矩阵分析-(1).ppt

*,第一章 线性空间和线性映射,矩阵分析,徐赐文,2026/2/7 周六,难点,:,求线性映射的值域、核的基与维数,2026/2/7 周六,首先,我们回忆一下,线性代数,中的向量,.,向量的运算及性质,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,2026/2/7 周六,矩阵（或线性变换）的特征值与特征向量,定义,设 是数域 上的线性空间 的一个线性变换，如果对于数域 中任一元素 ，中都存在一个非零向量 ，使得,那么称 为 的一个,特征值,，而 称为 的属于特征值 的一个,特征向量,。,现在设 是数域 上的 维线性空间，,中取定一个基 ，设线性变换 在这组基下的矩阵是 ，向量 在这组基下的坐标是 ，。那么我们有,2026/2/7 周六,由此可得定理,：,是 的特征值 是 的特征值,是 的属于 的特征向量 是 的属于 的特征向量,因此，只要将 的全部特征值求出来，它们就是线性变换 的全部特征值；只要将矩阵 的属于 的全部特征向量求出来，分别以它们为坐标的向量就是 的属于 的全部特征向量。,2026/2/7 周六,例,1,设 是数域 上的,3,维,线性空间，是 上的一个线性变换，在 的一个基 下的矩阵是,求 的全部特征值与特征向量。,解：的特征多项式为,2026/2/7 周六,所以 的特征值是 （二重）与 。,对于特征值 ，解齐次线性方程组,得到一个基础解系：,2026/2/7 周六,从而 的属于 的极大线性无关特征向量组是,于是 的属于 的全部特征向量是,这里 为数域 中不全为零的数对。,对于特征值 ，解齐次线性方程组,得到一个基础解系：,2026/2/7 周六,从而 的属于 的极大线性无关特征向量组是,于是 的属于 的全部特征向量,这里 为数域 中任意非零数。,矩阵的相似与相似对角化,相似矩阵的性质,：,相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征,2026/2/7 周六,值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹，有相同的谱。,矩阵的特征值与特征向量的性质,：,（,1,）阶矩阵 的属于特征值 的全部特征向量再添上零向量，可以组成 的一个子空间，称之为矩阵 的属于特征值 的,特征子空间,，记为 ，不难看出 正是特征方程组,的解空间。,（,2,）属于不同特征值的特征向量是线性无关的。,2026/2/7 周六,（,3,）设 是 的 个互不同的特征值，的几何重数为 ，是对应于 的 个线性无关的特征向量，则的所有这些特征向量,仍然是线性无关的。,（,4,）任意一个特征值的几何重数不大于它的代数重数。,2026/2/7 周六,（,5,）一个特征向量不能属于不同的特征值。,矩阵（线性变换）的相似对角化,定义,数域 上的 维线性空间 的一个线性变换 称为,可以对角化的,，如果 中存在一个基底，使得 在这个基底下的矩阵为对角矩阵。,我们在 中取定一个基底 ，设线性变换 在这个基下的矩阵为 ，那么可以得到下面的定理,定理,：可以对角化 可以对角化。,定理,：阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是,2026/2/7 周六,有 个线性无关的特征向量。,定理,：阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是,每一个特征值的代数重数等于其几何重数。,例,1,判断矩阵,是否可以对角化？,解,：先求出 的特征值,2026/2/7 周六,于是的特征值为 （二重）,由于 是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑,2026/2/7 周六,于是,从而,不可以相似对角化,。,例,2,设 是数域 上的,3,维,线性空间，是 上的一个线性变换，在 的一个基 下的矩阵是,2026/2/7 周六,判断是 否可以对角化？,解：根据前面例题的讨论可知 有,3,个线性无关的特征向量,:,因此 可以对角化，在这组基下的矩阵是,2026/2/7 周六,由基 到基 的过渡矩阵是,于是有,2026/2/7 周六,