第6章 随机系统的建模与仿真.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,第,6,章 随机系统的建模与仿真,陈无畏,合肥工业大学机械与汽车工程学院,系统建模与仿真,6.1,随机系统基本知识,6.1.1,随机系统概述,1,随机事件与随机变量,随机事件,:,在随机实验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复实验中具有某种规律性的事件。,随机变量,:,设,S,为随机实验，它的样本空间为 ，对于每一个 ，有一个实数 与之对应，则 就称之为随机变量,。,6.1,随机系统基本知识,(,续）,2,随机过程、样本函数,随机过程,(Stochastic Process),：设,（）是随机实验，每一次实,验都有一条时间波形（称为样本函数），记,为 ，所有可能出现的结果总体,就构成一随机过程，记作 。如图,6-1,所示。,6.1,随机系统基本知识,(,续）,图,6-1,样本函数的总体,-,随机过程,6.1,随机系统基本知识,(,续）,6.1.2,随机变量的统计特性,均值,概率密度函数,概率分布函数,均方根,均方值,随机变量的统计特性,方差,6.1,随机系统基本知识,(,续）,1,概率密度函数,概率密度函数 表示每个 值发生的可能性，即每个事件发生的概率分布，表示其中一个事件。,概率密度函数 的性质如下,(6.1),(6.2),6.1,随机系统基本知识,(,续）,2,概率分布函数,随机变量 的概率分布函数 是指变量的值小于或者等于 的随机变量的概率。,定义为,(6.3),如果有两个随机变量 ，则可以用联合概率分布函数及联合概率密度函数来加以描述，定义如下：,联合概率分布函数,(6.4),联合概率密度函数,(6.5),6.1,随机系统基本知识,(,续）,3,均值 、均方值 、均方根,随机变量 的均值 定义为,(6.6),随机变量 的均方值 定义为,(6.7),随机变量 的均方根 定义为,(6.8),6.1,随机系统基本知识,(,续）,4,方差,随机变量 的方差 定义为,(6.9),6.1,随机系统基本知识,(,续）,泊松分布,指数分布,正态分布,分布类型,均匀分布,分布,爱尔朗分布,常用的几种概率分布,6.1,随机系统基本知识,(,续）,(1),均匀分布,若在区间 中，连续型随机变量 的概率密度函数为,（,6.10,）,则 称在区间 上服从均匀分布，记作 。,6.1,随机系统基本知识,(,续）,均匀分布的概率密度函数和分布函数可,用图,6-2,的曲线表示。,图,6-2,均匀分布的分布曲线,6.1,随机系统基本知识,(,续）,(2),正态分布,正态分布又称为高斯分布，是最常用的一种连续分,布。若连续型随机变量 的概率密度函数为,(6.12),其中 为大于零的常数，则 称服从参数 的正,态分布，记作 。,6.1,随机系统基本知识,(,续）,(3),泊松分布,若离散型随机变量 的概率分布为,(6.13),其中 为常数，则称 服从参数 的泊松分,布，记作 。其中参数 为泊松分布,随机变量 的均值和方差。,6.1,随机系统基本知识,(,续）,(4),指数分布,若连续型随机变量的概率密度函数为,(6.14),其中 为常数，则称 服从参数 的指数分布。,6.1,随机系统基本知识,(,续）,（,a,）指数分布的曲线,(b),指数分布的曲线,图,6-5,指数分布曲线,6.1,随机系统基本知识,(,续）,(5),分布和爱尔朗分布,以,p,为参数的广义积分 ，当,p0,时收,敛，它所确定的函数,p,称为 的函数，记作,若随机变量的概率密度函数为,(6.16),其中,p0,为常数，则称,X,服从,a,p,参数的 分布。,6.1,随机系统基本知识,(,续）,k,个相互独立，具有相同分布的指数分布随机,变量之和服从爱尔朗分布。即若有,k,个相互独立,的机变量 ，其概率密度函数为,6.1,随机系统基本知识,(,续）,那么，随机变量,其概率密度函数为,6.1.3,随机过程的统计特性,1,2,频域特性,3,自相关域特性,幅值域,(,时域,),特性,6.1.3,随机过程的统计特性,(,续）,1.,幅值域,(,时域,),特性,对于各态历经平稳随机过程（即平稳随机,过程的数据特征与一个样本函数 的时间平,均数据特征相同），随机过程统计特性可以简,化为 的时间统计特性。统计特性有,:,6.1.3,随机过程的统计特性,(,续）,(1),均值,(6.18),(2),方差,(6.19),(3),均方值,(6.20),6.1.3,随机过程的统计特性,(,续）,2.,自相关域特性,自相关函数是对随机过程在相关域上的特,性描述。它表征随机过程在一个时刻和另一时,刻采样值之间的相互依赖程度，即表征信号随,机变化的程度。,对于平稳随机过程，有自相关函数,(6.21),6.1,随机系统基本知识,(,续）,反映了在时刻 和 的值和的相关,性，或者说已知 ，的可预见性。自相关,函数大，则 变化缓慢，由 预见 的可,能性大；自相关函数小，则相反。,是一个偶函数，即 ，并且,在 时有最大值，即 。,6.1.3,随机过程的统计特性,(,续）,3.,频域特性,功率谱密度是对随机过程在频域上的特性描述，它,是自相关函数的傅里叶变换，有功率谱密度函数,(6.22),其逆变换为,(6.23),6.1.3,随机过程的统计特性,(,续）,以上两式构成傅里叶变换对，称为维纳,-,辛钦,公式。,功率谱密度函数 表示随机过程的均方值,（总能量）在频率域内的分布情况。,6.1.4,白噪声的统计特性,白噪声是最简单的一种随机过程。所谓白噪声,是指它的自相关函数为一理想脉冲函数，它的功率,谱密度是一个常数。,有,(6.24),(6.25),式中 为白噪声的方差，为脉冲函数。,6.1.4,白噪声的统计特性,从频域角度看，白噪声的能量在整个频谱上,均匀分布。如图,6-6,所示。,图,6-6,白噪声的自相关函数及功率谱密度,6.1.4,白噪声的统计特性,(,续）,白噪声只有理论上的价值，实际上只有近似,的白噪声，即在系统感兴趣的频带之内 是一,个常数，而 也只是近似于一个脉冲。如图,6-7,所示。,6.1.4,白噪声的统计特性,(,续）,图,6-7,近似白噪声的自相关函数及功率谱密度,6.2,随机系统模型简介,假设某一随机系统为一线性时变系统，其数学模型可用状态方程描述,(6.26),式中：为系统的状态变量；为随机初值；,为系统输出；为外界扰动,为随机变量；为系数矩阵,为确定量；为输入矩阵，为确定量；为输出矩阵，为确定量；,为系统参数随机误差；亦为系统参数随机误差。,6.2,随机系统模型简介（续）,指数相关的随机过程,常见的随机系统模型,随机常数,随机斜坡,随机游动,组合模型,自回归,-,滑动平均模型,6.3,随机变量的分布参数估计,1.,分布参数的类型,位置参数,形状参数,比例参数,6.3,随机变量的分布参数估计（续）,(1),位置参数,位置参数确定了一个分布函数取值范围的横坐标。,(2),比例参数,比例参数决定分布参数在其取值范围内取值的比例尺。,(3),形状参数,形状参数确定分布参数的形状，从而改变分布参数的性质。,6.3,随机变量的分布参数估计（续）,2.,分布参数的估计,总体参数：已知仿真模型中随机模型的分布类型，为完全确定一个分布所需要确定的分布类型中所含参数的数值,参数空间：总体参数可能取值的范围,参数估计：已知被仿真实际系统随机变量的实际数据,根据这些数据对分布类型中的未知总体参数进行估计的过程,6.3,随机变量的分布参数估计（续）,参数估计问题的实质：给出一组分布函数，只知,道其中有一个是总体分布函数，但不知道究竟是,哪一个，需要根据样本来估计这个实际的总体分,布。,分布参数的方法：最大似然估计，最小二乘估,计，无偏估计等,6.4,随机系统的仿真方法,6.4.1,蒙特卡罗仿真法,定义：蒙特卡罗法是一种通过随机变量,的统计实验、随机仿真来求解数,学物理、工程技术问题近似解的,数值方法。,1.,蒙特卡罗方法概述,6.4,随机系统的仿真方法（续）,步骤：第一，建立随机系统模型；,第二，多次循环仿真，记录每次仿真,的主要结果；,第三，多次仿真结果的后处理，计算统计特,性，如均值、方差、频谱或相关函数。,6.4,随机系统的仿真方法（续）,特点：第一，适应线性系统和非线性系统，使,用限制条件少；,第二，仿真工作量大。尤其系统存在多,种随机因素，而且想得到每种因素对系,统的影响时更为繁琐。,6.4,随机系统的仿真方法（续）,2.,蒙特卡罗方法的概率收敛性,根据大数定律，是 个独立的随,机变量，它们有相同的分布，且有相同的有限期望,和方差 ，。,则对于任意 ，有,(6.30),6.4,随机系统的仿真方法（续）,由伯努利定理说明，设随机事件,A,的概率为,P(A),，在,N,次独立实验中，事件,A,发生的频数为,n,，,频率为,n/N,，则对于任意的 ，有,(6.31),6.4,随机系统的仿真方法（续）,蒙特卡罗方法从总体 抽取简单子样做,抽样实验，根据简单子样的定义，为具,有同分布的独立随机变量当,N,足够大时，,以概率,1,收敛于 ，而频率 以概率,1,收,敛于 ，这就保证了使用蒙特卡罗方法的概,率收敛性。,6.4,随机系统的仿真方法（续）,6.4.2,伴随系统仿真法,定义：将原系统转变成它的伴随系统，再用,伴随系统仿真代替原系统仿真的一种,仿真方法。,6.4,随机系统的仿真方法（续）,特点：第一，只适用于线性时变或非时变系,统；,第二，一次仿真可以得到系统的统计特,性，因而仿真工作量小；,第三，当系统存在多个干扰时，一次仿,真可以获得每个干扰引起的系统响应的,分量,6.4,随机系统的仿真方法（续）,1.,伴随系统,伴随系统是原系统的共轭系统，共轭是指时间上,和输入,/,输出间的共轭。,假定用以下状态方程,(6.32),代表一个线性时变系统。,6.4,随机系统的仿真方法（续）,为 维系统状态变量，为 维输入，为,维输出，分别为 ，维,实数阵，分别为系统的开始及结束运行时间。,6.4,随机系统的仿真方法（续）,如果上式是原系统状态方程，它的,伴随系统状态方程为,(6.33),因此，如果知道原系统模型，就可以,按式,(6.33),求出它的伴随系统模型。,6.4,随机系统的仿真方法（续）,2.,伴随系统的性质,假定 为原系统的脉冲响应过渡函数，这里,和 分别为系统响应的观察时间和脉冲加入时间。再假定 为其伴随系统的脉冲响应过渡函数，和 分别为伴随系统响应的观察时间和脉冲加入时间。可以证明两个系统的脉冲响应过渡函数,和 有以下关系,(6.34),6.4,随机系统的仿真方法（续）,3.,伴随系统的仿真,对于随机过程作用下的线性系统，输入输出间关系的,时域和频率域表示如图,6-13,所示,(a),线性系统的时域表示,(b),线性系统的频域表示,图,6-13,随机过程与线性系统,6.4,随机系统的仿真方法（续）,根据工程数学的知识，可用卷积表示系统输入输,出间的关系，即,(6.38),由上式得 的均方值 表达式为,(6.39),上式反映了系统输入输出间的时域关系。,6.5,几种常见的模型,1.,随机常数,一个连续随机常数可表示为,(6.43),与其相应的离散过程为,(6.44),6.5,几种常见的模型,(,续）,随机常数表示初始条件是一个随机变量，,因而相当于一个没有输入但有随机初始值的积,分器的输出，如图,6-15,所示。,图,6-15,随机常数,6.5,几种常见的模型,(,续）,2.,随机斜坡,随机过程随时间线性增长，但是增长的斜率则,是具有一定概率分布的随机量。图,6-16,为其结构图,(6.45),图,6-16,随机斜坡,6.5,几种常见的模型,(,续）,3.,随机游动,如果输入的白噪声过程具有零均值和平,稳的正态分布，则输出就称为维纳过程，也,称作随机游动。,(6.47),6.5,几种常见的模型,(,续）,式中 。图,6-17,为其结构图。,图,6-17,随机游动,6.5,几种常见的模型,(,续）,4.,指数相关的随机过程,随机过程具有如下指数型相关函数,(6.49),式中，为随机过程的方差，为过程的相关时,间。,显然这是一个一阶马尔可夫过程。,6.5,几种常见的模型,(,续）,5.,组合模型,图,6-19,所示随机过程为由随机常数、随机,游动、随机斜坡以及一阶马尔可夫过程组合而,成。,图,6-19,组合模型,6.5,几种常见的模型,(,续）,6.,自回归,-,滑动平均模型（,ARMA,）,设时间序列 ，其自回归,-,滑动平,均模型表示为,(6.57),6.5,几种常见的模型,(,续）,式中，,p,为自回归阶次，,q,为滑动平均阶次，,为平均值，。当时,p=0,，为滑动平均,模型（,MA,模型）；当,q=0,时为自回归模型（,AR,模,型）。,6.6,系统辨识,6.6.1,系统辨识的概念与分类,概念：系统辨识是一种借助实验输入,输出观测数据确定过程动态品质或系统结,构和参数的理论与技术。,6.6,系统辨识（续）,分类：根据描述系统数学模型的不同,可分为线性系统和非线性系统辨识、,集中参数系统和分布参数系统辨识；,根据系统的结构可分为开环系统与闭,环系统辨识；根据参数估计方法可分,为离线辨识和在线辨识等。,6.6,系统辨识（续）,6.6.2,系统辨识的内容和步骤,研究内容：实验设计；模型结构,确定；模型参数估计；模型验证。,辨识内容及步骤如图,6-20,所示。,6.6,系统辨识（续）,图,6-20,系统辨识的一般步骤,6.6,系统辨识（续）,一般步骤：,(1),明确辨识目的,(2),掌握和运用先,验知识,(3),实验设计,(4),数据预处理,(5),模型结,构辨识,(6),模型参数估,(7),模型验证计,6.6,系统辨识（续）,6.6.3,系统辨识建模方法,线性系统的辨识理主要方法：最小二乘,法，递推最小二乘法，广义最小二乘法，增广最,小二乘法，辅助变量法，,Kalman,滤波法，极大似,然法等。,6.6,系统辨识（续）,对于一个单输入单输出的线性定常系统，通常可,以用一个离散时间的差分方程来描述，即,(6.59),式中，和 式系统实际测量到的输入输出,序列；是零均值具有相同分布的不相关的随机,序列；,n,表示系统的阶次。,6.6,系统辨识（续）,每一个观测方程可以表示为,(6.60),若观测方程组用向量,-,矩阵的形式表示，则可写成,(6.61),6.6,系统辨识（续）,式,(6.59),和式,(6.60),可称为最小二乘模型类，,它们最后都要变成式,(6.61),。它可称为最小二乘的,标准格式。,6.6,系统辨识（续）,2.,系统参数与状态估计的极大似然法,设 是一个随机变量，其概率密度 依赖于某未知参数 。为了由观测值 估计 ，要选取 使似然函数极大化的那个值 。如果对所有的 值，是中的最大值 ，那么 是准确的参数值的可能性就最大。这时，我们就称 是 的极大似然估计，并记为 。,6.6,系统辨识（续）,3.,系统模型结构的辨识和检验,系统模型好坏的关键首先在于模型结构是否正,确。根据,AIC,准则和,SIC,准则判别阶数的思想，文,献,2,提出一种非线性系统模型多项式,“,阶数,”,的判别,准则为,(6.88),6.6,系统辨识（续）,其中 表示当多项式的,“,阶数,”,为,n,时系统,模型误差的方差，和 为两个加权系数，,的取值表示了模型误差和模型简化之间的折衷关,系，如图,6-21,所示,。,6.6,系统辨识（续）,图,6-21,NLC,(,n,),准则函数,6.7,随机系统建模与仿真实例,路面是一个典型的随机系统，通常把路面相对基,准平面的高度，沿道路走向长度,I,变化,q,(,I,),，称为路面,纵断面曲线或不平度函数，如图,6-22,所示。,图,6-22,路面纵断面曲线,6.7,随机系统建模与仿真实例（续）,在利用路面随机高程作为激励信号对车辆的,振动进行仿真研究时，为保证仿真结果的真实可,信，对于仿真研究中生成的路面不平度（随机高,程）需要进行验证，以确保对车辆模型输入激励,的正确。,6.7,随机系统建模与仿真实例（续）,当车速恒定时，路面不平度服从高斯概率分,布，为具有零均值的平稳各态历经特性随机过程，,可以用路面的功率谱密度,(PSD),函数和方差来描述,其统计特性。,6.7.1,路面激励和空间频率功率谱,6.7,随机系统建模与仿真实例（续）,路面功率谱密度,Gq,(,n,),的拟合表达式为,(6.89),式中：,n,空间频率（），它是波长,的倒,数，表示每米长度中包含几个波长；,=0.1,参考空间频率，；,6.7,随机系统建模与仿真实例（续）,Gq,(,),下的路面功率谱密度值，称为,路面不平度系数，；,w,频率指数，为双对数坐标上斜线的斜,率，它决定路面功率谱密度频率结构。,6.6,系统辨识（续）,同时，每种路面的均方根值来描述路面随机激,励信号的强度或平均功率,(6.90),6.6,系统辨识（续）,对于汽车振动系统而言，车速是必须要考虑,的一个因素。当汽车以车速,驶过空间频率,n,的路,面时，时间频率功率谱密度和空间频率功率谱密,度具有如下关系,(6.93),6.7.2,时间频率功率谱描述,6.7,随机系统建模与仿真实例（续）,式中,:,G,q,(,f,),时间频率功率谱密度,G,q,(,n,),空间频率功率谱密度,(6.94),所以，时间频率功率谱密度,6.7,随机系统建模与仿真实例（续）,6.7.3,随机路面时域模型的建立,从已知的路面谱重构道路时域模型，必,须满足两个前提条件：,1),道路过程是平稳的,Gaussian,随机过程；,2),道路过程具有遍历,性。,6.7,随机系统建模与仿真实例（续）,模型建立方法：将路面高程的随机波动抽象为,满足一定条件的白噪声，然后进行变换而拟合出路,面随机不平度的时域模型。,6.7,随机系统建模与仿真实例（续）,当汽车以速度,u,匀速行驶，系统输入是单位,强度为,1,的随机白噪声时，,(6.101),式中,:,q,(,t,),路面随机高程位移（,m,）；,W,(t,),均值为零的,Gauss,白噪声；,6.7,随机系统建模与仿真实例（续）,-,下截止空间频率，常取,-,路面参考空间频率，；,Gq,（）,-,路面谱密度不平度系数，。,6.7,随机系统建模与仿真实例（续）,根据式,(6.101),，在,Matlab/Simulink,中搭,建仿真模型，如图,6-23,所示。,图,6-23,随机路面生成模型,6.7,随机系统建模与仿真实例（续）,图,6-24,为汽车在,B,级路面上以,10m/s,、,20m/s,和,30m/s,车速下分别驶过,1000m,时的路面随机高程仿,真结果。,（,a,）,B,级路面上车速,10m/s,时随机高程激励信号,6.7,随机系统建模与仿真实例（续）,（,b,）,B,级路面上车速,20m/s,时随机高程激励信号,6.7,随机系统建模与仿真实例（续）,（,c,）,B,级路面上车速,30m/s,时随机高程激励信号,图,6-24,不同车速下生成的路面激励,Thank You!,