1.1.2余弦定理.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,余弦定理,的证明,作者：刘成,单位：丹江口市第一中学,已知三角形两边和一条边所对的角解三角形；,正弦定理在解三角形中有两个应用，你知道吗？,已知三角形两角和一条边,解三角形；,温故,甲乙两位同学均住在园博园,C,的附近，已知甲同学家在距离园博园入口,300,米的,A,处，乙同学家距离园博园入口,400,米的,B,处,，角,C,为,60,。某天，甲乙两位同学相约一同参观园博园，请问，你能求出甲乙两同学家相距多少吗？若已知,AB,，,AC,BC,的距离，你能算出角,A,的大小吗？,已知三角形两边和它们的夹角解三角形；,另外两类解三角形问题,已知三角形三边解三角形；,知新,向量法证明,：,用正弦定理试求，发现因,A,、,B,均未知，所以较难求边,c.,由于涉及边长，从而可以考虑用向量来研究这个问题,.,如图，在,ABC,中，设,BC=a,AC=b,AB=c.,已知,a,b,和,C,，求边,c.,提示,:,余弦定理证明,几何法证明,：,当,ABC,为锐角三角形时,，如下所示：,作,CDAB,，,D,为垂足，则,CD=bsinA,，,DB=c-bcosA,，则,a,2,=DB,2,+CD,2,=(c-bcosA),2,+(bsinA),2,=b,2,+c,2,-2bccosA,，其余两个式子同理可证；,作,CDAB,，交,BA,的延长线于点,D,，则,CD=bsinA,，,DB=bcos(-A)+c=c-bcosA,，,则,a,2,=DB,2,+CD,2,=(c-bcosA),2,+(bsinA),2,=b,2,+c,2,-2bccosA,，其余两个式子同理可证；,当,ABC,为直角三角形时,，利用勾股定理即可证明,.,当,ABC,为钝角三角形时,，如图：,三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,余弦定理,用途：,由余弦定理可知，已知三角形两边及其夹角可以求出三角形的第三条边,.,余弦定理的推论：,用途,:,通过,上述推论可知,由三角形的三条边可以求出三角形任意一角的余弦值,.,你能推出,cosA,，,cosB,，,cosC,吗？,思考：,勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，你如何理解这两个定理之间的关系？,由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例,.,提示,:,余弦定理与勾股定理的关系,三、例题剖析,【例,1,】在,ABC,中，已知,b=2,，,c=3,，,A=60,，则,a=(,).,【例2】已知在ABC中，a=2，b=4，c=5，则cos A=_.,【例3】在ABC中,已知a=,b=,A=45,求C及S,ABC,.,（两种方法）,课堂练习,在ABC中:,(1)已知c=8,b=3,B=60,求a;,(2)已知a=9,b=10,c=15，求cosB;,(3)已知a=33,c=2,B=150,求b;,；,几何法,向量法,；,一、,余弦定理的两种证明方法,总结,二、,余弦定理在解三角形中的两个应用,已知三角形两边和它们的的夹角解三角形,；,三、余弦定理与勾股定理的关系,余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的,特例,已知三角形三条边,解三角形；,