电磁场课后习题网上答疑.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,*,电磁场课后习题网上答疑,目 录,第 二 章 恒定磁场,2-1,2-2,2-3,2-4,2-5,2-6,2-7,2-8,2-9,2-10,2-11,2-12,2-13,第 三 章 恒定磁场,3-1,3-2,3-3,3-4,3-5,3-6,3-7,3-8,3-9,3-10,3-11,3-12,3-13,3-14,3-15,3-16,3-17,3-18,第 二 章 恒定电场,2-1,电导率为 的均匀、各向同性的导体球，其表面上的电位为 ，其,中 是球坐标的一个变量。试决定表面上各点的电流密度 。,解：利用 与 的关系，再利用 和 的关系可以解决此问题。,2-2,一半径为 的均匀带点球，带电总量为,Q,，该球绕直径以角速度 旋转。,求：,球内各处的电流密度 ；,通过半径为 的半圆的总电流。,解：,以球心为原点，旋转轴为,Z,轴建立坐标系。球内任一点距球心 处，与,Z,轴,的夹角为 ，该点运动的线速度为,带电球的电荷体密度为,利用 与 的关系可得,2-3,已知某一区域中在给定瞬间的电流密度,其中 为常数。求：,此瞬间点 处电荷密度的变化率 ；,求此时,以原点为球心，为半径的球内总电荷的变化率,。,解：,利用电荷守恒定律的微分形式,对点 ，其电荷密度的变化率为,因为,所以,故,解：在 的范围内，选一个单位长度的圆柱面，假设通过其上的漏电流,为 ，可以得到,2-4,同轴线内、外导体半径分别为 和 ，期间充填介质的电导率为 ，内、外,导体间的电压为 ，求此同轴线单位长度的功率损耗。,利用 ，得,圆柱体内的功率密度,由此可得,同轴线单位长度的功率损耗,此题也可以用建立圆柱内电位函数 所满足的边值问题，求解出电位函数,后，利用 求出圆柱内的电场强度，后面求解可与以上方法相同，,也可以求出单位长度圆柱的电导或电阻，利用 或 去求,解。,2-5,内、外导体的半径分别为 ，的圆柱形电容器，中间的非理想介质的导,电率为 ，若在内外导体间加电压 ，求非理想介质中各点电位和电场强度。,解：设两导体之间的楼电流为,I,，由于系统的周对称性，电流密度沿径向，且只,与 有关，由此可得,式中 为圆柱的长度。,由此可以得到非理想介质中各点的电位,已知内外导体的电压为 ，可得,若以外导体为电位参考点，在 内，任一点的电位,电场强度,若以外导体的电位为零，在 的非理想介质内任一点的电位,2-6,球形电容器的内外半径分别为 ，中间理想介质的电导率为 ，已,知内外导体间电压为 ，求非理想介质中各点的电位和电场强度。,解：设两导体球间的漏电流为,I,，由于系统具有球对称性，电流密度沿径向，且,只与,r,有关。由此可得,已知内外导体间的电压为 ，可得,由此可得非理想介质中任一点的电位,电场强度,2-7,有两块不同电导率薄钢片构成一导电弧片，如图所示。,若,厚度为 ，电极间电压 且 。,求：,弧片内的电位分布（设 轴上的电极为零电位）,;,总电流,I,和弧片电阻,R,；,在分界面上 ，是否发生突变；,分界面上的电荷面密度 。,解：,因为 ，电极表面可视为等位面，有对称性分析，电流密度线,式沿图示 方向，即垂至于电极表面，而等位线垂至于 线（即 线），因此,只与坐标 有关，而与坐标 无关。将系统分为两个均匀的导体媒质区域，其,边值问题为,其通解可写为,利用边界条件，决定待定系数可得,由此可得弧片内的电位分布为,再利用分界面上电流密度的衔接条件,弧片内的总电流,式中 ，是薄钢片的厚度。,弧片的电阻,利用分界面上的衔接条件 ，则电流密度在分界面上保持连续，,没有突变。,因 ，故电场强度在分界面上不连续，有突变。又因,为两种导体媒质的介电常数均可视为，故电位矢量也不连续，有突变。,利用 ，将 ，代入得,2-8,如将电极改置于钢片的弧边，重求上题的解。,解：,此时电流密度沿 方向，即垂至于电极,表面。等位线垂至于 线，因此 只与 有,关，而与 无关。将此系统分为两个均匀的导,电媒质区域，写出边值问题为,利用边界条件决定通解中的待定系数,其通解可写为,由此可得弧片内的电位分布为,其中 。弧片内任一点的电流密度为,弧片内的总电流,两媒质分界面上的电场强度沿分界面的切线方向，由分界面上的衔接条件可,知 。电场强度在分界面上连续，不突变。又因为两种,导体媒质的介电常数均为 ，故 。电位移矢量在分界面上业连续，不,突变。但 由于 ，故在分界面上电流密度,不连续，有突变。,分界面上无自由电荷面密度分布,。,由于在分界面上电位移矢量 连续，不突变，故,2-9,无限大平行金属板，相距为 ，板间置有两种导电媒质，分界面亦为平,面。第一种媒质,(,电导率 ，介电常数,),厚度为 ，第二种媒质,(,电导率 ，介,电常数,),厚度为 。一只金属板的电位分别为 和 。试求达到稳定状,态时分界面上的电位及电荷密度。,解：无限大平行金属板可以忽略端部的 边缘效应。由对称性分析可知 和 都,垂至于极板，故分界面为等位面。,利用在媒质分界面上的衔接条件 。由于 ，因此,可得到,分界面上的电位为,利用 ，可以得到,若令 ，解上面两式可得,分界面上的自由电荷密度为,2-10,球形电容器的内半径 ，外半径 。其中设有两层,电介质，其分界面亦为球面，半径 。若电导率分别为,。若内外导体间施加电压 ，求：,球面之间的 ，和 ；,漏电流。,解：设内外导体之间电压为 ，流过的电流为 。有对称性分析可知，电流沿径,向且为球对称。,且,在 区域内,若以外球壳为电位参考点，则在 的区域内,若 时，,则,球形电容器的漏电导为,解：由于盐水溶液的电导率要远远大于橡胶的电导率，因此电压主要降在橡胶,上。设电缆的内导体半径为 ，橡胶的外表面半径为 ，内外电压为 。,假设橡胶内的漏电流为 ，由于电缆的轴对称性可得,2-11,以橡胶作为绝缘的电缆漏电阻是通过下述办法测定的。把长度为 的电缆浸,入盐水溶液中，然后在电缆导体和溶液之间加电压，从而测得电流。有一段,3m,长,的电缆进入溶液后加电压 ，测得电流为 。已知绝缘层的厚,度与中心导体的半径相等，求绝缘层的电阻率。,由此可得到,其中 ，代入数据可得,解：根据解的唯一性定理，在保证边界条件不,变的情况下，利用镜像法，在距陡壁右侧 处,对称地引出接地半球的镜像。由于 ，,可近似认为两半球之电流沿球的镜像均匀分,布，电流终止于无限远处，由此可得,2-12,半球形电机置于一个直而深的陡壁附近，如图所示。已知 ，半,球中心距陡壁的距离 ，土壤的电导率 ，求接地电阻。,半球电极的接地电阻为,式中 和 分别为接地器中心和它的镜像的中心到土壤内任意一点的距离；、,分别为该距离连线上的单位矢量。若以无限远处为电位的参考点，半球的电位为,解：半球形接地器沿地面的电流密度为,土壤中电场强度的分布为,2-13,一个电钢条组成的接地体系统，已知其接地电阻为,100,，土壤的电导率,。设有短路电流 从钢条流入地中，有人正以 的步距,向此接地体系统前进，前足距钢条中心,2m,，试求跨步电压。,(,解题时可将接地系,统用一等效的半球形接地器代替之。,),设人的两脚与地的接触点为则,第 三 章 恒定磁场,3-1,四条平行的载流 无限长直导体垂直地通过一边长为 的正方形定点，求正,方形中心点,P,处的磁感应强度值。,解：利用无限长直导线，若有线电流 通过，在真空中产,生的磁感应强度为,由右手螺旋法则，可以判断出其方向如图所示,垂直向下，大小为,再利用叠加定理可求出四条平行载流长直导线载,P,点所产生的,磁感应强度。,3-2,真空中，在 平面上的 和 范围内，有以线密度,均匀分布的电流，求在点,(0,0,5),所产生的磁场感应强度。,解：如图所示，选择 ，视为半无,线长直导线，它在,P,点产生的磁感应强度的,大小为,利用叠加定理，,P,点的磁感应强度的,x,分量和,z,分量分别为,其中 。由右手螺旋法则可判断 的方向，并将分解为,x,方向和,z,方向两个分量,3-3,真空中一通有电流,(,密度,),、半径为 的无限长圆柱内，有一半径,为 的不同轴圆柱形空洞，两轴之间相距 ，如图所示。求空洞内任一点的,解：若假设空洞处有一大小同为 ，但流向,分别为 方向和 方向的电流，这样,可将此问题视为半径为 的无限长圆柱内整,体载有电流 和半径为 的无限长圆柱内,载有电流 的两个圆柱在,P,点产生的,磁感应强度的叠加。,利用安培环路定律，半径为 的大圆柱在空洞内,P,点产生的磁感应强度大小为,其方向用右手螺旋法则判断，它以大圆柱轴线为中心，为半径圆环的切线方,向。对半径为 的小圆柱，在空洞内,P,点所产生的磁感应强度大小为,其方向也由右手螺旋法则判断，只是电流沿 方向。若设大圆柱与小圆柱中,心连线为,x,的正方向，则,P,点的磁感应强度应为两圆柱各自在,P,点产生的磁感应强,度的矢量和,式中为,P,点到,x,轴的垂直距离，为 到,x,轴上的投影，为 在,x,轴上的投影，,为两圆柱轴线的距离。,3-4,真空中由一厚度为 的无限大载流,(,均匀密度,),平板，在其中心位置由,一半径等于 的圆柱形空洞，如图所示。求各处的磁感应强度。,解：与上题思路相同，假设空洞中存在 和,的电流，求各点处的磁感应强度可视为,一个无限大均匀载流 的平板与一个载流为,的无限长直圆柱各自在该处产生的磁感,应强度的矢量和。,的无限大平板在该点产生的磁感应强度，可以利用安培环路定律求出,有 的无限长直圆柱产生的磁感应强度，也可利用安培环路定律求出,各处的场强为它们的矢量和,3-5,一电流密度为 的无限大电流片，置于 平面，如取,平面上半径为 的一个圆为积分回路，求,解：利用安培环路定律,3-6,如图所示的两个无限大电流片，试分别确定区域,、,、,中的,。,设已知：,所有区域中 ；,区域,中 ，区域,、,中 。,解：,由于两个无限大电流片的电流方,向相反，因此在区域,，,内,在区域,内,在区域,，,内与上面的结论一致，在区域,内,3-7,半径为 ，长度为 的圆柱，被永久磁化到磁化强度为,(,轴,就是圆柱的轴线,),。,求沿轴各处的 及,;,求远离圆柱 处的磁场强度。,解：先分析该圆柱的磁化现象。由于是均匀磁,化，是常数。在圆柱内部磁化电流面密度为,磁化电流线密度为,其 为表面的法向方向。在圆柱的两个端面其外法线方向分别为 ，代入上,式可知端面上 ，不存在磁化电流线密度。在圆柱的侧面 ，故侧,面上的磁化电流线密度为,由此可见，要求永久磁化圆柱沿轴线的磁场，就是求磁化电流线密度,在空间沿轴各处的磁感应强度。圆柱面上的磁化电流可以视为若干个小圆环电,流，每个小圆环电流为,式中 是小圆环的宽度，每个小圆环电流在轴线上某点均产生磁感应强度。利,用圆环电流在其中心轴线一点的磁感应强度的表达式，可以写出 在轴线上产,生沿轴线方向的磁感应强度为,磁感应强度的方向沿,的方向，故,当 时,当 或 时，,当远离圆柱时，即 ，时，可将此圆柱视为一个磁偶极子，磁,偶极矩,它在空间中产生的磁场可用磁矩 表示为,若仍求轴线上 上的磁感应强度，由于 ，则,3-8,有一圆形截面铁环，环的内外半径分别为 与 ，铁环的,环上绕有,50,匝通有,2A,电流的线圈，求环的圆截面内外的磁场强度与磁感应强度,(,忽略漏,磁，且环外的磁导率为,),。,解：从对称性分析，此题可用安培环路定律求解。圆环的截面之外即 及,处，作以圆环中心为圆心的安培环路，则,所以环的截面以外各处 ，。在环的截面内可认为磁场分布均匀，选,为半径，作一安培环路,，方向均沿安培环路的切线方向。,3-9,已知在 的区域中，在 的区域中 ，设在,处 是均的，其方向为 ，量值为 ，试求,处的 和 。,解：利用媒质分界面上的衔接条件，因为 ，则,，。利用,由此可得,由于入射面与折射面共面，故,3-10,对真空中下列电流分布求,当 空间内距中心 处,(),选对称的两薄板，其电流线密度分,别为 ，。该两个薄平板在,的空间内产生的磁感应强度为,解,处 ，处 沿 方向，处 沿,方向，由对称性分析，可视为一组组流向反向的无限大平板电流产生的磁场问,题，由此可知在 及 的空间内，。,该两个薄平板在处的磁感应强度均为零。由此可知，凡 的电流片对 的,磁场有贡献。,因此,所以磁场的分布为,这是轴对称的电流分布，可直接用安培环路定律求解。当时,方向也是沿安培环路的切线方向。,3-11,对于真空中的下列电流分布，求磁矢位及磁感应强度：,半径为 的无限长圆柱通有电流，其电流线密度,厚度位 的无限长电流片通有电流，其电流面密度,解：,由题意，圆柱侧面通有沿轴线方向的,现密度为 的电流。由对称性分析，它产生,的磁场为平行平面场，且磁矢位也沿 方,向，仅为圆柱坐标系中 的函数,将研究区域分为圆柱内和圆柱外，由此写出圆柱坐标系下磁矢位所满足的边值问题。,即,有限值，令,(,参考点,),方程的通解为,由边界条件决定待定系数,由此可知,如图所示，建立坐标系。由对称性分析，沿 轴和 轴方向都是平行平面场，,因此 仅与 有关。所以,将研究的区域分不为三部分，分别写出 满足的边值问题,(,参考点,),方程通解为,利用边界条件决定解的待定系数,磁矢位为,磁感应强度为,3-12,点出如图所示各种情况下的镜像电流，注明电流的方向、量值及有效的计,算区域。,3-13,在磁导率为 的媒质中，由载流直导线与两种媒质分界面平行，垂直距离,为 ，如图所示，求两种媒质中的磁场强度和载流导线每,单位长度所受的力，并回答对于 媒质中的磁场，由于 的存在，磁场强度比,全部为均匀媒质,(),时变大还是变小。,解：有区域为 所分布,的区域时，采用镜像法，镜像电流,为,载流导线单位长度所受之力为,其所在位置如图所示。这时有效区内 点的磁感应强度为,磁场强度为,上式中负号表示斥力。当有效区为 所分布的区域时，镜像电流 为,其所在位置如图所示。这时有效区内 点的磁感应强度为,磁场强度为,对 媒质中的磁场，若电流 不变，而全部充满 的媒质，则它在 点,产生的磁感应强度为,磁场强度为,由此可以看出，存在 媒质时使 媒质内的磁场比全部为均匀媒质 时变大了,当 时,3-14,求如图所示两同轴导体壳系统中储存的磁场能量及自感。,解：设同轴导体壳长为 ，内部于外部通有大,小相等、方向相反的电流 。采用安培环路定,律，可分别求出导体壳内外各部分的磁感应强,度和磁场强度,当 时,当 时,当 时,当 时,由此可求出储存于导体壳系统的磁场能量,解：如图所示的电流 ，它在线框处距左,方导线中心线 处的磁感应强度为,3-15,如图所示，计算两平行长直导线对中,间线框的忽感；当线框为不变性刚体时，求,长导线对它的作用力。,该磁场在中间线框产生的磁通和磁通链为,平行长直导线于中间线框的互感为,平行通电导线对通有电流的线框的作用力为,当中间西安矿的电流 的方向为图中所示方向时，与 在线框中产生的磁场,方向一致，互有能为正。此时互有能为,解：由于有 的无限大导磁媒质在导,线的左侧，此题要用镜像法求解。镜像电流,在所研究区域之外，位于媒质分界面左侧距,分界面 处，镜像电流 ，且与所设导,线上的电流方向一致。这样，电流 与镜像,电流 在线框中距导线 处的磁感应强度为,3-16,计算如图所示的长直导线与线框之间的互感。请给出所需镜像电流的大,小、方向及位置，并给出此时导线与线框的互感。,导线与线框的互感为,电流 与镜像电流在线框中产生的磁通和交链的磁通链为,解：由于铁磁物质的磁导率 ，,磁场限制在磁路内。铁芯内 ，,故由安培环路定律得,3-17,对于如图所示厚度为,(,垂直纸面方向,),的磁路，求：,线圈的自感；,可动部分所受的力。,利用媒质分界面上的衔接条件，可知铁芯内的磁感应强度与气隙中的磁感应强度,相同,穿过气隙的磁通为,由此可知电流线圈所交链的磁通链为,由于可得到线圈的自感为,系统存储的磁场能量为,可动部分所受的作用力为,故作用力的方向将使广义坐标 减小，为吸引力。,3-18,试证明在两种媒质分界面上，不论磁场方向如何，磁场力总是垂至于分界,面，且总是由磁导率大的媒质指向磁导率小的媒质。,证明；设两种媒质的磁导率分别为 、，为分界面的法向方向，且由媒质,1,指向媒质,2,。在两种媒质分界面上的场量分别为 、，将他们的法线,分量视为一个力管，切线分量视为一个力管。法线分量力管在分界面处受的是纵,张力，则单位面积所受的力为,切线分量力管受到的是侧压力，单位面积的受力为,媒质分界面上单位面积受到的磁场力是它们的叠加,利用分界面上的衔接条件,带入 中可得,当时 ，说明力沿 的正方向，由媒质,1,指向媒质,2,。当,时，说明力沿,(),方向，即从媒质,2,指向媒质,1,。由此可知，磁场力总是由磁导,率大的媒质指向磁导率小的媒质。,