《数学物理方法与计算机仿真》习题解答.pdf

第一篇复变函数论第一篇、复变函数论与积分变换第一章 复变函数习题及解答1.1写出下列复数的实部、虚 式和指数形式.(其中凡凡(1)1 yj3i；(2):部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形 b实常数)2(co s is in)；(3)1-co s a+is ina；3 3(4)*；(5)；(6)i4答案(1)实部一1；虚部-6,模为2；辐角为 +2kn,k=0,l,2 34兀 4兀 i/角形式为2(cos-+isin-)；指数形式为2e3.略为 2cosg+ising,2eT(3)略为2sin(-)eiarctanctan(a/2)2 小(4)略为 e;e(cosl+isinl)(5)略为：cos(7?sin O)+i sin(7?sin 9)(6)该复数取两个值 AK_ _ QV2+V2(cos 9+i sin 6)=，2+后/,0=arctan(l+V2);略为 _/话，2 夜(cos 0+i shf=，2 血*,6=兀+arctan(l-V2);1.2 计算下列置7a(1).(-l+iVfJ；(2).(-l+i)3；1.3鼻相案.-5 12+i5 12vL(2).26e 31.3 计算下列复数(1)+访；(2)圻；答案(1)a/J/+/+a+i J yj Q2+Z?2 a(2)/(it/6+2n出3)1.4 已知x为实数，求复数J1+2&J/-1的实部和虚部.-1-，；主辐角为%原题即为代数形式；三k(左=0,1,2)；第一篇复变函数论【解】令 除冗庠I=p+iq,(p,q e R),即p,q为实数域(Real).平方得到 l+2x ij、21=(/)+2顼,根据复数相等，所以P-Q=即实部为土羽虚部为J、2_1说明已考虑根式函数是两个值，即为土值.有卜?L5如果|z|=1,试证明对于任何复常数。力有|丝曰|=.”bz+a【证明】因为|z|=L，zN=l/.z=l/N,所以 4 i=i(-+?!i=i(-?i=i-i=i1=ibz+a(bz+a)z bzz+z b+az1.6 如果复数+访是实系数葩穆悭&)=。2+遥1+JZ+*=0的根，则Q-访一定也是该方程的根证 因为。0,%,飞&均为实数，故。0=劭，%=%，c 1n=an 且(?)=(z,故由共辄复数性质有：南=。().则由已知尸(+访)三0.两端取共辄得P(a+访)=P(a+ib)=0=0即尸(访)三0.故4 访也是尸(z)=0之根.vF注 此题仅通过共舸的运算的简单性质及实数的共辄为其本身即得证.此结论说明实系数多 项式的复零点是成对出现的.这一点在代数学中早已被大家认识.特别地，奇次实系数多 项式至少有一个实零点.1.7 证明：|g+z?+1 zZ2=2(|a+1 z212)，并说明其几何意义.-2第一篇复变函数论1.8 若(l+i)=(l/),试求的值.解 因为(1+，)=2Y co s +is in)=2Y co s等+is in等)(1-i)=2*(co s f-/s in f)n=2 号(co s 詈-i s in 詈)所以s in詈=s in等 即为s in等=0所以 等=一肛孔=4左，(上=0,l,2,)1.9 将下列复数表为sine,cos。的事的形式(1)co s 59；(2)sin56较安(1)cos*-10cos3esin2e+5cosesin4e口木(2)5 cos4 sin-10 cos2 0 sin3 0+sin5 0l.io 证明：如果1/1/是1的几次方根中的一个复数根，但是wwl不是主根，则必有1+I/I/+W2+-+wnl=0【证明】根据题意则Ct)n=1G w 11+G+CD+CfJ+,+(t)n 1-1 COa1.11 对于复数%,从，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式:k=lk=ll ZAI2(Zl HAI)成立。三角不等式知【证明】对任意n4%片区再由采于髯舞的柯西不等式得应凤上(1&H A I)2-sin|2sme2sin 6+sin 2。+sin 3。H-卜 sin nO=cos cos(+：)e2sme 2成立.-3第一篇复变函数论1.13 下列不等式在复数平面上表示怎样的点集？1)0 Re(z)1；2)2|z-z0|3；3)(pG arg z ；4)0Im(z)0且 arct any=x+lx 0这样的点为Z平面上从点Zo=i出发（但不含Zo点）与实轴倾角为四的射线.此射线所 4形成的点既非洲集，也非闭集.=(5-|z+2|)2=25+|z+2|2-10|z+2|即|z-2|2-|z+2|2-25=10|z+2|由模的定义得(8x+25)2=100|z+2|2=100(x2+4x+4)+100y2化简得-4第一篇复变函数论5 3这是一椭圆，长半轴为一，短半轴为一，中心在原点，它是有界闭集（全部为边界点）.2 21.15描述下列不等式所确定的点集，并指出是区域还是闭区域，有界还是无界，单连通还 是多（或复）连通.(1)2|z-i|1z-2(5)|z-l|l解(1)是以i为圆心、(2)Re(iz)2 赋(4)-1 arg(z)-l+7i|z-l|+|z+2|5(8)zz+iz-iz 0修2;A、无界单连通闭区域.的距离大，因此，它是左半平面z 0 x H+y -I 3j（6）此不等是焦点在Z=（7）这是半支双曲线：一是无界多连通区域9=1和Z=-2初，长半轴为5/2的椭圆内部，为有界单连通闭区域）.4（1、4 J?,九1的象.答案(1)|/1/|=5|团=2=:，为圆周、1 1 1-i 1-1 士小(2)W=-=-,W=,V=5 U=V 直线z x(l+i)2x 2x 2x(3)先看直线x=l的象，WW2+u21+iy 1+y2 1+/而z=0的象1/1/=00在圆的外部，因此X 1的象是圆的内部即为2内长L17讨论下列函数在指定点的极限存在性，若存在求蓟兼盾并判断在该点的连续性.1)/(z)=2x+iy 2,Zo=2i，Zo=0解 1)/(z)=M(x,y)+iv(x,y),R、0s，Mx/),，(与,Vo)=(0,2),z z则 y)=2xf l im u.息口南 心时，)l im 2x=0(%,y)f(o,2)l im y2=4(0,2):l im/(z)=0+4i=4iZfZoz0)=w(x09y0)+iv(x09y0)=4i二.l im/(z)=/(zo)=4iZf Zo即/(z)=2x+iy2在点Zo=2i处极限存在且连续.2)设=x+iy,则-6第一篇复变函数论1Z Z/（Z）2i1 4ixy=2 xy2i x2+y2 x2+y2w(x,y)+iv(x,y)显然，武兀”三0在（0,0）点极限存在且连续.但注意咻。J不存在，事实上，令二息，有l im 2%fo y=kx0l im%o y=kx02k 2k同左值有不同结l im(o,o)不存在.2 2x+y2犬y2 2l+Y 1+左 2对不I曾於、故知f-1 7所以，l im 不存在.由连续与极限的关系知/（z）在z=0处极限不存在、不连续.术注 这两个问题均通过极限存在的充魔件舒题转化为两个二元实函数在对应点z2iz Z)1（/，）0）处极限存在性的判断问题，这是瞬用而方法在问题1）中，又根据连徐的另一的结论；在2）中,等价定义l im/（z）=/（z。），立制得鼠在Zo=2i处不仅极限存在，而且在该点连续 Z-Zoz）实际上是一复变量实值函数，即y（x,y）三0,所以由充要条件只 工处 需判断一个二元实函数（x,y）芝y2 2x+y在（0,0）点的极限存在性.由该二元实函数在（0,0）点极限不存在即得/（z）在z=0处极限的不存在性.1.18 骞醇在点zo=xo+iy。点连续，证明1的模在该点连续.计算机仿真编程实践（说明：读者可参考第五部分计算机仿真编程实践）1.19 使用Mat l ab,或Mat hcad,或Mat hmat ic计算机仿真求解下列复数的实部、虚部;共甄复数;模与辐角；-7第一篇复变函数论i+微；(2)(3)(2+31)(3-41);(4)i+f-4i171+1 2+31 21【解】计算机仿真程序a=-i+3i/(1+i)1/(2+3i)(2+3i)*(3-4i)/(2i)i+iA7-4*iA17 ral(a)imag(a)conj(a)abs(a)angle(a)(4)(-1)61(l+i)6；(3)1 电0的根，其中/I 2 2且取整数.试用计算机仿真编程验1.20 计算机仿真计算：1-i(1)(3+i)x-;1+31【解】计算机仿真程序(3+i)*(1-i)/(l+3i)(l+i)A6d-i)Ad/3)(-1)A d/6)1.21 计算机仿真求解方程 z3+8=0【解】计算机仿真程序s=solv。zA3+8 I z)1.22 计算机仿真编程实践：若G(/=1,2,，。对应为证下列数学恒等式 y=o,成立.匕-z%)【证明】计算阻真软E程序如下N=100;Sum=0r：forzxp(i*2*k*pi/N);ndfor k=l:NMultiplx=1;for m=l:N if m=kx*(z(k)-z(m)-8第一篇复变函数论ndndSum=Sum+l.O/Multiplxnd1.23 用计算机编程实践方法(Mat l ab,Mat hcad,Mat hmat ic,C/C+)实现:(1)绘出单位圆及其内接正十七边形；(2)计算机编程求出边长；(3)能否对多变形进行推广，得出相应的计算机仿真计算方法.【解】计算机仿真程序%xrcis 1.23(1)%n=input(plas ntr sids n=*)n=17;r=l;xl=-r:0.01:rq=l-xl.A2yl=sqrt(q);a=2*r*sin(pi/n)N=0:1:nx=a/(2*sin(pi/n)*cos(2*pi*N/n)R!y=a/(2*sin(pi/n)*sin(2*pi*N/n)plot(xl,yl,M,xl,-yl,m,x,y);tit 1(，单位圆内接正十七边形4k A堂8%xrcis 1.23(公1 4P=0.5*(sqrt(17)-1);q=-0.5*(sqrt(17)+l);r=0.Op+sqrt(pA2+4);s=0.5*(q+sqrt(qA2+4);x=0，*(r+sqrt(rA2-4*s);a=sqrt(2-x)-9第一篇复变函数论1.24计算机仿真编程验证对复平面任意两个以上的不重合的有限远点6总9%即保证分母不为零），恒等式N 1y_i_,Nm=l mk注意式中自然数N 32,而加，k.（提示：利用随机函数产生【解】计算机仿真程序般酋拉成立呢？n=2*round(10 0 0*工and11,1)+2整数.,从而验证恒等式是否成立）%n=input(plas，七 su=l;sum=0;R=0;Q=0；洸产再&。und(1000*randn(1A 1);N2(j)=round(10 0 0*randn(1A1);if j=lN(j)=Nl(j)+i*N2(j);Isfor m=l:j-R-1if N1(j)=ral(N(m)&N2(j)=imag(N(m)N1(j)N2(j)10第一篇复变函数论N(m)R=R+1 Q=Q+1 j m b工ak Is nd nd if Q=0N(j-R)=Is Q=0 nd nd nd for k=l:n-R for j=l:n-R if j-=k su=l/(N(k)nd nd sum=sum+su;su=l;nd sums-第二章 解析函数习题及解答2.1摘究下列函数在任一点处的可导性、解析性.1)f(z)=X3-iy3；2)/(z)=z；3)f(z)=z；4)/(z)=ex co s y+iex s iny.解 1)/(z)=x3-iy3=w(x,y)+iv(x,y)故(羽 y)=/,y(x,y)=y3；=3/,|=0,*三 0，?=3y2 ox oy ox oy显见，u,v在全平面有连续一阶偏导，故(兀y),v(x,y)全平面处处可微，又令11第一篇复变函数论du _ dv dx dy dv _ 8u dx dy得 3%2=3y 2,即 x 2+y 2=0o x=y=0即，当且仅当x=y=0时，C-R方程成立.所以/(z)仅在z=o处可导，其他任何 点不可导.由解析的定义可知，/(z)于全平面处处不解析.注 由此结果可见，复变函数可存在孤立的甚至唯一的可导点，2)/(z)=z=x iy，对任一Z。，考虑极限l imAz0/(z0+Az)/(Zo)Ax-iAy11111Aza-。Ax+i Ay1,一1,Ax w 0,AyAx=0,Ay w 0即对任一 Zo,上述极限不存在，由可导定义知，/(Z)=Z 全平面不解析.3)/(Z)=|Z|=+/=Mx,y)+i,y)二任一点Zo处不可导.故,v(x,y)三 0.以有(、所以，当(x,y)W(0,0)时,有其中du _ x du _ y螳=包三0U dx dySx J*+y 2 dy,2+.2因此，对v(x,y)w(o,o),C-R方程不成立.而当(羽y)=(0,0)时,由于l im(x，)i(，)=1加了一=l im W不存在，即 刨到不存在，同理，08不存在，故/(z)=|z|在z=o处不可导.于是，f(z)=z 小 二秀于全平面处处不可琥工方据析.注 在女肘媵中，仍然采用检验可导充要条件的方法，由于(兀y)w(0,0)时，,dx.,史均连续，故，v可微，但C-R方程处处不成立.对(x,y)=(O,O),从偏dy dx dydu导趣通发，得知上与也不存在，从而(x,y)在(0,0)处不可微，故对平面任一点，可 dx dy导的充要条件不满足.4)/(z)=e co s y+iex s in y=u(x.y)+iv(x,y)y)=qx co s y,v(x,y)=e%s in ydu x dv du x.dv D du du 十人E击、户上,一=e co s y=一,一=e s m y=-,且一,一于全平面连续，故dx dy dy dx dx dy/(z)于全平面处处可导，全平面处处解析.-12-第一篇复变函数论b,(du.dv ox ex因此有了(z)=e co s y+iex s iny=f(z)注1.这里用区域解析的充分条件得到结论；2.本题中的z)是一性质极好的函数：不仅全平面解析，且具有特性 广(z)=/(z),它正是实指数函数e在复平面的推广，即广(z)=eXcosy+ieXsiny=expz=eZ.但 应注意这一推广产生的新性质：1)由于co s y与s iny以2左乃为周期，使得i以2疳的整数倍为周期2)e可取到除。以外的任意复值，包括负值.这两点是值得注意的.2.2证明 一常数.1)2)3)4)5)6)7)证1如果f(z)=(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析且满足下列条件之一，则/(z)必为/(z)在。内为实值.而在。内解析.|/(z)在。内为常数.arg/(z)在。内为一常数.在。内有a(%,y)+Z?v(x,y)=c,其中*方，c是不全为0的实常数.Re(/(z)或Im(7(z)在。内为常数也泳在。内有/(z)=0.首先，由条件二小,y)+i-W在du _ dv8 dy g MX7在。内处处成立.ou dv/(z)=dvdy dx1)因为咽e。内解析U a)u,v均在。内可微，且b)内取实值，即y(x,y)三0,(x,y)e D.于是F 三0,ox oy(羽田方性寻此结果代入C-R方程b),得包=辿三0,(x,y)c。.所以 f ir dyu(x,y)=A.(x,y)eD.即久)=4zeD(A为一常数)2)于而)=iv(x,y)=兀y)+iv(x,y)在。内解析.因而除条件a),b)成立之外，条件c)成立.du/(-=dvdxSySydu二 0(t)_ dvdydxdx13第一篇复变函数论联立b),c)得dv _ dv dv _ dvdy dy dx dx即包=史=。，(x,y)。.又由或C)得包_=0dx dy dx dy所以在。内，恒有(x,V)=A，v(x,y)=B.即/(z)=A+iB为常数.3)由于|/(Z)|=J”2(x,y)+、2(x,y)三 c,(x,y)。.1 若。=0,2 若 CwO,则/(z=0,z。o/(z)=0,z g D.贝IJ由“2(x,y)+d(x,y)三。2 wo,两端分别关于X,y求偏导得：e)du dv 八U-F V=0dx dxdu dv 八U-F V=。dy将b)代入e)得du cu-v dx cdu cv-udx c由 w2(x,y)+v2(x,y)=dudx=0=0(兀 y)E2。0得eD代入2陪二三劈9于是(x,y)三 A,v(x,y)=BeD(X,y)eD即=zeD(A,B为任意实常数)3)因为arg/(z)三常数，zeD,由主值支arg。的表达式得f Aarct an g，三常数=C,w2(x,y)+v2(x,y)=C2 0,(x,y)e DC=0,则y)0上加。归为1)的情形，得证.2若CwO,对c)两端分别关于x,y求偏导得14第一篇复变函数论dv duu-v f ix dx _ n2 2-UU+Vdv duu-V8ydy=0 u+v,2+y2 w 0)dv du 八u-v =0dx dxdv du 八u-v=。dy dy将b）代入得 0 x解由于/(z)=(x,y)+iv(x,y)解析，所以 v(x,y)满足 C-R 方程.1)(x,y)=2y(x l),故射？=2y.由此得Mx,y)=2+c(x),这里。(x)为x的任一可导函数.又由上=得 dx dy2(x-l)所以。(x)=H+2x+g，G为任一实常数.于是 v(x,y)=V-，+2x+G 6,即0得 xr一drf.122x _ dv i dv 八、”口 Su 1),有I,0,所以倚 丫 I,80 dr dr口口 du I即=一 dr r解得u(r.d)=Inr+。C为9的任一可导函数.又由=。道)=/一=0得c=G.G为任一实常数.oO or所以(r,8)=hir+G/(z)=(/招)+加(r，夕)=Inr+G+i注意厂=H,0=arct an=arg z(x 0)得/(z)=l n|z|+iarg z+G2.7 设 v(x,y)=e，s iny,/(z)=(x,y)+iy(x,y).解因为 v(x,y)=epx s in y,dv px.32V=pc。s m y,-&dx2求p之值，使和函数，并求一解析函数所以 wp2cpxsmy,-=cpxc osy,dv px.=-e s m y dy.由 Av=+=e s inyp2-1=0,得 p=1.(1)当p=1时，v(x,y)=e s in y.由1-32题的方法易求出调和函数 u(x.y)=ex co s，血了(z)=e co s y+C+iex s iny=ez+C 为所求解析函数，其中c为任意实常趟(2)当 p=一1 时，v(x,y)=e-s iny.可求得调和函数(x,y)=。一 co s y+G(G 为任一实常数).于是所求的解析函数为f(z)=-e-x co s y+Q+ie-x s iny=-ezco s(-y)+is in(-y)+Cx=-e-x+Q(全平析)2.8计算下列复数1)(1+i)1 2)r,其中 z=x+iy；4)i1+i；5)l n(-2)3)l n(-i)；解1）=。而（1旬i 卜n V+i?+i 2 左不2)Z=%+iy-e(x+iy)(i2)_ Q-2k7iy当k=0时得r=i 一+2 k j%+il nVe(co s 2km+i s in 2 左 t zx)（左为整数）（左=0,L2,）18第一篇复变函数论3)l n(-i)=l n|-i|+iarg(-i)+i2kn=一彳+i2左乃(k=0,1,2,)4)ie(=2十2k加(左=o,i,2,)；5)l n2+i(2左+1)(左=0,1,2,)注.以上各题均由定义求得；.值得注意的是，1只是r无穷多个值中的一个值（对应于k=o）,这与实变量函数中的概念不同.2.9 求解方程 s in z+co s z=0,iz.es m z+co s z=一【解】*2i1+7.i(2勿一半-=i=e 21 i z=n7r-7r/4,2.10解下列方程1)s in z=0CO,方程（3052=外均有解.且林中，4 t=cizE 1贝IJ co s z=一 2(=0,士l,2,)2)l+ez=0el z-e-l z 解 2):s in z=-=03)2i.ee-z,即。由对数函数定义得i2z=l nl=i2左k兀,左为任意整数.由片+1=。得片=1由对数函数定义得 q=l n（1）=i（2左+1 k为任意整数2.11八 e在 co s z=一主值为=%i 证明，对任何数t=el z=e7（co s邓所以才wO.且1可取到任意非0值.麻鬼、1=刃，即 一2&+l=0.所以/=+J-2 1.（这里于是，原方槿即为一 2证t HCD?寸个根）i+g1 wo,由对数函数定义得i 所以0+:。21 wo.故右端对任意。均有意义，得证.注 这里的结果说明两点：（1）复变量余弦函数可取到任意值（复、实值），而不象实余弦 函数取值区间仅为-1,1；（2）所得结果改变Z与G的位置，即得CD=-il n（z+1）.这正是。=co s z的反函数.可对s inz进行同样讨论，此略.2.12 求。，使对任意 z,有 s in（z+。）=s in z.19第一篇复变函数论解 由s inz的定义，即求满足方程看向。一&+引=。一的一切。值.整理化简即得e2.e铸(1 e-o)=(1 e。)，对任意z成立.且因。式加。().故得1-。一.=0,即-io=l nl=i2k为任意整数.所以 c o-2m7t(m=0,1,2,)注由此题结果可见，复变量正、余弦函数为周期函数，且周期与实变量正、余弦的相同.2.13 若某解析函数的实部等于虚部的平方，证明该解析函数必为常数.【提示，参考例2.6.1即可证明，这是该例的一个特殊情况】本章计算机编程实践2.14计算机编程计算弋【解】计算机仿真程序zl=axp(l-i*pi/2)z2=3Asqrt(2)for k=0:9%9是任意选定的整数z3=axp(i*(1.0/2*log+i*pi/4+i*2*pi*k)z4=axp(i*(i*pi/2+i*2*pi*k)nd3立，Z3=(l+i,2.15 计算机编程计算 4=Ln(-3+4i),z2=In(i-l)【解】计算机仿真程序for k=0:99%99是任意取的整数值，也愕(负翰(zl=log(-3+4*i)+i*2*k*pi%特别说明：在MATLAB中用logndz2=log(i-1)底的对数，即In2.16计算机编程解方浮【说明：s=solve(*sin(z；)-2zD,读者可先进行推导，然后在求解】Arc t an(l+i)%上述方法不育禧掳即Z 2.17计算机编程计算【解】atan(1+i)2.18舒#解方程+1=0解s=olve(1 exp(z)+1,*z*)2.19 计算机仿真(Mat l ab,Mat hcad,Mat hmat ic)绘出 s in z,co s z,t anz,ct anz 的图形.【解】计算机仿真程序如下%(1)sinz z=15*cplxgrid(30);cplxmap(z,sin(z);colorbar(Part*);titlsin(z)1)-20第一篇复变函数论figu工z=15*cplxgrid(30);cplxmap(z,cos(z);colorbar(Part*);titlcos(z)1)x 106%(2)cosz%(3)tanzfigurz=15*cplxgrid(30);-21第一篇复变函数论cplxmap(z,tan(z);colorbar(Part1);titl(，tan(z)1)%(4)ctanzfigurz=l0*cplxgrid(30);cplxmap(z,cot(z);colorbar(Part1);titla(，cot(z)1)2.20对于下列解析函数，分别用计算机仿真方法(Mat l ab,Mat hcad,Mat hmat ic)绘出其实-22第一篇复变函数论部和虚部的等值曲线图.(如等势线、电力线)z)=z2;(2)/(z)=/【解】计算机仿真程序%2.20(1)X,Y,Z;Z=X.A2-Y.A2;%计算格点上的函数值contour(X,Y,Z,12)title(,f(z)=zA2%实部等值曲线图(等势线)DZ=2.*X.*Y;figurcontour(X,Y,Z,12%工 犷titleCf(z)=z-2%虚部等值曲线图(电场线)D-23第一篇复变函数论%2.20(2)修尸Z2%虚部等值曲线图（电场线）figureX,Y,Z=paaks;Z=X.A2-Y.A2;%计算格点上的函数值contour(X,Y,Z,12)title(*f(z)=zA3%实部等值曲线图(等势线厂)Z=2.*X.*Y;figurcontour(X,Y,Z,12)-24第一篇复变函数论title(f(z)=zA3%虚部等值曲线图(电场线)D f(z)=z3%虚部等值曲线图(电场线)第三章复变函数的积蟒,题及其解答复通区域中的解析函数，问其积分值与路径3.1如果函数/(z)是在【1】单连通区域黑、尽有无关系？【答案 单连通 无关，复连痛3.2计算积分dz团=行【答案03.3 计算积分aQ.设L分别为L干一或(1)(1)|z|=/2;za=a;(3)z+a=a【答案(1)0；(2)f；(3)-f 3.4 计算积分f Imzdz，其中积分由线。为 JC：+i的直线段；|z|=l,起点为L终点为-1;(3)圆周|z-。|二E(R0)的正方向(逆时针方向)【答案(1)1+i/2;(2)兀/2;(3)成2 3.5 计算积分f dz的值,Jc|z|(l)|z|=2;(2)|小4;【答案4尢;(2)8尢】-25第一篇复变函数论3.6 计算积分的值+21co s|-dz【答案e+1/e3.7 计算下列积分的值团T COS zg(z+*)(z+2)0；(3)00=2(z1)2(2z+1)八泊Jx【答案(1)0；(2)0；(3)nico s i；(4)兀i;65)(6)1 2 彩、83.9 计算积分(1)f zs inzdz;(2).ch3zdz;(3)，(z-1)证【答案(l)s inl-co s l;(2)|i;1-co il+is in(l)-13.10 计算复数 L+c 竿 dz,其中顺时针方向；G：|z|=3逆时针方向.1 2 Z【答案(1)0；(2),当&3.11 设L为不经过点人和端简单正向(逆时针)曲线，为不等于零的任何复数，试就 曲线L与b的各种怫冷津积分的值.【答氮部M不含八则1=。；L含b,I=f；L含b,I=f;(3)两点在辞w 喏3.12 已知 h(z)=二魅，试求/z(i),/i(-i),以及当|z|2 时，(z)的值.J=2j z【h(i)=M-M+i);/i(-i)=7i(V3+i);I z I2,(z)=0 3.13 计算积分f二氏，其中常数在闭曲线。内部J/【答案-(2+)/3.14 设C为正向圆周月=1，且证明：积分第一篇复变函数论2兀|氏|二二f Z-Q厂仔(|出=卷出,注意到点3.15.已知/(z)=f岗=2求“1-2i)J/3.18计算积分(2),COSZ 1 dz团=i e z本章计算机仿真编程3.19 计算机仿真编程验证3.15的积分结果,1+23也=0加 5+4co s 8【解】计算机仿真程序syms x;IS=int(1(l+2*cos(x)/(5+4*co0露尿河 x I 0,2*pi)%求解析积分vpa(IS)3.20 计算机仿真计算下列积分的值(沿非闭合路径的积分)(1)A=f/zdz;(2)Z2=f ch3zdz;(3凡=z l)dz;(4)4=fl；nZdz,其积分的路径为沿1到i的直线段,(说明：沿闭合路径的积分可以利用留数的定义，留数定理来计算；而留数可以利用计算机 仿真编程Mat l ab直接求解)【解】计算机仿真程序ISlpijnt(exp(2*z)1,z,一pi*i,3*pi*i);Il=vpa(IS1)%(2)IS2=int(1 cosh(3*z)1,1z,0,pi/6*i)I2=vpa(IS2)%(3)IS3=int L(zT)*xp(-z)J f 1 z 1 A 0,i)I3=vpa(IS3)-27-第一篇复变函数论%(4)IS4=int(1(l+tan(z)/(cos(z)A2)r 1z1rlr i)I4=vpa(IS4)第四章 解析函数的星级数展开习题及解答4.1判断级数的收敛性，绝对收敛性.00 n1)Z-k=T几角星 I)*/i=co sn.7iI-i s in-00 H 00n=l 几 n=2nn.n兀 co s s m-+i nnji.njico s 8 s m由实数项级数收敛的狄离赫利判别法可知Z2-与均收敛故由 oo n n 4oo i oo n.但 茎9而发散，所以非绝对收敛.=i n n n=i n=i n复数项级数收敛充要条件知2:n:n n2)因inn2:n1 8 1 吟-oo-n oo-n而Zf收疑4即z-收敛，于是收敛，且为绝对收敛H n=l n=l R n=l 几注 由此两题可见，对于国修项级数，绝对收敛n收敛；而收敛R绝对收敛.2)可作为此 种情况的例子.A.必4.2哥级数斗z匕2)能否在z=0处收敛，而在z=3处发散？说明理由.答 不可能.因为若在z=0处发散，则由Abel定理，在一切满足|z-2|0-2|=2的z处 级数均为收敛，显见，Z=3满足此不等式故不可能在Z=3处发散.4.3求极限l imS,其中+8 y(，l+i上 00,并由此判断复数项级数z左=1的敛散性.解设a=1L注意图=5+co+8 oc oc c c f+00/l im Sn=if+0000由复数项级数收敛的定义可知，z k=l 00k=l注1.这里的鼠即为复数项级数z。k=l00的部分和序列，求黑之极限中利用了4.4上收敛结论，这是最基标出法.00 00 00证明：若ZEI 收敛，则z。”收敛（这时称绝对1峰？於k=k=k=l1+/k收敛于i.即Z|一）=1证设。攵=左00 00+,则.由正项级数比钳螂窗 收敛nZI。/8 A1 IZWI均收敛，又由实数项级数知识知Z%与Z戏收敛于是由复数项级数收敛的充要条 k=l00件得Z%收敛 k=l00注若zi。/收敛，称z%绝薪咚敛同本题的结论说明复数项级数绝对收敛，则必收敛k=l证明方法用的是实数项级数对应的统一性质.应注意Z%收敛收敛，故不能由 Zl%|发散推出火发散8 004.5 设极限l im受存存，证明下列三个级数有同一收敛半径：Yanzn;一；士+i8Z叫Z后 n=lJim:2,nao n un0000 1则级数收敛半径为R=一,（2。0）,由收敛幕级数性质,n=0 4在|z|，zZz=ZZx收敛半径仍为R=1.n=0 n=0 o n=0 n=0 +1 400在X=o时，Z%z收敛半径R=+8.上述性质仍成立.n=0-29-第一篇复变函数论4.6 将下列函数展为幕级数，并求收敛半径.1 o+77展为Z的幕级数i 0解/2 2在Z=0处解析,且以土，为奇点，故可知其Tayl o r展式的收敛半（1+Z）n=0径E=l.设Z2=J,将J7展为1的基级数,再代入即可得所求（由展式唯一性保（1+证）.因为1+J在曰 1内逐项微分得-1（1+00=Z（T）飞n=0闾 1工）工35+1猪1=。Vl l bp于是1 皿八、E=”（邢歆心1 82n忖 114.7 计算下列积分：（积分路径均为iJ z 因=5arct anz解z cosz2）于1）因为6百在忖 1内解析，且积分路径以=!（正向）围绕Z=0,本身及其内部完全属于3 2|z|b故由陋邺公式知id =网匚z，4!az=0所以在Z=o邻域Tayl o r展开式系数知，原积分=2万,%为展开式中Z之系数.1r er-zdz n./734 丁=2%（五 e）2）因为主值分支arct anz在忖 1内解析，积分路径忖 1内解析，积分路径忖=：（正-30第一篇复变函数论向）本身及其内部完全位于忖 1内，且围绕z=0,故由高阶导数公式及arct anz在Z=0邻域Tayl o r展开式系数知：原积分=2力“98=0（偶次幕系数均为0）3）因为-在耳工内解析，且积分路径耳=工围绕Z=0本身及其内部完全属于 co s z 2 4闫 工内，故由高阶导数公式及,在Z=0邻域Tayl o r展开式系数知原积分=2 co s z2%4（%为z之系数）故有 原积分=2力万24 124.8 在z=0的邻域将/（Z）=一 展为Tayl o r级数，并求收敛半径.1 I 就解 因为/（Z）=工在Z wl的区域内解析，故可在Z=0的邻域内展为Tayl o r级数，且1-Z收敛半径氏=|1 0|=1.=1+z+Z21 Z n=01所以在忖 1内有展开式1 l-z又与、女3!|z|+00由嘉级数乘法得/(z)=(1+z+z2+U二十)2!3!+J+J=l+2z+(l+-+l)z2八7k 3!2!z3+4.9.企-z2+-z3+.：o=O的邻域上将3s inz女-展开.z|z|+00函数.在原点没有定义，z73 75 77s in z=z-1-1-1-(1)3!5!7!0是奇点.引用s in z在原点的邻域上的展开式-221+，|Z|+00(2 左+1)!2为避开奇点，从z平面上挖去原点的复平面0|z|+8上，用z除s inz的展开式，就得到 任的展开式z-31第一篇复变函数论s inz z2 z4 z/2 1 2k-=1-+-+(-1)化-zz 3!5!7!(2 左+1)!H-，0|Z|+00其实，如果定义一个函数s mz/=1 z,Z。0L z=0则/（Z）在整个复平面上都是解析的，从而得到了（Z）在Zo=0的邻域上的展开式 2 4 6 1f（Z）=1 F-1-F（-）左-Z2k H-,0|Z|3!5!7!（2 左+1）!正是解析函数f（Z）的Tayl o r展开式.l)l|z|21 1，将“Z）在环域l|z|2内展为Laurent级数,4.10 将/(Z)=(z-l)(z-2)在下列圆环域内展为Laure(z-2)(z-1)+00即要将Z）展为形如ZCZ的级数，因为Z）在内解析，由Laurent定 n=-oo理，上述展示存在，为得到F在上|2内解析，且1Z-目1,故l o1 1 6T 二*l-Z 九=0Z*八21 00 1V*-zn0 乙、n+1 乙 n=l乙n=la IJ00n=l1Z|2时,-1 1 0 1z)=一1可 z”n=-oo 乙 n=l 乙对于/(z)=-有(z-2)(Z-1)1|z|210-1ZZ-32仿1),有第一篇复变函数论 iii4 _n=_gZ-11 2|z|而=1z 2 zz1 1小l-Z=o z1z)4.11下列推导是否正确？为什么？用长除法得(1)+得左端二0右端=1n-1z-2 z-1n1100z=l00=Z(2-l)z-n=200 尸 1 n=00 1 00=An=0 Z n=l(1)=z+z+z+l-zz-1Z Z1+z+z2+2+=()答推导不正确，因为(1期(力外裒均有条件：对,只有当年1方能成立，而对(2),只有当、化b|1方能成立，即与(2)没有同时成立的公鼬集，故二者不能相加(由Laurent级数收敛的定义)，所以上述结 果是错误的.4.12将下列函翻档金吊勺去心邻域展为Laurent级数，并指出其收敛域.1日12)/(z)=z53、Fv+8解3；因为了(Z)在l|z|+8内解析，故可在环域内展为Laurent级数 Cnn n=a)令4=1,0闾1,且 zz)=(1+二)21(1+3)2=9信)-33第一篇复变函数论1 800 00所以0|19=Z(T)伽+1)广+4=Z(T)(+1)尸足)72=071=00|1于是00z)=Z(T)+l)z)n=01|z|+o o此即/（z）在8去心邻域内的Lauren