高等数学实验matlab第二章.ppt

,数学实验,高等数学分册,理工数学实验,第,2,章 一元函数微分法,第,2,章一元函数微分法,验证性实验,实验一 初等函数的导数,实验二 隐函数与参量函数的导数,实验三 函数的微分,实验四 导数的应用,第,2,章一元函数微分法,验证性实验,实验一 初等函数的导数,【,实验目的,】,1.,熟悉基本求导公式，掌握初等函数的求导方法,2.,会求函数在给定点处的导数值,【,实验要求,】,熟悉，,Matlab,中的求导命令,diff,输入方式,:,（,1,）求一阶导数,dy=diff(y),或：,dy=diff(y,v),（,2,）求高阶导数,dy=diff(y,n),或：,dy=diff(y,v,n),1.,y,是被求导的函数,是符号表达式,;,2.,v,是指定对其求导的自变量,是符号变量,.,若函数表达式中有多个符号变量,最好应指定 其中某个为对其求导的自变量,以免出错,.,3.,n,指定求导数的阶数,;,4.,dy,是求导的输出结果,也是符号表达式,.,注解,:,第,2,章一元函数微分法,验证性实验,【,实验内容,】,1.,求下列函数的导数,(1)(2),【,实验过程,】,1.,（,1,）,syms x,y=exp(x)*(sin(x)+cos(x);,diff(y),运行结果：,ans=,exp(x)*(sin(x)+cos(x)+exp(x)*(cos(x)-sin(x),即函数的导数为,第,2,章一元函数微分法,验证性实验,（,2,）,syms x,y=log(x3+1)/(x2+1);,diff(y),运行结果：,ans=,(3*x2/(x2+1)-2*(x3+1)/(x2+1)2*x)/(x3+1)*(x2+1),即函数的导数化简得,2.,求下列函数在给定点处的导数值,（,1,）已知函数 ，求 ；,2.,（,1,）,syms x;,f=1/x;,f1=diff(f,x);,ff=inline(f1);,x=1;,ff(1),运行结果：,ans=,-1,x=-2;,ff(-2),运行结果：,ans=,-0.2500,第,2,章一元函数微分法,验证性实验,第,2,章一元函数微分法,验证性实验,实验二 隐函数与参量函数的导数,【,实验目的,】,1,掌握隐函数求导的方法和步骤,2,掌握参量函数求一阶导数和二阶导数的方法和公式,【,实验要求,】,熟悉,Matlab,中解方程的命令,solve,和求导命令,diff,第,2,章一元函数微分法,验证性实验,【,实验内容,】,1.,求下列隐函数的导数,(1),设 ，求,【,实验过程,】,1.,（,1,）解法一：,syms x y;,f=solve(x2+y2-R2=0,y);,diff(f,x),运行结果：,ans=,-1/(-x2+R2)(1/2)*x,1/(-x2+R2)(1/2)*x,第,2,章一元函数微分法,验证性实验,即,或,说明：对于能从方程中求出函数显示形式的题可以采用这种做法。,解法二：,syms x y R;,f=x2+y2-R2;,f1=diff(f,x);,f2=diff(f,y);,-f1/f2,运行结果：,ans=,-x/y,即,说明：对于不能从方程中解出函数显示形式的题要采用这种做法。,第,2,章一元函数微分法,验证性实验,2.,求下列参量函数的导数,（,1,）已知 ，求,2.(1)syms t;,x=t2;,y=4*t;,f=diff(y,t);f1=diff(x,t);,f2=f/f1,运行结果：,f2=,2/t,即,第,2,章一元函数微分法,验证性实验,实验三 函数的微分,【,实验目的,】,1.,懂得函数的求导与微分的关系,2.,会求函数的导数和微分,【,实验要求,】,熟悉,Matlab,中的求导命令,diff,，赋值命令,inline.,第,2,章一元函数微分法,验证性实验,【,实验内容,】,1.,求下列函数的微分,（,1,）,;,【,实验过程,】,1.,（,1,）,syms x;,f=log(sin(x);,f1=diff(f,x),运行结果：,f1=,cos(x)/sin(x),即：,第,2,章一元函数微分法,验证性实验,实验四 导数的应用,【,实验目的,】,1.,会写函数的,Taylor,公式和,Maclaurin,公式,2.,掌握求函数的极值和最值的方法,3.,懂得一点处导数的几何意义,【,实验要求,】,熟悉,Matlab,中求,Taylor,展开式的命令,taylor,，以及求极值的方法,第,2,章一元函数微分法,验证性实验,【,实验内容,】,1.,求函数的,Taylor,展开式，并在同一坐标系下画出函数及函数,展开式的图形,（,1,）将函数 在 处展开到第,5,项；,【,实验过程,】,1.,（,1,）,syms x;,f=sin(x);,y=taylor(f,pi/2,6),运行结果：,y=,1-1/2*(x-1/2*pi)2+1/24*(x-1/2*pi)4,再画出函数与展开式的图形：,x=linspace(-2,2,60);,f=sin(x);,y=1-1/2*(x-1/2*pi).2+1/24*(x-1/2*pi).4;,plot(x,f,x,y),运行结果：,图,2-1,函数 与其,Taylor,展开式对比图,第,2,章一元函数微分法,验证性实验,第,2,章一元函数微分法,验证性实验,2.,求函数 的极值,;,syms x;,y=2*x3-3*x2;,f1=diff(y,x);,f1=diff(y),运行结果：,f1=,6*x2-6*x,x0=solve(f1),第,2,章一元函数微分法,验证性实验,运行结果：,x0=,0,1,f2=diff(f1,x),运行结果：,f2=,12*x-6,ff=inline(f2),ff(x0),运行结果：,ans=,-6,6,由此可知：函数在点处二阶导数为,-6,，所以,0,为极大值；函数在点处二阶导数为,6,，所以,-1,为极小值。,3.,求圆过点（,2,，,1,）的切线方程。,syms x y;,f=(x-1)2+(y+3)2-17;,f1=diff(f,x);,f1=diff(f,x);f2=diff(f,y);,ff=-f1/f2,运行结果：,ff=,(-2*x+2)/(2*y+6),f3=inline(ff),；,f3(2,1),运行结果：,ans=,-0.2500,所以切线方程为,第,2,章一元函数微分法,验证性实验,第,2,章一元函数微分法,设计性实验,实验一 最优价格问题,实验二 效果最佳问题,实验三 相关变化率,第,2,章一元函数微分法,设计性实验,实验一 最优价格问题,【,实验目的,】,1.,加深对微分求导，函数极值等基本概念的理解,2.,讨论微分学中的实际应用问题,3.,会用,Matlab,命令求函数极值,【,实验要求,】,掌握函数极值概念，,Matlab,软件中有关求导命令,diff,第,2,章一元函数微分法,设计性实验,【,实验内容,】,某房地产公司拥有,100,套公寓当每套公寓的月租金为,1000,元时，公寓全部租出。当月租金每增加,25,元时，公寓就会少租出一套。,1.,请你为公司的月租金定价，使得公司的收益最大，并检验结论,2.,若租出去的公寓每月每套平均花费,20,元维护费，又应该如何定价出租，才能使公司收益最大,【,实验方案,】,1.,方法一：,设每套公寓月租金在,1000,元基础上再提高,x,元，每套租出公寓实际月收入为,(),元，共租出,(),套。,第,2,章一元函数微分法,设计性实验,收益,R(X)=()()(0 x2500),R(x)=,令,R(x)=0,，解得驻点,=750,。,R(x)=,0,，故,R(x),在,=750,处取得极大值。在,0,2500,上只有一个驻点，故,R,（,x,）在,=750,处取最大值。即每套公寓的月租金为,1750,元时，才能使公司收益最大。,检验：,x=1750,元，少租出,=30,套，实际租出,70,套，公司有租金收入,1750*70=122500,元。比,100,套全部租出时公司租金收入,1000*100=100000,元多,22500,元。,方法二：,设每套公寓月租金为,x,元，少租出 套，实际租出,第,2,章一元函数微分法,设计性实验,套,收益,R(x)=x()(1000 x3500),R(x)=,令,R(x)=0,，解得驻点,=1750(,每套公寓租金,),检验讨论如方法一。,2.,设每套公寓月租金在,1000,元再提高元，每套租出公寓实际月租金收入是,(1000+x-20),元，共租出 套,收益,R(x)=()()(0 x2500),令,R(x)=0,，解得驻点,x=760,。,R(x)=f=inline(-(1000+x)*(100-x/25),a=fminbnd(f,0,2500),x=-f(a),f=,Inline function:,f(x)=-(1000+x)*(100-x/25),a=,750,x=,122500,第,2,章一元函数微分法,设计性实验,方法二,f=inline(-x*(100-(x-1000)/25),a=fminbnd(f,1000,3500),x=-f(a),f=,Inline function:,f(x)=-x*(100-(x-1000)/25),a=,1750,x=,122500,(2)f=inline(-(980+x)*(100-x/25),a=fminbnd(f,0,2500),f=,Inline function:,f(x)=-(980+x)*(100-x/25),a=,760,第,2,章一元函数微分法,设计性实验,第,2,章一元函数微分法,设计性实验,实验二 效果最佳问题,【,实验目的,】,1.,利用积分概念、函数最大值,(,最小值,),理论，解决实际最优化问题,2.,掌握符号求导的实际应用,3.,熟悉,Matlab,命令求函数积分，解代数方程,【,实验要求,】,掌握函数最大值,(,最小值,),理论，,Matlab,软件求导命令、解方程的命令,第,2,章一元函数微分法,设计性实验,【,实验内容,】,洗过的衣服含有洗衣粉残液，现用总量为,A m,3,的清水漂洗，漂洗一遍再甩干后衣服上有,a m,3,的洗衣粉残液。若规定漂洗两遍，问如何分配水两次的用水量，才能使漂洗效果最佳？,【,实验方案,】,设第一次用水量为,x m,3,，则第二次用水量为,(A-x)m,3,。并设漂洗前衣服上含有的,a m,3,的洗衣粉残液中洗衣粉占,b m,3,.,第一次加水后，水中洗衣粉所占百分比为 ，将水放掉甩干后，残液中洗衣粉含量为,第二次加水后，水中洗衣粉所占百分比为,第,2,章一元函数微分法,设计性实验,将水放掉甩干后，残液中洗衣粉含量为,两次漂洗后效果最佳就是漂洗后残液中洗衣粉含量最小，为此只要求,g(x)=(a+x)(a+A-x)(0 xA),的最大值。,g(x)=(a+A-x)-(a+x)=A-2x,令,g(x)=0,解得 因,g(x)=-2 syms x a A,f=(a+x)*(a+A-x);,b=diff(f,x);,solve(b),ans=,1/2*A,第,2,章一元函数微分法,设计性实验,实验三 相关变化率,【,实验目的,】,1.,加深对复合函数、相关变化率的理解,2.,通过实例学习用微分知识解决实际问题,3.,熟悉,Matlab,命令求复合函数，符号函数求微分,【实验要求】,掌握复合函数求微分、相关变化率应用，熟练应用,Matlab,软,件中求复合函数，符号函数求微分命令,第,2,章一元函数微分法,设计性实验,【,实验内容,】,有一个长度为,5m,的梯子贴靠在垂直的墙上，假设其下端沿地板以,3m/s,的速率离开墙脚而滑动，求,1.,当其下端离开墙脚,1.4m,时，梯子的上端下滑之速率为多少？,2.,何时梯子的上下端能以相同的速率移动？,3.,何时其上端下滑之速率为,4m/s,？,【,实验方案,】,设,t=0,时，梯子贴靠在墙上，在时刻,t,（秒）时，梯子上端离,t=0,时位置的距离为,S,米，梯子下端离开墙脚的距离为,x,米，则有,x=3t,，,S=5-(,见图,2-2),第,2,章一元函数微分法,设计性实验,图,2-3,位置示意图,1.,梯子的上端下滑之速率,当,x=1.4m,时，,2.,梯子上、下端相同速率处，即,解得,x,2,=,，,（,舍去），即当梯子下,第,2,章一元函数微分法,设计性实验,下端离开墙脚的距离是,3.54m,时，梯子的上、下端的相同的速率移动,.,3.,解得,x=4,，,-4,（舍去）,.,即当梯子下端,离墙脚,4m,时,其上端下滑之速度为,4m/s.,【,实验过程,】,(1)syms x t,f=5-sqrt(52-x2);,x=3*t;,a=compose(f,x);,c=diff(a,t);,b=subs(c,t,x/3);,d=subs(b,x,1.4);,numeric(d),ans=,0.8750,(2)syms x,a=solve(3*x)/sqrt(25-x2)-3,x),a=,5/2*2(1/2),(3)syms x,a=solve(3*x)/sqrt(25-x2)-4,x),a=,4,第,2,章一元函数微分法,设计性实验,