,x,0,=,-,m,n,则,f,(,x,),min,=,f,(,x,0,)=,f,(,m,),f,(,n,),中,的较大者即为,f,(,x,),在,m,n,上的最大值,.,2,a,b,4,a,4,ac,-,b,2,1.,ax,2,+,bx,+,c,0,在,R,上恒成立,.,a,0,=,b,2,-,4,ac,0.,或,ax,2,+,bx,+,c,0,在,R,上恒成立,.,a,0,=,b,2,-,4,ac,0,a,=,b,=0,c,0(,a,0),在,m,n,上恒成立,.,f,(,m,)0,-,m,2,a,b,=,b,2,-,4,ac,0.,-,n,2,a,b,或,f,(,x,),min,0,(,x,m,n,),f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,0),在,m,n,上恒成立,.,f,(,n,)0.,f,(,m,)0),的实根分布问题,记,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),=,b,2,-,4,ac,0.,x,1,+,x,2,=,-,0,a,b,a,c,x,1,x,2,=,0,=,b,2,-,4,ac,0,f,(0)0.,-,0,2,a,b,2.,方程,f,(,x,)=0,有两负根,=,b,2,-,4,ac,0.,x,1,+,x,2,=,-,0,=,b,2,-,4,ac,0,f,(0),0,.,-,0,.,-,k,2,a,b,3.,方程,f,(,x,)=0,有一正根一负根,c,0.,5.,方程,f,(,x,)=0,的两实根一个大于,k,另一个小于,k,f,(,k,),0,.,-,k,2,a,b,7.,方程,f,(,x,)=0,的两实根都在区间,(,m,n,),内,f,(,m,),0,=,b,2,-,4,ac,0,m,-,0,.,8.,方程,f,(,x,)=0,的两实根中,有且只有一个在区间,(,m,n,),内,.,f,(,m,),f,(,n,)0,或,f,(,m,)=,0,m,-,2,a,b,m,+,n,2,-,n,.,2,a,b,m,+,n,2,f,(,n,)=,0,或,思考,方程的两根有且只有一个在区间,m,n,上时等价于,?,9.,方程,f,(,x,)=0,的两根分别在区间,(,m,n,),和,(,p,q,),(,n,0,f,(,n,),0,f,(,p,),0.,注,涉及方程,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,=0(,a,0),的实根分布问题,一般情况下要从四个方面考虑,:,f,(,x,),图象的开口方向,;,方程,f,(,x,)=0,的判别式,;,区间端点处函数值的符号,.,f,(,x,),图象的对称轴与区间的关系,;,0,=0,0),的图象,二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,x,y,x,1,x,2,x,1,=,x,2,x,y,o,o,x,y,(,a,0),的解集,ax,2,+,bx,+,c,0,x,|,x,1,x,0),的根,有两相异实根,x,1,x,2,(,x,1,0),的解集,R,ax,2,+,bx,+,c,0,x,|,x,x,2,x,|,x,-,2,a,b,八、典型例题,1.,已知二次函数,f,(,x,),满足,f,(2)=,-,1,f,(,-,1)=,-,1,且,f,(,x,),的最大值是,8,试确定此二次函数的解析式,.,解法一,:,利用二次函数的一般式,.,故所求函数的解析式为,f,(,x,)=,-,4,x,2,+4,x,+7.,设,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),则,4,a,+2,b,+,c,=,-,1,a,-,b,+,c,=,-,1,=8.,4,a,4,ac,-,b,2,a,=,-,4,b,=4,c,=7.,解得,解法二,:,利用二次函数的顶点式,.,设,f,(,x,)=,a,(,x,-,m,),2,+,n,f,(2)=,f,(,-,1)=,-,1,抛物线的对称轴为直线,x,=,1,2,m,=.,1,2,又,f,(,x,),的最大值是,8,n,=8.,f,(,x,)=,a,(,x,-,),2,+8,1,2,f,(2)=,-,1,a,(2,-,),2,+8=,-,1,1,2,a,=,-,4.,故所求函数的解析式为,f,(,x,)=,-,4(,x,-,),2,+8=,-,4,x,2,+4,x,+7.,1,2,解法三,:,利用二次函数的两根式,.,由已知,f,(,x,)+1=0,的两根为,2,和,-,1,故可设,f,(,x,)+1=,a,(,x,-,2)(,x,+1),从而,f,(,x,)=,a,(,x,-,2)(,x,+1),-,1.,即,f,(,x,)=,ax,2,-,ax,-,2,a,-,1.,又,f,(,x,),的最大值是,8,4,a,4,a,(,-,2,a,-,1,),-,a,2,=8,解得,a,=,-,4,或,a,=0(,舍去,).,故所求函数的解析式为,f,(,x,)=,-,4(,x,-,2)(,x,+1)=,-,4,x,2,+4,x,+7.,f,(,x,),在区间,0,2,上的最小值为,3,可分情况讨论如下,:,2.,已知函数,f,(,x,)=4,x,2,-,4,ax,+,a,2,-,2,a,+2,在区间,0,2,上有最小值,3,求实数,a,的值,.,解,:,由已知,f,(,x,)=4(,x,-,),2,-,2,a,+2.,a,2,a,2,(1),当,0,即,a,0,时,函数,f,(,x,),在,0,2,上是增函数,.,f,(,x,),min,=,f,(0)=,a,2,-,2,a,+2.,a,2,(2),当,0 2,即,0,a,0,且当,x,a,时,S,=(,x,-,3),2,+,y,2,的最小值为,4,求参数,a,的值,.,解,:,由已知,S,=(,x,-,3),2,+,y,2,=(,x,-,3),2,+4,a,(,x,-,a,)=,x,-,(3,-,2,a,),2,+12,a,-,8,a,2,.,当,x,a,时,S,(,x,)=,x,-,(3,-,2,a,),2,+12,a,-,8,a,2,的最小值为,4,对正数,a,可分情况讨论如下,:,(1),当,3,-,2,a,1,时,函数,S,(,x,),在,a,+,上是增函数,.,S,(,x,),min,=,S,(,a,)=(,a,-,3),2,.,由,(,a,-,3),2,=4,得,:,a,=1,或,5,.,a,1,a,=5.,(2),当,3,-,2,a,a,即,0,a,1,时,S,(,x,),min,=,S,(3,-,2,a,)=12,a,-,8,a,2,.,由,12,a,-,8,a,2,=4,得,:,a,=1,或,1,2,均满足,00,的解集是,(-,),求,a,b,c,的取值范围,.,1,2,1,3,解,:,由已知,二次方程,ax,2,+,bx,+,c,-,25,0,有实根,.,=,b,2,-,4,a,(,c,-,25),0.,又不等式,ax,2,+,bx,+,c,0,的解集是,(-,),1,2,1,3,a,0.,1,6,1,6,b,=,-,c,c,2,+24,c,(,c,-,25),0.,解得,:c,24.,b,-,24,a,-,144.,故,a,b,c,的取值范围分别是,a,-,144,b,-,24,c,24.,代入,b,2,-,4,a,(,c,-,25),0,得,:,5.,已知,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,的图象过点,(,-,1,0),是否存在常数,a,b,c,使不等式,x,f,(,x,),对一切实数,x,都成立,?,x,2,+1,2,则由,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,的图象过点,(,-,1,0),得,a,-,b,+,c,=0.,x,f,(,x,),对一切实数,x,都成立,当,x,=1,时也成立,x,2,+1,2,1,f,(1),1,即,f,(1)=1,得,a,+,b,+,c,=1.,由,得,:,a,+,c,=,b,=.,1,2,1,2,1,2,f,(,x,)=,ax,2,+,x,+,-,a,.,解,:,假设,存在常数,a,b,c,使题中不等式对一切实数,x,都成立,.,1,2,1,2,故应,x,ax,2,+,x,+,-,a,对一切实数,x,都成立,.,x,2,+1,2,即,2,ax,2,-,x,+1,-,2,a,0,与,(1,-,2,a,),x,2,-,x,+2,a,0,对一切实数,x,都成立,.,则必有,:1,-,8,a,(1,-,2,a,),0,即,(4,a,-,1),2,0.,1,4,a,=.,1,2,1,4,c,=,-,a,=.,x,2,+1,2,1,4,故存在一组常数,:,a,=,b,=,c,=,使不等式,x,f,(,x,),对一切实数,x,都成立,.,1,4,1,2,其中,0,a,0,求实数,a,的取值范围,;(2),若对,-,1,1,上的一切实数,m,都有,f,(,m,)0,求实数,a,的取值范围,.,解,:,f,(,x,),的图象是开口向上的抛物线,其对称轴为直线,x,=,a,-,1.,(1),问题等价于“对于,x,-,1,1,有,f,(,x,),max,0.”,讨论如下,:,当,a,-,1,0,即,a,1,时,f,(,x,),max,=,f,(1)=,-,a,2,-,2,a,+15.,由,-,a,2,-,2,a,+150,得,:,-,5,a,3.,a,1,-,50,即,a,1,时,f,(,x,),max,=,f,(,-,1)=,-,a,2,+6,a,+7.,由,-,a,2,+6,a,+70,得,:,-,1,a,1,1,a,7.,综上所述,-,5,a,0.”,讨论如下,:,当,a,-,1,-,1,即,a,0,得,:,-,1,a,7.,a,0,-,1,a,0,恒成立,.,0,a,2.,注,:,亦可用补集法求解,.,综上所述,-,1,a,1,即,a,2,时,f,(,x,),min,=,f,(1)=,-,a,2,-,2,a,+15.,由,-,a,2,-,2,a,+150,得,:,-,5,a,2,2,a,0),方程,f,(,x,),-,x,=0,的两根,x,1,x,2,满足,0,x,1,x,2,.(1),当,x,(0,x,1,),时,证明,:,x,f,(,x,),x,1,;,(2),设函数,f,(,x,),的图象关于直线,x,=,x,0,对称,证明,:,x,0,.,1,a,2,x,1,0,x,1,x,2,0,1+,a,(,x,-,x,2,)=1+,ax,-,ax,2,1,-,ax,2,0.,1,a,当,x,(0,x,1,),时,由,x,1,0,有,:,F,(,x,)=,a,(,x,-,x,1,)(,x,-,x,2,)0.,即,f,(,x,),-,x,0,从而,f,(,x,),x,.,又,x,1,-,f,(,x,)=,x,1,-,x,+,F,(,x,)=,x,1,-,x,-,a,(,x,-,x,1,)(,x,-,x,2,)=(,x,1,-,x,)1+,a,(,x,-,x,2,).,x,1,-,f,(,x,)0,从而,x,1,f,(,x,).,故当,x,(0,x,1,),时,有,x,f,(,x,),x,1,;,(2),依题意,x,0,=,-,.,2,a,b,由于,x,1,x,2,是方程,f,(,x,),-,x,=0,即,ax,2,+(,b,-,1),x,+,c,=0,的两根,x,1,+,x,2,=,-,b,=1,-,a,(,x,1,+,x,2,).,b,-,1,a,x,0,=,-,2,a,b,1,-,a,(,x,1,+,x,2,),2,a,=,-,a,(,x,1,+,x,2,),-,1,2,a,=.,a,x,2,1,即,a,x,2,-,10,2,x,1,a,(,x,1,+,x,2,),-,1,2,a,=.,x,0,2,a,a,x,1,故,x,0,0,在,0,上恒成立,求实数,a,的取值范围,.,解,:,(1),令,t,=,sin,x,则方程,2sin,2,x,-,4,a,sin,x,+1,-,a,=0,在,0,上有两个,不同的解等价于,:,方程,2,t,2,-,4,at,+1,-,a,=0,有一根为,0,另一根不在,(0,1),内,;,或方程,2,t,2,-,4,at,+1,-,a,=0,在,(0,1),内有两等根,;,或方程,2,t,2,-,4,at,+1,-,a,=0,有一解在,(0,1),内,另一解在,0,1,外,.,当,t,=0,时,a,=1,方程,2,t,2,-,4,at,+1,-,a,=0,的另一根为,2,且,2,(0,1),a,=1,适合题意,;,方程,2,t,2,-,4,at,+1,-,a,=0,有两等根时,由,=16,a,2,-,8(1,-,a,)=0,得,:,a,=,-,1,或,.,1,2,a,=,-,1,时,方程,2,t,2,-,4,at,+1,-,a,=0,的两等根为,-,1,但,-,1,(0,1),a,=,-,1,不合题意,舍去,;,1,2,又,a,=,时,方程,2,t,2,-,4,at,+1,-,a,=0,的两等根为,且,(0,1),1,2,1,2,a,=,适合题意,;,1,2,设,f,(,t,)=2,t,2,-,4,at,+1,-,a,则方程,2,t,2,-,4,at,+1,-,a,=0,有一解在,(0,1),内,另一解在,0,1,外等价于,:,f,(0),f,(1)0,即,(1,-,a,)(3,-,5,a,)0.,解得,a,1.,3,5,综上所述,实数,a,的取值范围是,a,=,或,0,在,0,上恒成立等价于不等式,2,t,2,-,4,at,+1,-,a,0,在,0,1,上恒成立,.,等价于 或 或,a,0,0,a,1,f,(,a,)0,a,1,f,(1)0.,即 或 或,a,0,0,a,1,2,a,2,+,a,-,11,3,-,5,a,0.,解得,a,1,2,此即为所求实数,a,的取值范围,.,解法二,:,分离参数,:,a,=,(0,sin,x,0,当,x,(,-,-,3),(2,+,),时,f,(,x,)0.(1),求,f,(,x,),在,0,1,上的值域,;(2),c,为何值时,ax,2,+,bx,+,c,0,的解集为,R.,10.,已知二次函数,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,b,c,R,),同,时满足下列条件,:,f,(,-,1)=0;,对任意的实数,x,都有,f,(,x,),-,x,0;,当,x,(0,2),时,有,f,(,x,),(),2,.(1),求,f,(1);(2),求,a,b,c,的值,;(3),若当,x,-,1,1,时,函数,g,(,x,)=,f,(,x,),-,mx,(,m,为实数,),是单调函数,求,m,的取值范围,.,x,+1,2,11.,已知函数,f,(,x,)=,ax,2,+4,x,+,b,(,a,0,a,b,R,),.,设关于,x,的方程,f,(,x,)=0,的两根分别为,x,1,x,2,f,(,x,)=,x,的两根分别为,.(1),若,|,-,|=1,求,a,b,满足的关系式,;(2),若,a,b,均为负整数,且,|,-,|=1,求,f,(,x,),的解析式,;(3),若,1,2,求证,:(,x,1,+1)(,x,2,+1)7.,12,18,;,c,-,.,12,25,f,(1)=1;,;,m,0,或,m,1.,1,4,1,2,1,4,a,2,+4,ab,=9,(,a,0,a,b,R,),;,f,(,x,)=,-,x,2,+4,x,-,2.,a,=,-,3,b,=5,.,