wureverse 第4章 机械振动yhc.ppt

Body Text,Second Level,Third Level,Fourth Level,Fifth Level,力学,振动力学,授课教师 杨宏春,力学,内容结构,力学的内容结构体系,振动力学,动力学方程,4.1,简谐振动的动力学方程与运动学方程,4.1.1,典型简谐振动的动力学方程,(1),弹簧谐振子,谐振子模型,牛顿第二定律,(2),单摆,回复力方程,牛顿第二定律,(3),复摆,回复力矩方程,刚体转动定律,(4)LC,振荡电路,线圈电动势,电容电压,讨论,各类简谐振动问题的动力学方程具有相同形式的微分方程,动力学方程中，,2,包含了各典型振动的具体特征,振动力学,动力学方程,例,4.1.1,比重计圆筒半径为,d,，液体密度为,，,不计液体粘滞阻力,证明,：用力下压处于平衡的比重计，放手后比重计将作简谐振动,证明,：以比重计平衡位置为原点建立图示坐标系,平衡时,偏离平衡位置位移为,x,时,振动力学,动力学方程,由牛顿第二定律可得比重计运动的动力学方程为,定义 得,4.1.2,简谐振动的运动学方程,振动力学,运动学方程,简谐振动动力学方程的一般形式,动力学方程的解,运动学方程,(1),运动学方程,简谐振动的速度、加速度,简谐振动总能量,(2),描述简谐振动的解析参量,振动力学,运动学方程,振幅,(,A,),谐振子距离平衡位置最大位移的绝对值,振幅还表示了振动系统的总能量,E,A,2,，,(,E,=,kA,2,/2),全振动,谐振子从某振动状态开始，发生周而复始的一次变化,周期,(,T,),谐振子完成一次全振动所需时间,频率,(,f,),单位时间内谐振子完成全振动的次数,角频率,(,),谐振子在,2,秒,内所作的全振动的次数,振动力学,运动学方程,初相位,(,),振子的初始振动状态,相位,(,t+,),振子,t,时刻的振动状态,课堂讨论,：相位参量的双值问题及求解,运动学方程,速度方程,结论,：时刻,t,，相位参数的双值问题可以通过运动学方程和速度方程判定,例,4.1.2,已知,A,=0.12 m,，,T,=2 s,。当,t,=0,时，,x,0,=0.06 m,，且,v,x,0,求,：,(1),谐振动方程,(2),当,t,=2 s,时，质点的位置、速度、加速度,(3),由初始时刻到,x,=-0.06 m,处所需的最短时间,解,：,(1),因,T,=2 s,振动力学,运动学方程,A,=0.12 m,，,T,=2 s,，,x,0,=0.06 m,运动学方程,(2),当,t,=0.5 s,时，质点的位置、速度、加速度,x,=0.104 m,，,v,=-0.189 m/s,，,a,=-1.03 m/s,2,(3),当,x,=-0.06 m,时，由运动学方程,由题意，质点沿,x,负方向运动到,x,=-0.06 m,所需时间最短,振动力学,运动学方程,例,4.1.3,证明匀速圆周运动在,x,轴上的分量是一简谐振动,证明,：物体角速度,，初始位置与,x,轴夹角为,，时刻,t,在,x,轴上的位移,满足简谐振动运动学方程，匀速圆周运动在,x,轴上的分量是简谐振动,讨论,：,代表物体运动的角速度，又称简谐振动的角速度或角频率,匀速圆周运动在,x,轴上的分量是简谐振动的,物理图像,高中简谐振动的,物理实验,振动力学,运动学方程,(3),简谐振动的几何描述,旋转矢量法,A,物理模型,B,旋转矢量方法：,用矢量作匀速圆周运动的图形来表示简谐振动,例,4.1.4,如图，,A,=20 cm,，,m,=10 g,，,T,=4 s,；,t,=0,时，,x,0,=-10 cm,，此时，,v,x,0,求,：,(1),t,=1 s,时的位移,(2),何时物体第一次到达,x,=10 cm,(3),经多少时间第二次到达,x,=10 cm,，此时的速度、加速度,振动力学,运动学方程,解,：由题给条件和旋转矢量方法，初始时刻振幅矢量位置,(2),第一次到达,x,=10 cm,时，,m,刚运动了半个周期,(1),t,=1s,时,(cm),(s),(3),物体需再旋转,2,/3,再次到达,x,=10 cm,，从,t,=0,算起，需经时间间隔,T/2,+,T,/3=10/3(s),将,t,=10/3 s,代入速度、加速度计算公式,(cm/s),(cm/s,2,),振动力学,振动的能量,4.2,简谐振动,的能量,谐振子,势能,谐振子,动能,(1),简谐振动,的,瞬时,机械能,谐振子,机械能,振动力学,振动的能量,(2),简谐振动,的能量平均值,弹簧振子在一个周期内的平均动能、平均势能,结论,谐振子的瞬时能量,守恒,、且等于一个周期的平均总能量,平均动能、平均势能等于总平均能量的一半,(3),简谐振动,的能量,与动力学方程,振动力学,振动的能量,简谐振动的能量,简谐振动能量守恒,例,4.2.1,定滑轮的半径,R,，转动惯量,I,，弹簧劲度系数,k,，物体质量,m,证明,：将物体拉离平衡位置后的自由振动为简谐振动,(,不计体系的 摩擦,),证明,：以平衡位置为原点，建立坐标系，物体系的机械能为,对上式求时间一次导,定义,有,(4),微振动系统的简谐近似,系统在平衡位置作微振动，将势能函数在,x,=x,0,附近作级数展开,在平衡位置处，势能的一阶导数为零，忽略高阶级数项,保守力为,振动力学,振动的能量,结论,：作微振动的系统一般都可以看作为简谐振动的系统,振动力学,振动的能量,例,4.2.2,长为,L,的刚性轻杆一端连质量为,m,的小球，另一端可绕,o,点转动，,刚性轻杆中点与弹簧相连并使其在水平位置平衡，弹簧的劲度系数为,k,求,：系统微振动的固有周期,解,：设轻杆平衡时弹簧伸长量为,y,0,，由力矩平衡,轻杆顺时针转过,微小角时，弹簧被拉长,y,振动力学,阻尼振动,4.3,阻尼振动受迫振动共振,4.3.1,阻尼振动,(1),阻尼振动的相关概念,阻尼振动,：物体在阻尼情形下的振动,摩擦阻尼,：物体在摩擦阻尼情形下的振动,辐射阻尼,：物体在有能量向外辐射下的振动,阻尼振动周期,：阻尼振动完成一次完全振动所需的时间,说明,：阻尼振动的周期只是一种准周期,阻尼振动的周期比相应简谐振动的周期长,设阻尼振动的阻力为 ，讨论质点的振动情况,(2),案例分析,振动力学,阻尼振动,振子固有频率,阻尼因素或衰减常数,B,微分方程的解,I,小阻尼情形,A,动力学方程,对数衰减,振动力学,阻尼振动,品质因素,对小阻尼情形,II,临界阻尼情形,III,过阻尼情形,振动力学,阻尼振动,例,4.3.2,水平桌面上弹簧振子质量,m,=0.5 kg,，劲度系数,k,=250 N/m,，与桌面,摩擦阻力为,-,v,，设初始振幅,A,0,=5.0 cm,，初相位,0,=3,/2,，,2s,后振动曲,线的包络线下降到,1.0 cm,求,：,(1),和,；,(2),振动的角频率；,(3),振动的初速度,解,(1),/s,Ns/m,振动力学,受迫振动,(2),rad/s,(3),当,t,=0,时,m/s,(1),受迫振动的相关概念,4.3.2,受迫振动,受迫振动,：系统在持续周期外力,(,简谐力,),作用下发生的振动,受迫力,：振动系统所受的周期性外力,(2),案例分析,设所受周期性外力为 ，阻尼振动的阻力为,A,动力学方程,令,B,动力学方程的解,讨论：受迫振动特征,振动力学,受迫振动,振动力学,受迫振动,I,受迫振动,=,减幅振动,+,稳定振动,II,强迫力频率对稳定振动振幅的影响,稳定态运动参量,当,当,当,III,位移共振,振动力学,受迫振动,发生位移共振时，强迫力频率始终小于系统固有振动频率,弱阻尼情况下，受迫力频率近似等于系统固有频率,无阻尼位移共振时，,A,IV,速度共振,振动力学,受迫振动,发生速度共振条件：强迫力频率等于系统固有振动频率,弱阻尼情形，位移共振频率近似等于速度共振频率或系统固有频率,无阻尼速度共振时，,v,0,V,稳定受迫振动情形的能量特征,稳定受迫情形下，时刻,t,系统机械能,稳定受迫情形下，系统一个周期的,平均,机械能,不同时刻,t,，系统机械能,不守恒,系统平均机械能,守恒,，表明系统能量阻尼损耗与受迫力输入能量相等,VI,受迫力输入能量与系统阻尼损耗能量的相位关系,振动力学,受迫振动,稳定受迫振动情形下，一个周期内受迫力输入能量,于是,在稳定受迫振动下，受迫力输入能量相位,超前,于阻尼损耗能量相位,稳定受迫振动情形下，一个周期内阻尼损耗能量,稳定受迫振动情形下，一个周期内系统平均能量守恒,振动力学,振动的合成与分解,4.4,振动的合成与分解,4.4.1,振动的分解,例,4.4.1,设,f,(,t,),是以,2,为周期的非简谐振动，其波形函数为,用傅里叶级数方法，将该非简谐振动分解为若干简谐振动的叠加,解,：依,傅里叶级数定理,，,f,(,t,),是奇函数，故有,a,n,=0(,n,=0,1,2),，可得,(1),周期性振动分解,f,(,t,),的傅里叶级数为,振动力学,振动的合成与分解,任何周期性非简谐振动都可以视,为若干简谐振动的叠加,周期性非简谐振动频谱为,分离,频谱,周期性振动依,傅里叶级数定理,分解,振动力学,振动的合成与分解,(2),非周期性振动分解,例,4.4.2,计算由,2,N,(,N,为整数,),个正弦波组成的有限正弦波列的傅里叶积分,解,：有限正弦波列函数可表示为,依,傅里叶积分公式,可得,F,(,),在,0,处有一个极大值，,0,称为,中心频率,任何非周期性非简谐振动都可以视为若干简谐振动的叠加,非周期性非简谐振动频谱为,连续,频谱,周期性振动依,傅里叶积分定理,分解,振动力学,振动的合成与分解,4.4.2,振动的合成,(1),同偏振方向、同频率的简谐振动合成,合振动仍为简谐振动；合振幅与分振动振幅及其初相有关,当,时，,当,时，,振动力学,振动的合成与分解,例,4.4.3,n,个同偏振、同振幅、同频率，相位依次相差,的简谐振动,求,它们的合振动,解,n,个简谐振动的振动方程可写为,如图几何法表示,振动力学,振动的合成与分解,当各分振动构成一个封闭的多边形时，合振幅为零,课后思考题,：定量计算光栅干涉效应在屏幕上明、暗条纹的光强分布,提示,：经光栅衍射后电磁波方程,光强,(2),同偏振方向、不同频率的简谐振动合成,振动力学,振动的合成与分解,讨论,A,振幅、相位和角频率是时间函数，合振动不再是一个简谐振动,B,当,A,1,=,A,2,，,=,2,-,1,=0,时,振动力学,振动的合成与分解,C,当,A,1,=,A,2,，,=,2,-,1,=0,，且,拍频,：单位时间内振幅,加强,、,减弱,的次数,振动力学,振动的合成与分解,(3),偏振方向相互垂直的简谐振动合成,