概率论第三章部分习题解答.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,定义1,：,设,X,是一离散型随机变量，其分布列为：,则随机变量,X,的,数学期望,为:,设,X,是一连续型随机变量，其,分布密度为,则随机变量,X,的,数学期望,为,一、一维随机变量的数学期望,定义2,：,第三章 随机变量的数字特征,（,一,）,基本内容,1,（1）设二维离散随机变量(,X,Y,),的联合概率函数为,p,(,x,i,y,j,)，,则,随机变量,X,及,Y,的数学期望分别定义如下：,（2）设二维连续随机变量(,X,Y,),的联合概率密度为,f,(,x,y,)，,则,随机变量,X,及,Y,的数学期望分别定义如下：,即：,假定级数是绝对收敛的.,假定积分是绝对收敛的.,二、二维随机变量的数学期望,即：,2,则定义随机变量函数,的,数学期望,为：,（1）设,离散型随机变量,X,的概率分布为：,三,、一维随机变量函数的数学期望,机变量函数,的数学期望为：,则定义随,（2）若,X,为连续型随机变量,，,其概率密度为,3,（1）设二维离散随机变量(,X,Y,),的联合概率函数为,p,(,x,i,y,j,)，,则,随机变量函数,g,(,X,Y,),的数学期望如下：,（2）设二维连续随机变量(,X,Y,),的联合概率密度为,f,(,x,y,)，,则,随机变量,g,(,X,Y,),的数学期望如下：,假定这个级数是绝对收敛的.,假定这个积分是绝对收敛的.,四、二维随机变量的函数的数学期望,4,五、关于数学期望的定理,定理1,推论,（1）,（2）,（3）,定理2,推论：,定理3,若,X,、,Y,独立，则有,：,推论,5,定义,X,的,标准差,：,定义,X,的,方差：,若,X,为,离散型随机变量,，,则有,若,X,为,连续型随机变量,，,则有,方差的计算公式:,定理1,推论：,有关方差的定理：,六、方差与标准差,6,定理2：,若,X,与,Y,独立，,推论：,七、某些常用分布的数学期望及方差,二项分布：,0-1分布：,几何分布:,均匀分布:,指数分布:,Poisson,分布,7,二维随机变量的方差,：,连续型随机变量,离散型随机变量,8,随机变量,X,的,k,阶原点矩：,定义1：,定义2：,X,的,k,阶中心矩,：,对于离散随机变量：,对于连续随机变量：,对于离散随机变量：,对于连续随机变量：,其中,k,为正整数。特别的，,特别的，,八、原点矩与中心矩,9,离散型随机变量：,连续型随机变量：,1、,X,与,Y,的协方差（或,相关矩,）：,定义,注,九、协方差与相关系数,定理1,定理2,若,X,与,Y,独立，则：,注,设,X,与,Y,是任两个随机变量，,逆命题不成立。,10,2、,X,与,Y,的相关系数,定义,定理3,且,定理4,定理5,如果,X,与,Y,独立，则,反之不成立。,即:,X,与,Y,相互,独立,X,与,Y,不相关,11,十,、切比雪夫不等式与大数定律,1,、切比雪夫不等式,2,、切比雪夫大数定律,4,、伯努利大数定律,3,、辛钦大数定律,若方差一致有上界,独立同分布,在独立试验序列中，事件,A,的频率按概率收敛于事件,A,的概率,.,12,解,设随机变量,X,表示在取得合格品之前已取得的废品数,则,1,一批零件有9个合格品与3个废品，安装机器时从中任取一,个。如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已,取出的废品数的数学期望、方差与标准差。,（二）作业题略解,13,所以,X,的概率分布列为,14,的次品率为,p,，,求每批产品抽查样品的平均数。,都是合格，则也停止检查而认为这批产品合格。设这批产品,立即停止检查而认为这批产品不合格；若连续检查5个产品,2,对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。,若,发现次品，则,设随机变量,X,表示,每批产品抽查的样品数,，则:,X,的概率分布表如下：,解,15,3,设随机变量,X,的概率密度为：,求数学期望,EX,与方差,DX,.,令,解,则,16,4,设随机变量,X,的概率密度为:,求数学期望,E,X,与方差,DX,.,解,17,5,设随机变量,X,的概率密度为：,求系数,A,及,E,X,与,D X,.,令,解,18,19,6,方向盘有整分度 ，如果计算角度时是把零头数化为最,解,与标准差。,靠近的整分度计算的，求测量方位角时误差的数学期望,测量方位角时的误差,X,20,7,设随机变量,X,服从二项分布,B,(3,0.4),求下列随机变量的数,学期,望,与方差:,解,21,22,8,X,的密度函数为：,解,23,9,对球的直径做近似测量，设其值均匀分布在区间 内,求球体积的数学期望.,解,设随机变量,X,，,Y,分别表示球的直径和体积，,则,而,10,证明：若随机变量,X,与,Y,独立，则,证,右=,24,=左,X,与,Y,独立，,X,2,与,Y,2,独立，,右,也可从左往右证.,解,11,独立，且服从同一分布，数学期望,为,随机变量,学期望及方差.,方差为,求它们的算术平均值,的数,25,12,N,个人同乘一辆长途汽车，沿途有,n,个车站，每到一个车站,时，如果没有人下车，则不停车.设每个人在任一站下车是,等可能的,求停车次数的数学期望.,解,1,且服从分布,26,解,2,设,Y,表示停车的次数,服从分布二项分布,B,(,n,p,),Y,则,27,解,13,计算二项分布,的三阶原点距，三阶中心距.,28,29,14,二维随机变量（,X,Y,）,在区域,R,：,（2）数学期望,E,(,X,),及,E,(,Y,)、,方差,D,(,X,),及,D,(,Y,)；,及相关系数,解,（1）设（,X,Y,）,的概率密度,其中,C,为常数.,则,服从均匀分布，求：（1）的概率密度；,（3）相关矩,上,30,（2）,（3）,31,15,解,32,16,利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望的差大于,三,倍标准差的概率.,解,33,17,为了确定事件,A,的概率,进行了10000次重复独立试验.,利用切比雪夫不等式估计：用事件,A,在10000次试验中发生,的频率作为事件,A,的概率近似值时,误差小于0.01的概率.,解,设事件,A,在每次试验中发生的概率为,p,，,在这10000次试验,中发生了,X,次,则,因此，所求事件的概率为,34,设,仪器误差的数学期望及方差分别是：,18,利用某仪器测量已知量,a,时，所发生的随机误差的概率密,度在独立试验过程中保持不变。设 是各,次测量的结果，可否取,作为仪器误差的方,差的近似值？,解,35,若系统没有误差，即,则,据切比雪夫定理的推论，得,即,36,若次品率不大于0.01，,则任取200件，发现6件次品的概率,应不大于,利用泊松定理，,取,=2000.01=2,此概率很小，,据小概率事件的实际不可能性原理，,不能相信该工厂的次品率不大于0.01。,解,19,从某工厂的产品中任取200件，检查结果发现其中有6件次,品，能否相信该工厂的次品率不大于0.01。,37,（三）其它习题略解,:,5,19,帕斯克分布,:,设事件,A,在每次实验中发生的概率为,p,，,进,行重复独立实验，直至事件,A,发生,r,次为止，需要进行的,实验总次数的概率分布,:,解,X,表示直到事件,A,发生,r,次需要进行的实验总次数，,表示直到事件,A,发生第,1,次进行的实验次数，,表示事件,A,发生第,i,-1,次后到第,i,次发生时进行的实验次数，,则,:,且,相互独立,服从几何分布,G,(,p,).,求,:X,的期望与方差,.,38,15,过半径为,R,的圆周上任意点作这圆的弦,求这弦的平均长度,.,解,如图示,:,设,T,表示过圆周上定点,O,所作的弦,OA,与,x,轴的夹角,x,L,T,O,2,R,A,则,T,在,上服从均匀分布,设,L,表示所作的弦的长度,则,:,L,=2,R,cos,T,E,(,L,)=,E,(2,R,cos,T,)=,39,22,计算均匀分布,U,(,a,b,),的,k,阶原点矩及,k,阶中心矩,.,解,设随机变量,X,U,(,a,b,),则其概率密度,:,为奇数,为偶数,40,26,设,是任意,n,个随机变量,证明,:,若,相互独立,证明,:,41,27,X,H,(,n,M,N,),设,求,:,E,(,X,),D,(,X,).,解,则,则,n,次抽样共抽到的次品数为：,且,所以：,表示第,i,次抽样时取得的次品数,设,0,1,42,0,1,0,1,43,44,31,证明,:,若不独立的随机变量,满足条件,则对任意的正数 恒有,证明,:,由切比雪夫不等式,对任意的正数 恒有,因概率不能大于,1,(,马尔可夫,),45,补例,1:,设二维随机变量,(,X,Y,),在矩形区域,:,上服从均匀分布,记,求,(1),U,与,V,的联合分布,(2),U,与,V,的相关系数,.,解,:,由题意,(,X,Y,),的联合概率密度,:,1,1,2,y,x,2,y=x,y=x,O,如图示,:,P,(,U,=0,V,=0)=,46,P,(,U,=0,V,=1),P,(,U,=1,V,=0),P,(,U,=1,V,=1),0,1,0,1,所以,(,U,V,),的联合分布,:,47,0,1,0,1,因,U,V,分别服从,“,0-1,”,分布,48,例,2:,设随机变量,U,在区间,-2,2,上服从均匀分布,随机变量,:,求,(1)(,X,Y,),的联合分布,(2)D(,X,+,Y,).,由题意随机变量,U,的概率密度,:,解,:,P,(,X,=-1,Y,=-1),P,(,X,=-1,Y,=1),=P,(,U,-1),=P,(,U,-1,U,1)=0,P,(,X,=1,Y,=-1),=P,(,U,-1,U,1)=,P,(,-,1,-1,U,1)=,P,(,U,1,),=P,(,U,-1,U,1,),49,-1,1,-1,1,所以,(,X,Y,),的联合分布,:,Z=X+Y,的概率分布,:,0,2,P,(,Z,=,z,),-2,50,例,3:,解,:(1),设,A,B,为随机事件,且,P,(,A,)=,P,(,B,/,A,)=,P,(,A,/,B,)=,发生,不发生,发生,不发生,令,求,:,(1)(,X,Y,),的联合分布,;,(2),X,与,Y,的相关系数,;,(3),的概率分布,.,P,(,X,=0,Y,=0),P,(,X,=0,Y,=1),P,(,X,=1,Y,=0),P,(,X,=1,Y,=1),51,0,1,0,1,0,P,(,X,=),1,0,P,(,Y,=),1,(,X,Y,),的联合分布,:,X,的边缘分布,:,Y,的边缘分布,:,2),因,X,Y,分别服从,“,0-1,”,分布,52,3),随机变量 的可能取值,:0,1,2.,1,2,P,(,Z,=),0,53,例,4:,某流水生产线上每个产品不合格的概率为,:,p,(0,p,1),各产品合格与否相互独立,当出现一个不合格产品时即停机检修,.,设开机后第一次停机时已生产的产品个数为,X,求,X,的数学期望,E,(,X,),与方差,D,(,X,).,解,:,由题意,随机变量,X,的概率函数,:,54,例,5:,已知甲,乙两个箱子装有同种产品,其中甲箱中装有,3,件合格品,3,件次品,乙箱中仅装有,3,件合格品,从甲箱中任取,3,件产品装入,乙箱中后,求,:,(1),乙箱中次品件数,X,的数学期望,;,(2),从乙箱中任取,1,件产品是次品的概率,.,解,:(1),X,的一切可能取值,:,x=,0,1,2,3.,X,的概率函数,:,0,2,P,(,X,=,x,),1,3,55,(2),设 表示从甲箱任取的产品中有,i,件次品,(,i,=0,1,2,3),A,表示从乙箱中任取,1,件产品是次品,.,则,:,56,