高三数学-第二篇-第八节-实际问题的函数建模课件-理-北师大版.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第八节实际问题的函数建模,考纲点击,1.,了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义,.,2.,了解函数模型,(,如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型,),的广泛应用,.,热点提示,1.,考查数学建模能力以及分析问题、解决问题的能力；几种增长型函数模型的应用可能会成为,2011,年高考的又一生长点,.,2.,多以解答题的形式出现，属中、高档题，偶尔也会在选择题、填空题中考查,.,1.,几类函数模型及其增长差异,(1),几类函数模型,(2),三种增长型函数之间增长速度的比较,指数函数,y,a,x,(a1),与幂函数,y,x,n,(n0),在区间,(0,，,),上，无论,n,比,a,大多少，尽管在,x,的一定范围内,a,x,会小于,x,n,，但由于,a,x,的增长,x,n,的增长，因而总存在一个,x,0,，当,xx,0,时有,.,对数函数,y,log,a,x(a1),与幂函数,y,x,n,(n0),对数函数,y,log,a,x(a1),的增长速度，不论,a,与,n,值的大小如何总会,y,x,n,的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数,x,0,，使,xx,0,时有,.,由可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此没能在,(0,),上，总会存在一个,x,0,，使,xx,0,时有,.,快于,a,x,x,n,慢于,log,a,xx,n,log,a,x,2.,解函数应用问题的步骤,(,四步八字,),(1),：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；,(2),：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；,(3),：求解数学模型，得出数学结论；,(4),：将数学问题还原为实际问题的意义,以上过程用框图表示如下：,审题,建模,求模,还原,1.,下列函数中，随,x,的增大而增大速度最快的是,(,),A.y,f(1,100)e,x,B,y,100ln x,C.y,x,100,D,y,100,2,x,【,答案,】,A,【,解析,】,在,(0,，,),上，总存在一个,x,0,，使,xx,0,时，有,a,x,x,n,log,a,x.,排除,B,、,C,，,又,e2,，,的增长速度大于,100,2,x,的增长速度,2.,在一定范围内，某种产品的购买量,y t,与单价,x,元之间满足一次函数关系，如果购买,1 000 t,，每吨为,800,元；购买,2 000 t,，每吨为,700,元；一客户购买,400 t,，单价应该是,(,),A.820,元,B,840,元,C.860,元,D,880,元,【,解析,】,依题意，可设,y,与,x,的函数关系式为,y,kx,b,，,由,x,800,，,y,1 000,及,x,700,，,y,2 000,，,可得,k,10,，,b,9 000,，,即,y,10 x,9 000,，将,y,400,代入得,x,860.,【,答案,】,C,3.,某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：,如一次购物不超过,200,元，不予以折扣；,如一次购物超过,200,元，但不超过,500,元，按标价予以九折优惠；,如一次购物超过,500,元的，其中,500,元给予九折优惠，超过,500,元的给予八五折优惠；某人两次去购物，分别付款,176,元和,432,元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款,(,),A.570.3,元,B,582.6,元,C.590.5,元,D,600,元,【,答案,】,B,【,解析,】,由题意得付款,432,元时,实际标价为,432,480,元时，如果一次购买标价,176,480,656(,元,),的商品应付款,500,0.9,156,0.85,582.6(,元,),4.,某种商品降价,10%,后，欲恢复原价，则应提价,_,【,答案,】,11.11%,【,解析,】,设商品原价为,a,，应提价为,x,，,则有,a(1,10%)(1,x),a,，,5.,某工厂生产其种产品固定成本为,2 000,万元，并且每生产一单位产品，成本增加,10,万元又知总收入,K,是单位产品数,Q,的函数，,K(Q),40Q,Q,2,，则总利润,L(Q),的最大值是,_,【,答案,】,2 500,万元,【,解析,】,总利润,L(Q),40Q,Q,2,10Q,2 000,(Q,300),2,2 500.,故当,Q,300,时，总利润最大值为,2 500,万元,一次函数与二次函数模型,某人要做一批地砖，每块地砖,(,如图,1,所示,),是边长为,0.4,米的正方形,ABCD,，点,E,、,F,分别在边,BC,和,CD,上，,CFE,、,ABE,和四边形,AEFD,均由单一材料制成，制成,CFE,、,ABE,和四边形,AEFD,的三种材料的每平方米价格之比依次为,321.,若将此种地砖按图,2,所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形,EFGH.,(1),求证：四边形,EFGH,是正方形；,(2)E,、,F,在什么位置时，做这批地砖所需的材料费用最省？,【,思路点拨,】,(1),需证明其四边相等，且四个内角均为,90,；,(2),先列出函数表达式，由函数模型求出最值,【,自主探究,】,(1),图,2,是由四块图,1,所示地砖组成，由图,1,依次逆时针旋转,90,，,180,，,270,后得到，,EF,FG,GH,HE,，,CFE,为等腰直角三角形，,四边形,EFGH,是正方形,(2),设,CE,x,，则,BE,0.4,x,，,每块地砖的费用为,W,，,制成,CFE,、,ABE,和四边形,AEFD,三种材料的每平方米价格依次为,3a,、,2a,、,a(,元,),，,W,x,2,3a,0.4,(0.4,x),2a,0.16,x,2,0.4,(0.4,x)a,a(x,2,0.2x,0.24),a(x,0.1),2,0.23(0 x0,，当,x,0.1,时，,W,有最小值，即总费用最省,当,CE,CF,0.1,米时，总费用最省,【,方法点评,】,1.,在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升,(,自变量的系数大于,0),或直线下降,(,自变量的系数小于,0),；,2.,有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等一般利用函数图象的开口方向和对称轴与单调性解决，但一定要注意函数的定义域，否则极易出错,1.,某市现有从事第二产业人员,100,万人，平均每人每年创造产值,a,万元,(a,为正常数,),，现在决定从中分流,x,万人去加强第三产业分流后，继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加,2x%(0 x0,，,x0,，可解得,0 x50.,设该市第二、三产业的总产值增加,f(x),万元，,则,f(x),(100,x),a,(1,2x%),1.2ax,100a,0.02a(x,2,110 x),0.02a(x,55),2,60.5a,，,x(0,50,f(x),在,(0,50,上单调递增，,当,x,50,时，,f(x)max,60a,，,因此在保证第二产业的产值不减少的情况下，分流出,50,万人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多,分段函数模型,北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为,5,元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费,2,元，预计这种纪念章以每枚,20,元的价格销售时该店一年可销售,2 000,枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚,20,元的基础上每减少一元则增加销售,400,枚，而每增加一元则减少销售,100,枚，现设每枚纪念章的销售价格为,x,元,(1),写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润,y(,元,),与每枚纪念章的销售价格,x,的函数关系式,(,并写出这个函数的定义域,),(2),当每枚纪念章销售价格,x,为多少元时，该特许专营店一年内利润,y(,元,),最大，并求出这个最大值,【,思路点拨,】,(1),利润,(,售价进价管理费,),(,销售的纪念章数,),，注意价格取值是分段的；,(2),分段函数求最值时，要分段求，然后比较大小,【,自主探究,】,(1),依题意,此函数的定义域为,(0,40),当,0 x20,，则当,x,16,时，,ymax,32 400(,元,),当,20 x4,时，,y,4,1.8,3x,1.8,3(5x,4),20.4x,4.8.,当乙的用水量超过,4,吨，即,3x4,时，,y,2,4,1.8,3,(3x,4),(5x,4),24x,9.6.,指数函数模型,某城市现有人口总数为,100,万人，如果年自然增长率为,1.2%,，试解答下面的问题：,(1),写出该城市人口总数,y(,万人,),与年份,x(,年,),的函数关系式；,(2),计算,10,年以后该城市人口总数,(,精确到,0.1,万人,),；,(3),计算大约多少年以后该城市人口将达到,120,万人,(,精确到,1,年,),(1.012,10,1.127,1.012,15,1.196,1.012,16,1.210),【,思路点拨,】,【,自主探究,】,(1)1,年后该城市人口总数为,y,100,100,1.2%,100,(1,1.2%),，,2,年后该城市人口总数为,y,100,(1,1.2%),100,(1,1.2%),1.2%,100,(1,1.2%),2,，,3,年后该城市人口总数为,y,100,(1,1.2%),2,100,(1,1.2%),2,1.2%,100,(1,1.2%),2,(1,1.2%),100,(1,1.2%),3,.,x,年后该城市人口总数为,y,100,(1,1.2%),x,(x,N,*,),(2)10,年后人口总数为,100,(1,1.2%),10,112.7(,万,),(3),设,x,年后该城市人口将达到,120,万人，,即,100,(1,1.2%),x,120,，,x,log,1.012,1.2016(,年,),因此，大约,16,年以后该城市人口将达到,120,万人,【,方法点评,】,指数函数模型的应用是高考的一个主要内容，常与增长率相结合进行考查在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型来表示通常可表示为,y,a(1,p),x,(,其中,a,为原来的基础数，,p,为增长率，,x,为时间,),的形式,3.,对于五年可成材的树木，在此期间的年生长率为,18%,，以后的年生长率为,10%,，树林成材后，既可以出售树木，重栽新树木；也可以让其继续生长问哪一种方案可获得较大的木材量？,(,只需考虑十年的情形,),【,解析,】,设新树苗的木材量为,Q,，则十年后有两种结果：连续生长十年，,木材量,N,Q(1,18%),5,(1,10%),5,；,生长五年后重栽，木材量,M,2Q(1,18%),5,，,则,因为,(1,10%),5,1.611,，即,MN.,因此，生长五年后重栽可获得较大的木材量,1.(2009,年湖北高考,),在,“,家电下乡,”,活动中，某厂要将,100,台洗衣机运往邻近的乡镇现有,4,辆甲型货车和,8,辆乙型货车可供使用每辆甲型货车运输费用,400,元，可装洗衣机,20,台；每辆乙型货车运输费用,300,元，可装洗衣机,10,台若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为,(,),A.2 000,元,B,2 200,元,C.2 400,元,D,2 800,元,【,解析,】,设需使用甲型货车,x,辆，乙型货车,y,辆，运输费用,z,元，,根据题意，得线性约束条件,求线性目标函数,z,400 x,300y,的最小值,解得当 时,z,min,2 200,，故选,B.,【,答案,】,B,2.(2009,年上海高考,),可用函数,f(x),描述学习某学科知识的掌握程度，其中,x,表示某学科知识的学习次数,(x,N,*,),，,f(x),表示对该学科知识的掌握程度，正实数,a,与学科知识有关,(1),证明：当,x7,时，掌握程度的增长量,f(x,1),f(x),总是下降；,(2),根据经验，学科甲、乙、丙对应的,a,的取值区间分别为,(115,121,，,(121,127,，,(127,133,当学习某学科知识,6,次时，掌握程度是,85%,，请确定相应的学科,【,解析,】,(1),证明：当,x7,时，,f(x,1),f(x),而当,x7,时，函数,y,(x,3)(x,4),单调递增，且,(x,3)(x,4)0,，故,f(x,1),f(x),单调递减,当,x7,，掌握程度的增长量,f(x,1),f(x),总是下降,(2),由题意可知,0.1,15ln,0.85,，,整理得,解得,a,6,20.50,6,123.0,，,123.0(121,127,由此可知，该学科是乙学科,3.(2009,年湖南高考,),某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距,m,米余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为,256,万元；距离为,x,米的相邻两墩之间的桥面工程费用为,(2,)x,万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素记余下工程的费用为,y,万元,(1),试写出,y,关于,x,的函数关系式；,(2),当,m,640,米时，需新建多少个桥墩才能使,y,最小？,所以,【,解析,】,(1),设需新建,n,个桥墩，则,(n,1)x,m,，即,n,当,0 x64,时，,f(x)0,，,f(x),在区间,(0,64),内为减函数；,当,64x0,，,f(x),在区间,(64,640),内为增函数所以,f(x),在,x,64,处取得最小值此时,n,1,1,9.,故需新建,9,个桥墩才能使,y,最小,解应用题，首先应通过审题，分析原型结构，深刻认识问题的实际背景，确定主要矛盾，提出必要的假设，将应用问题转化为数学问题求解；然后，经过检验，求出应用问题的解从近几年高考应用题来看，顺利解答一个应用问题重点要过三关，也就是要从三个方面来具体培养分析问题和解决问题的能力：,(1),事理关：通过阅读，知道讲的是什么，培养独立获取知识的能力,(2),文理关：需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表示数学关系,(3),数理关：在构建数学模型的过程中，要求有对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化构建了数学模型后，要正确解出数学问题的答案，需要扎实的基础知识和较强的数理能力,课时作业,点击进入链接,