计算动力学第1章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,计算动力学（2）,大连理工大学运载工程与力学学部,1,1.1,振动的概念,1.,2,单自由度系统自由振动,1.3,单自由度系统强迫振动,1.4,两个自由度系统的振动,1.5,非线性振动概述,第,1,章 绪论,2,1.1,振动的概念,振动：,就是物体在静平衡位置附近所作的往复运动。,振动系统：,在振动问题中所研究的对象。如机器或结构物等。,激励：,外界对振动系统的作用或引起机器运动的力。,响应：,机器或结构在激励作用下产生的动态行为。,3,振动的概念,振动分析,：,研究,振动,系统、激励,(,输入,),和响应,(,输出,)三者,之间的关系,。,4,力学基本模型,振动系统的力学基本模型中包括三个基本“元件”：,质量块,、,弹簧,和,阻尼器,。,质量,块,:,是物体惯性大小的度量。,弹簧,:,表示振动系统弹性的理想模型。,阻尼,器,:,任何振动在没有外界干扰,(,激励,),时都会逐渐消失，,因此，系统存在一种,阻碍振动持续进行的阻力，这种阻力称为阻尼。,5,振动机理,任何结构，之所以能产生振动，是因为它本身具有质量（惯性力）和弹簧（恢复力）。,从能量关系看,质量可以储存,动能,弹簧可以储存,势能（变形能）,。振动就是动能和势能不断地转换。,6,1.2,单自由度系统,单自由度系统,:,可以用,一个独立坐标,来确定系统的位置及其运动规律的振动系统,;,单自由度线性系统的振动是最简单的振动系统,;,许多实际问题可以足够精确地简化为单自由度振动系统,;,单自由度振动系统的一些概念、特征和研究方法，是研究复杂振动系统的基础。,7,m-k,系统,已知质量为,m,，弹簧的刚度系数为,k,。取质量的静平衡位置为坐标原点,当重物偏离,x,时,利用牛顿定律可得到运动微分方程：,8,梁的横向振动,质量,为,m,的重物放在简支梁的中部，不计梁的质量。设梁长为,l,，材料的弹性模量为,E,，截面惯性矩为,I,。则利用材料力学的概念可得到：,d,st,9,m-c-k,系统,已知质量为,m,，弹簧的刚度系数为,k,，粘性阻尼系数为,c,。运动微分方程为：,10,m-c-k,系统,令阻尼比为,则方程可写为,令其解为,代入方程得到,此特征方程的两个根是,11,大阻尼情况,不同的阻尼比,，对应的解的形式不同，运动性质也不同。,（,1,）,1,（大阻尼情况）,此时特征方程有两个不同的实根,通解为,12,大阻尼情况,给出初始条件：,t,0时,则可确定系数,B,和,D,13,大阻尼情况,这种情况对应的运动是一种衰减运动，但不是我们所关心的振动形式。设,x,0,0，,v,0,0，则运动图形大致如下。,14,临界阻尼情况,（,2,）,x,1,（临界阻尼情况）,此时特征方程,有重根,利用初始条件确定常数为,此时的阻尼系数称为临界阻尼系数，记为,c,c,通解为,15,临界阻尼情况,临界阻尼情况也是一种非振动形式的衰减运动，按不同的初始条件其运动图形如下。,16,小阻尼情况,（3）0,x,1（小阻尼情况）,此时特征方程有一对共轭复根，通解为,或写为,利用初始条件确定出常数,17,小阻尼情况,解中有两个因子，一个是衰减的指数函数 ,它将使振幅越来越小，直至振动最终消失;,另一个是正弦函数 ，它表示系统以相同的周期通过,平衡位置。,18,小阻尼情况,因此,系统呈现为一种衰减形式的等周期振动形式。,19,小阻尼情况,单自由度粘性阻尼系统在小阻尼情况下的衰减振动是我们最为关心的振动形式。这种衰减振动具有下列特性：,（,1,）,振幅衰减,由前面的解可以看出，振幅不再是常量，而是以几何级数 快速衰减;,（2）等时性,系统仍以相同的周期通过平衡位置;,20,小阻尼情况,（,3,）,振动频率变小，周期变长,此时系统振动的频率和周期为：,因此：,衰减振动的固有频率比无阻尼系统的固有频率小，振动周期变大，但影响,不大,，特别是当阻尼很小（,x,0,z,x,M,0,77,梁单元,单位体积变形能,胡克定律,78,梁单元,单位体积变形能,单元总变形能,79,梁单元,轴向位移,应变,80,梁单元,81,梁单元,横截面对,y,轴的惯性矩,82,梁单元,插值,83,梁单元刚度阵,84,弹簧单元,刚度阵,85,两自由度系统,86,刚度阵的建立,87,刚度阵的建立,88,1.5,非线性振动概述,非线性特性,材料非线性,振幅过大超出材料线弹性范围,几何非线性,位移或变形过大使结构几何形状显著变化,非线性阻尼,材料内摩擦阻尼、流体阻尼等都是非线性阻尼,负刚度负阻尼,有些情况下会存在负刚度和负阻尼,非线性系统,当真实系统弹性元件的力与位移之间的关系超出线性范围，或阻尼元件的力与运动速度之间的关系不满足作线性关系时，系统的运动微分方程不能用线性微分方程描述，称系统为非线性系统。当真实系统作小运动时，可忽略系统的高阶微小量，近似地将系统看作线性系统。,89,非线性振动概述,非线性振动的研究方法,非线性振动研究的方法有：,定性分析,、,定量分析,和,数值分析,方法。,非线性振动研究的内容,非线性振动研究的基本内容之一就是建立对真实振动系统的计算方法，改进计算精度，探索某些特殊现象的规律。,定性法,研究已知解的领域内系统的一般稳定性特征，而不是运动的时间历程。通常采用,几何方法,描述系统的运动特征。,定量法,通过一些渐近的,解析方法,研究系统运动的时间历程。,数值法,通过,数值计算,方法研究系统非线性振动的规律和现象。,90,非线性振动与线性振动的区别,线性振动,非线性振动,自由振动频率与初始条件无关,自由振动频率与振幅有关,强迫振动频率与激励力频率相等,强迫振动频率成分复杂，有时与激励频率不相等的频率成分突出,稳定平衡位置附近的运动是稳定的,稳定平衡位置附近具有多种稳定和不稳定运动,强迫振动中每个激励频率有一个对应的振幅,强迫振动中幅频与相频曲线发生弯曲，产生多值性,叠加原理成立,叠加原理不成立,91,典型微分方程类型,单摆方程,库仑（,Coulomb),摩擦振动方程,92,典型微分方程类型,单摆方程,库仑（,Coulomb),摩擦振动方程,93,典型微分方程类型,范德,波（,van,der,Pol,）方程,希尔,(,HiIl,),方程,94,单摆,由牛顿第二定律：,非线性方程,式中角频率：,95,单摆,线性化处理,忽略,3,次以上的高次项,得线性方程,96,单摆,令,代入方程得得特征方程：,特征根：,得通解为：,式中 为复常数。由于描述单摆振动的应为实函数，所以常数 必须满足条件：,将 写成指数形式后得：,该式是振幅为,P,，,角频率为 的简谐振动，其振动波形为正弦曲线。,角频率只与摆线,l,得长度有关，与摆锤质量无关,，称为固有角频率。,97,单摆,周期与摆角无关？,看看实验结果：,定性结论,：,1.,周期随摆角增加而增加,2.,随摆角增加波形趋于矩形,98,单摆周期数学表达式,对方程,乘以 后积分,其中,积分,设,t,=0,时，周期为,T,，,在 时应有 ，故有：,最后得：,99,1.6,常微分方程初值问题数值解法,一阶常微分方程初值问题,在区间,a x b,上的数值解法,。,(1),100,数值方法的基本思想,101,对常微分方程初值问题,(,1),式的数值解法，就是要算出精确解,y(x,),在区间,a,b,上的一系列离散节点 处的函数值,的近似值 。相邻两个节点的间距 称为步长，步长可以相等，也可以不等。本章总是假定,h,为定数，称为,定步长,，这时节点可表示为,101,数值方法的基本思想,102,数值解法需要把连续性的问题加以离散化，从而求出离散节点的数值解。,对常微分方程数值解法的基本出发点就是离散化。其数值解法有两个基本特点，它们都采用,“,步进式,”,，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进，描述这类算法，要求给出用已知信息,计算 的递推公式。建立这类递推公式的基本方法是在这些节点上用数值积分、,102,中的导数 进行不同的离散化处理,。,对于初值问题,数值方法的基本思想,103,数值微分、泰勒展开等离散化方法，对初值问题,103,的数值解法，首先要解决的问题就是如何对微分方程进行离散化，建立求数值解的递推公式。递推公式通常有两类，一类是计算,y,i+1,时只用到,x,i+1,x,i,和,y,i,，,即前一步的值，因此有了初值以后就可以逐步往下计算，此类方法称为,单步法,；其代表是,龙格,库塔法。另一类是计算,y,i+1,时，除用到,x,i+1,x,i,和,y,i,以外，还要用到 ，即前面,k,步的值，此类方法称为,多步法,；其代表是亚当斯法。,数值方法的基本思想,104,104,Euler,公式,105,1 Euler,公式,欧拉（,Euler,）方法是解初值问题的最简单的数值方法。初值问题,的解,y=,y(x,),代表通过点 的一条称之为微分方程的积分曲线。积分曲线上每一点 的切线的斜率 等于函数 在这点的值。,105,Euler,法的求解过程是,:,从初始点,P,0,(,即点,(x,0,y,0,),出发,作积分曲线,y=,y(x,),在,P,0,点上切线,(,其斜率为,),与,x=x,1,直线,相交于,P1,点,(,即点,(x1,y1),得到,y1,作为,y(x1),的近似值,如上图所示。过点,(x0,y0),以,f(x0,y0),为斜率的切线方程为,当 时,得,Euler,公式,106,106,同样,过,点,P,1,(,x,1,y,1,),作积分曲线,y=,y(x,),的切线,交直线,x=x,2,于,P,2,点,切线 的斜率,=,直线方程为,Euler,公式,这样就获得了,P1,点的坐标,。,107,由此获得了,P,2,的坐标。重复以上过程,就可获得一系列的点,:,P,1,P,1,P,n,。,对已求得点 以,=,为斜率作直线,Euler,公式,当 时,得,108,这样,从,x,0,逐个算出,对应的数值解,Euler,公式,当 时,得,取,109,Euler,公式,从图形上看,就获得了一条近似于曲线,y=,y(x,),的折线 。,通常取,(,常数,),则,Euler,法的计算格式,i,=0,1,n,(2),还可用数值微分、数值积分法和泰勒展开法推,Euler,格式。以数值积分为例进行推导。,将方程 的两端在区间 上积分得，,110,选择不同的计算方法计算上式的积分项,就会得到不同的计算公式。,(3),Euler,公式,用左矩形方法计算积分项,111,代入,(3),式,并用,y,i,近似代替式中,y(x,i,),即可得到向前欧拉（,Euler,）公式,由于数值积分的矩形方法精度很低，所以欧拉（,Euler,）公式当然很粗糙。,Euler,公式,112,2,梯形公式,为了提高精度,对方程 的两端在区间上,积分得，,改用梯形方法计算其积分项，即,(4),代入,(4),式,并用近似代替式中即可得到梯形公式,梯形公式,113,(5),式的右端含有未知的,yi+1,它是一个关于,yi+1,的函数方程,这类数值方法称为隐式方法。相反地,欧拉法是关于,yi+1,的一个直接的计算公式，这类数值方法称为显式方法。,梯形公式,由于数值积分的梯形公式比矩形公式的精度高，因此梯形公式（,5,）比欧拉公式,(2),的精度高一个数值方法。,(5),114,3,改进的欧拉公式,显式欧拉公式计算工作量小,但精度低。梯形公式虽提高了精度,但为隐式公式,需用迭代法求解,计算工作量大。综合欧拉公式和梯形公式便可得到改进的欧拉公式。,先用欧拉公式,(2),求出一个初步的近似值,称为预测值,它的精度不高,再用梯形公式,(5),对它,改进的欧拉公式,115,改进的欧拉公式,预测,校正,（,10,）,可以证明,公式,(10),的精度为二阶。这是一种一步显式格式,它可以表示为嵌套形式,。,校正一次,即迭代一次,求得,y,i+1,称为校正值,这种预测,-,校正方法称为改进的欧拉公式：,116,（,11,）,或者表示成下列平均化形式,（,12,）,改进的欧拉公式,117,4,龙格,-,库塔方法,1,龙格,-,库塔,(,Runge-Kutta,),法的基本思想,Euler,公式可改写成,则,y,i+1,的表达式,y,(,x,i+1,),与的,Taylor,展开式的前两项完全相同,即局部截断误差为 。,改进的,Euler,公式又可改写成,118,上述两组公式在形式上有一个共同点,:,都是用,f(x,y,),在某些点上值的线性组合得出,y(x,i+1,),的近似值,y,i+1,而且增加计算的次数,f,(,x,y,),的次数,可提高截断误差的阶。如欧拉公式,:,每步计算一次,f,(,x,y,),的值,为一阶方法。改进欧拉公式需计算两次,f,(,x,y,),的值，它是二阶方法。它的局部截断误差为,。,龙格,-,库塔法的基本思想,119,于是可考虑用函数,f,(,x,y,),在若干点上的函数值的线性组合来构造近似公式，构造时要求近似公式在,(,x,i,y,i,),处的,Taylor,展开式与解,y,(,x,),在,x,i,处的,Taylor,展开式的前面几项重合，从而使近似公式达到所需要的阶数。既避免求偏导,又提高了计算方法精度的阶数。或者说,在 这一步内多预报几个点的斜率值，然后将其加权平均作为平均斜率，则可构造出更高精度的计算格式，这就是龙格,库塔（,Runge-Kutta,）法的基本思想。,龙格,-,库塔法的基本思想,120,2,二阶龙格,库塔法,在 上取两点,x,i,和,以该两点处的斜率值,k,1,和,k,2,的加权平均,(,或称为线性组合,),来求取平均斜率,k,*,的近似值,K,，即,式中,:,k,1,为,x,i,点处的切线斜率值，,k,2,为 点处的切线斜率值,比照改进的欧拉,法,将 视为 ，即可得,二阶龙格,-,库塔法,121,二阶龙格,-,库塔法,对常微分方程初值问题,(1),式的解,y,=,y,(,x,),根据微分中值定理，存在点 ，使得,式中,也即,（,13,）,K,可看作是,y=,y(x,),在区间 上的平均斜率。所以,122,（,14,）,将,y(x,i,),在,x=x,i,处进行二阶,Taylor,展开：,（,15,）,二阶龙格,-,库塔法,可得计算公式为：,将,在,x=xi,处进行一阶,Taylor,展开：,123,将以上结果代入（,14,）得：,（,16,）,二阶龙格,-,库塔法,对式,(15),和,(16),进行比较系数后可知,只要,124,式,(17),中具有三个未知量,但只有两个方程,因而有无穷多解。若取,则,p,=1,，这是无穷多解中的一个解，将以上所解的值代入式,(14),并改写可得,二阶龙格,-,库塔法,（,17,）,成立,格式,(14),的局部截断误差就等于,有,2,阶,精度,125,二阶龙格,-,库塔法,不难发现，上面的格式就是改进的欧拉格式。凡满足条件式（,17,）有一簇形如上式的计算格式，这些格式统称为二阶龙格,库塔格式。因此改进的欧拉格式是众多的二阶龙格,库塔法中的一种特殊格式。,126,二阶龙格,-,库塔法,此计算公式称为变形的二阶龙格,库塔法。式中,为区间 的中点。,若取,则 ，此时二阶龙格,-,库塔,法的计算公式为,127,3,三阶龙格,-,库塔法,为了进一步提高精度，设除 外再增加一点,并用三个点,的斜率,k,1,k,2,k,3,加权平均得出平均斜率,k,*,的近似值，这时计算格式具有形式,:,三阶龙格,-,库塔法,128,三阶龙格,-,库塔法,于是可得,为了预报点 的斜率值,k,3,在区间 内有两,个斜率值,k,1,和,k,2,可以用,可将,k,1,k,2,加权平均得出,上的平均斜率,从而得到 的预报值,（,18,）,129,三阶龙格,-,库塔法,运用,Taylor,展开方法选择参数,可以使格式,(18),的局部截断误差为,即具有三阶精度，这类格式统称为三阶龙格,库塔方法。下列是其中的一种，称为库塔（,Kutta,）公式。,（,19,）,130,4,四阶龙格,库塔法,如果需要再提高精度，用类似上述的处理方法，只需在区间 上用四个点处的斜率加权平均作为平均斜率,k,*,的近似值，构成一系列四阶龙格,库塔公式。具有四阶精度，即局部截断误差是 。,由于推导复杂，这里从略，只介绍最常用的一种四阶经典龙格,库塔公式。,四阶龙格,-,库塔法,131,四阶龙格,-,库塔法,（,20,）,132,本章结束,133,