《函数单调性》1.ppt

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.3,.,1,函数的单调性,（一）问题情境：,近六届世界杯进球数如下表：,画成折线图：,年份,进球数,1990,115,1994,137,1998,171,2002,161,2006,147,2010,145,问题1,：随着年份的不同，进球数有什么变化？进球数的变化和图象的变化有什么联系？,观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律,：,问题2:这两个函数图象有怎样的变化趋势？（上升？下降？）问题3:函数,f(x)=x,2,在区间,内y随x的增大而增大,，,在区间,内y随x的增大而减小,。,x,y,0,x,y,0,（2）,f(x)=x,2,二.建构定义,在区间D内,在区间D内,图,象,图象特征,数量特征,从左到右，图象上升,y随x的增大而,增大,从左到右，图象,下降,y随x的增大而减小,o,一般地，设函数 的定义域为I：,如果对于属于,定义域I内某个区间,上的任意两个自变量的值 ，。当 时，都有,那么就说 在这个区间上是,增函数,。,这一区间叫做函数的,增,区间,函数,f(x),在给定区间上为增函数。,如何用,x,与,f(x),来描述上升的图像？,o,一般地，设函数 的定义域为I：,如果对于属于,定义域I内某个区间,上的任意两个自变量的值 ，。当 时，都有,那么就说 在这个区间上是,减函数,。,这一区间叫做函数的,减,区间,减函数概念,注:,三大特征：属于同一区间；任意性；有大小：通常规定,；,相对于定义域，函数的单调性可以是函数的局部性质。,请结合图象说出一次函数与二次函数的单调区间,.,二次函数,y=ax,2,+bx+c(a0),在,上是增函数,在,上是减函数,在,上是增函数,在,上是减函数,在,(,-,+,),上是减函数,在,(,-,+,),上是增函数,一次函数,y=kx+b(k0),y,o,x,当,k0,时,y,o,x,当,a0,时,题1,下图是定义在闭区间-5,5上的函,数 的图象,根据图象说出,的单调区间,以及在每一区间上,是增函数还是减函数.,-,2,1,2,3,4,5,-2,3,-3,-4,-5,-1,-1,1,2,O,-,2,1,2,3,4,5,-2,3,-3,-4,-5,-1,-1,1,2,在区间,-5,-2),1,3),上是减函数,在区间,-2,1),3,5),上是增函数.,解:函数 的单调区间有,-5,-2),-2,1),1,3),3,5,O,问题4：可否写成5，2）U2，1）？,问题5：写成5，2）还是写成5，2？,y,x,o,问题,6,：,2.函数f(x)=在区间,(0,+),上单调性如何？,1.函数f(x)=在区间,(,0),上单调性如何？,3.函数f(x)=在区间,(,+,),上是减函数吗？,4.函数f(x)=在区间,(,0)(0,+),上是减函数吗？,反例：,取x,1,=-1,x,2,=1，则f(-1)=-1,f(1)=1,可见 x,1,f(x,2,)不一定成立。,.,.,-1,1,所以f(x)=在区间(,0)(0,+)上没有单调性。,单调递减,单调递减,概念理解,不是,问题,7,：,函数f(x)=在x=1处是减函数吗？,y,x,o,注意：,函数的单调性是对某个区间而言的，函数在单独的点上没有单调性。,1.,函数的单调性是对,定义域内某个区间,而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性,2.,有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数),3.,函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在,A,B,上是增（或减）函数(,即不能将单调区间并在一起,),4.,当端点满足单调性定义时，可开可闭。,概念深解,如图,已知 的图象(包括端点),根据图象说出函数的单调区间,以及,在每一区间上,函数是增函数还是减,函数.,-1,1,o,要了解某函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用的方法，但这种方法比较粗略。严格地 说，它还需要进行证明。,例2,（1）,证明函数f(x)=-3x+2在R上是减函数。,证明：,设x,1,x,2,是,R,上的,任意,两个实数，且,x,1,x,2,，,f(x,1,)-f(x,2,)=(-3 x,1,+2)-(-3 x,2,+2),=3(x,2,-x,1,),由x,1,x,2,，得 x,2,-x,1,0,于是 f(x,1,)-f(x,2,)0,即 f(x,1,)f(x,2,),所以，函数f(x)=-3x+2在R上是减函数,。,取值,作差,变形,定号,判断,分析：,按定义只需设,x,1,x,2,是R上的任意两个实数，,当 x,1,x,2,，,我们来证明f(x,1,)f(x,2,)。,设x,1,x,2,是,0，+）,上的,任意,两个实数，,且,0 x,1,x,2,则,由,0 x,1,x,2,得,于是 f(x,1,)-f(x,2,)0。,即 f(x,1,)f(x,2,),所以函数 在区间0，+）上为增函数。,取值,作差,变形,定号,判断,证明:,（2）证明函数 在区间0，+）上为增函数。,判断函数单调性的方法步骤,利用定义证明函数f(x)在给定的,区间D,上的单调性的一般步骤：,任,取,x,1,，x,2,D，且x,1,x,2,；,作差,f(x,1,)f(x,2,)；,变形,定号,（即判断差f(x,1,)f(x,2,)的正负）；,下结论,（即指出函数f(x)在给定的,区间D,上的单调性）,（,通常是因式分解和配方,）；,练习：,1.证明函数 在(-,0)上是减函数.,2.写出,f(x)=x,2,4x+5,的单调递增区间，并证明,。,函数单调性的简单应用（求参数）,1.,小,结,1、函数单调性是对,定义域的某个区间,而言的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的性质.（,注意对概念的深入理解,）,2、判断函数单调性的方法：,（1）利用图象：,在单调区间上，增函数图象从左向右是上升的，减函数图象是下降的.,（2）利用定义：,用定义证明函数在某个区间上单调性的一般步骤：,任意取值作差变形判断符号 得出结论,.,课堂小结，知识再现,课后思考：,函数,在R上单调递增，那么，,的符号有什么规律？若单调递减，又该如何?,