线性习题课(1).ppt

上页,下页,铃,结束,返回,首页,线 性 代 数,习 题 课 一,一、内 容 提 要,二、典 型 例 题,一、内 容 提 要,三阶行列式值的计算,对角线法则,一、内 容 提 要,n,阶行列式的定义,对,n,阶矩阵,A,把删去第,i,行及第,j,列后所得的,n,-,1,阶子矩阵称为,(,i,j,),元的,余子矩阵,记为,S,ij,.,称,det,S,ij,为,(,i,j,),元的,余子式,记为,M,ij,.,称,(,-,1),i,+,j,M,ij,为,(,i,j,),元的,代数余子式,记为,A,ij,.,n,阶行列式的递归公式,:,一、内 容 提 要,Laplace,展开定理,行列式等于某一行,(,列,),的元素与其对应的代数余,子式乘积之和,.,即,设,A,=,(,a,ij,),为,n,阶方阵,则有,一、内 容 提 要,行列式的性质,性质,1,行列式与它的转置行列式相等,.,性质,2,对换两行,行列式值反号,.,性质,3,行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到,行列式记号的外面,.,性质,4,若行列式某一行的元素都是两数之和,则该行,拆开,原行列式可以表为相应的两个行列式之和,.,性质,5,把行列式某一行的各元素乘以同一数,然后加,到另一行对应的元素上去,行列式的值不变,.,对,n,阶矩阵,A,有,det(,kA,),=,k,n,det,A,.,设,A,B,为,n,阶矩阵,则有,一、内 容 提 要,伴随阵,设,A,为,n,阶方阵,A,ij,为,(,i,j,),元的代数余子式,记,称,A,为方阵,A,的,(,转置,),伴随阵,.,伴随阵的性质,设,A,为,n,阶方阵,A,的伴随阵,则有,如果,|,A,|,0,那么,称方阵,A,为,非奇异矩阵,.,逆阵计算公式,非奇异矩阵,A,的逆阵为,逆矩阵,如果存在矩阵,B,使,AB,=,BA,=,E,那么,称方阵,A,为,可逆的,并称,B,为,A,的逆矩阵,.,定理,设,A,B,为,n,阶方阵,若,AB,=,E,则,A,B,可逆,且有,一、内 容 提 要,逆矩阵的性质,设,A,B,为,n,阶可逆矩阵,则有,一、内 容 提 要,分块对角阵的性质,设,(3),A,可逆的充分必要条件是,A,i,(,i,=1,s,),都可逆,且有,一、内 容 提 要,等价矩阵,如果矩阵,A,经过有限次初等,(,行,列,),变换,化为矩阵,B,就称矩阵,A,与,B,(,行,列,),等价,记为,A,B,.,矩阵的等价具有,反身性、对称性和传递性,.,初等矩阵,由单位矩阵经一次初等变换而得的矩阵称为初等,矩阵,.,初等矩阵可逆,其逆阵也为初等矩阵,具体如下,:,一、内 容 提 要,定理,方阵,A,为可逆矩阵的充分必要条件是,:,A,可以,表成若干初等方阵的乘积,.,定理,(2),矩阵,A,与,B,列等价的充分必要条件是,:,存在可逆矩,阵,Q,使,B,=,AQ,.,矩阵,A,与,B,行等价的充分必要条件是,:,存在可逆矩,阵,P,使,B,=,PA,.,具体地有,一、内 容 提 要,行最简形矩阵,行阶梯形矩阵,一、内 容 提 要,矩阵的等价标准形,可逆阵的行最简形,(,等价标准形,),是一个单位阵,.,定理,矩阵的等价标准形唯一,.,矩阵的秩,称矩阵,A,的等价标准形中,单位阵的阶数,为,A,的秩,记为,R,(,A,),或,rank(,A,).,规定零矩阵的秩等于,0.,一、内 容 提 要,矩阵秩的基本性质,性质,1,等价矩阵有相等的秩,.,设,P,Q,可逆,则,性质,2,性质,4,性质,3,n,阶方阵,A,可逆的充分必要条件是,R,(,A,),=,n,.,行阶梯形矩阵的秩为非零行的行数,.,性质,5,一、内 容 提 要,性质,6,矩阵秩的常用性质,性质,7,性质,8,性质,9,性质,10,若,则,一、内 容 提 要,逆矩阵的初等变换求法,矩阵初等变换的应用,线性方程组的最简形解法,将线性方程组的增广矩阵化为行最简形,写出同解,方程组,解便一目了然,.,矩阵方程,AX,=,B,XA,=,B,的初等变换解法,一、内 容 提 要,(1),当,R,(,A,b,),R,(,A,),时,方程组无解,;,(2),当,R,(,A,b,),=,R,(,A,),=,n,时,方程组有唯一解,;,(3),当,R,(,A,b,),=,R,(,A,),n,时,方程组有无穷多解,.,设,n,元线性方程组,Ax,=,b.,n,元方程组,Ax,=,0,有非零解的充要条件是,R,(,A,),n,.,定理,AX,=,B,有解的充要条件是,R,(,A,),=,R,(,A,B,).,线性方程组的可解性定理,当,A,为方阵时,Ax,=,0,有非零解的充要条件是,|,A,|,=,0.,一、内 容 提 要,齐次通解结构定理,设,n,元齐次线性方程组,Ax,=,0,的一个,基础解系,为,x,1,x,n,-,r,其中,r,=,R,(,A,),则,Ax,=,0,的通解为,(,k,1,k,n,-,r,为任意数,),非齐次通解结构定理,(,k,1,k,n,-,r,为任意数,),设,x,=,h,是,n,元非齐次线性方程组,Ax,=,b,的一个解,(,称,特解,),x,1,x,n,-,r,是导出组,Ax,=,0,的一个基础解系,则,Ax,=,b,的通解为,一、内 容 提 要,(1),对换分块矩阵的两行,(,列,);,(2),以一个,可逆矩阵左乘,(,右乘,),分块矩阵的某一行,(,列,);,(3),把分块矩阵的一行,(,列,),左乘,(,右乘,),一矩阵加到另一,行,(,列,),上,.,矩阵的分块初等行,(,列,),变换,一、内 容 提 要,对分块矩阵施行,一次分块初等变换,就是对矩阵施行,若干次初等变换,.,Schur,公式,设矩阵,A,为可逆矩阵,矩阵,D,为方阵,则有,二、典 型 例 题,例,1,设,a,1,a,2,a,3,b,均为,3,维列向量,矩阵,A,=,(,a,1,a,2,a,3,),解,B,=,(3,a,1,2,a,2,b,),且已知行列式,det,A,=2,det,B,=,6.,计算,det,(3,A,-,B,),和,det,(3,A,+,B,).,解,例,2,设,计算,例,3,计算行列式,解,解,1,因此,例,4,设,求,解,2,假设,则有,例,5,(1),求,A,9,;,(2),求,B,.,且,A,2,+,AB,-,A,=,E,设,解,解,例,6,且,B,=,(,E,+,A,),-,1,(,E,-,A,),求,(,E,+,B,),-,1,.,设,解,例,7,由,AB,=,B,+,A,得,且,AB,=,B,+,A,求,B,.,已知,证明,例,8,设,A,满足方程,A,2,+,2,A,-,9,E,=,O,证明,A,与,A,+,4,E,都可逆,并求它们的逆阵,.,由,A,2,+,2,A,-,9,E,=,O,得,因此,A,可逆,且有,因此,A,+,4,E,可逆,且有,因为,例,9,设,A,是,3,阶可逆矩阵,A,的第,2,列乘以,4,为矩阵,解,B,则,A,-,1,的,(),为,B,-,1,.,(A),第二行乘以,4;,(B),第二列乘以,4;,(C),第二行乘以,(D),第二列乘以,C,例,10,设,A,B,为,n,阶方阵,证明,分析,证一,两边取行列式即得,例,10,设,A,B,为,n,阶方阵,证明,分析,证二,