福建师范大学大学物理总复习.pdf

总复习第一章质点运动学一、基本概念位矢：r=xi+yj+zk运动学方程：x=x(t y=y(t z=z(t)速度:-Ar d r v=h m=t f At d td x t 办二 d z 7 二z+上 j+k d t d t d t、击宓 I/d x、2/d y、2/d z、?d s速率 v=J()+()+(),v=一 d t d t d t d t加速度:其大小注意二、直线运动/、d x d v d2xx=x(t).v=9 a=-d t d t d t2匀速直线运动:1=0,v=常量,x=Xo+H匀变速直线运动:a=常量,v=v0+aty1 2x=x+vt atv2 Vq=2a(x x0)注意：以上各式仅适用于匀加速情形。直线运动的第一类问题：已知求八a 求解此类问题的基本思路是：先写出运动学方程 x=x(f)，再用求导得出速度和加速度。注意：有时运动学方程是隐含在题目中的，要自己 去找出来。例4.如右图所示，一人 在高为h的岸上以恒定的 速率v0收绳拉小船靠岸，求小船运动至图示位置时 的速度与加速度。直线运动的第二类问题：已知求x(t)解此类问题的基本思路是求积分：v(ZL)=J a(t)d t xQ)=J v(t)d t或解微分方程d v=a(t)d tyd x=v(t)d t当=常数时，积分结果就是前述匀变速直线运动 的基本公式。当/常数时，一定要自己积分得出结果。例7.跳水运动员沿铅直方向入水，接触水面时速率 为V。，入水后所受重力与浮力相抵消，仅受水阻力 而减速。其加速度=人人A为常数，求运动员入 水后的速度v和入水深度y随时间的变化，及速度 随深度的变化v(y)。解：取y轴铅直向下为正原点位于水面，并取运动 员接触水面时为计时零点。有：d v=ad t=k vd t n 萼=k d t v两边一起定积分得d v 77/、VoI 7=k I d t v Q)=-儿 v2 J。k vot+1再次积分得W)=vd t=J；|+1)要求v(y),可由有 一k v2积分得户d vVo Vd v d v d y d va =-=vd t d y d t d yd v d v=v=Kay d y v1y V _rd y n In 一=-k yy v=voey3 v三、抛射体运动 其速度的两个分量为：vx=v0 c o s 9,vy=vosinO-g Z运动学方程：x=(v0 c o s 0)1 2y=(v()sin e)t-gt消去时间，得到轨道方程：c 1 g%2y=xt an0-2 v：c o s2 0射与射程抛射体运动到最高点时,4=0,可由速度公式得 出上升时间。v0 sin0=g代入运动学方程中得出射高H和水平射程A为:TT Vp sin2 0 八/c、c Vp sin 2H=-,K=(%c o se)2/i-2g当8=45。时，水平射程最大例2.一人扔石头的最大出手速率为v=25 m/s,他 能否击中与他的手水平距离L=50 m,高H=13 m 的目标？在此距离上他能击中目标的最大高度？解：设他以0角抛出石头，并将v=25,x=50代入轨 道方程有：1 2尸%嫡 28 22 vQ c o s 0IQ 6=50t gQ-=5O/g 0-19.6(1+t g2e)c o s 0高度y随e而变，为求极值（y的最大值）令:-=50-19.6x2/g 0=0 d t gQ得：纷。=L2755时，最大高度收=1229用 因而无法击中H=13 m的目标。抛射体运动的另一种分解可写出抛射体的位矢/=+(v0/-g-1-2因而抛射体运动又可分解为：沿初速度方向的匀速 直线运动+自由落体运动。四、圆周运动、曲线运动第一项是由于速度方向变化而引起的 向心加速度，第二顶是由于速度大小 变化引起的切向加速度。例3、质点圆周运动半径为A,其加速度与速度之间的夹角。恒定，初速为V。，求质点速度v(t)。解：由题有 2v24名0二R d v d td vd t 硒=二二v定积分1 47-I d tRt gQ J。得 1,二 Vo Rt gBRt gQ vQt角加速度2八 一 Ac o d c o d 0B=Inn Af0 Ard t d t2角量与线量间的关系：v2 2 d vv=R4 4=Rs 9 a_=Rpn R T d t匀速率圆周运动：s=常娄,e=仇+stB=常数，8=80+口,1 2匀变速圆周运动：e=e0+c o0r+-pr(O2 0=2P(0 00)对一般的曲线运动，引入曲 率圆后，质点的加速度可套 用圆周运动的结论，即有：q a n+c i tv2 d v d2s 匚 2a .a=2|iig(M+m)例19质量为M的斜面放在光滑 水平面上，斜面倾角为 另一 质量为m的物体从斜面上高h处由 静止开始下滑，求它滑到斜面底 部时它们相对地面的速度和二者 间的相对速度解：设m滑到斜面底部时斜面向左的速率为v m沿 斜面向下的相对速度为v2o物体与斜面这一系统在 水平方向上不受外力，因而系统在水平方向上的动 量守恒Mvx+m(yx-v；c o s0)=0又因为在m下滑的过程中仅有重力作功，系统机械能 守恒mgh=-Mv+mv；其中V2是m相对地面的速度，它应满足：v f=(匕 一 v；c o s0)2+(K sin 9)2由以上三式可求出：n I 2g A%=mc o s0-1一N+msin2 0),_ 12gh(m+M)2 VM+msin2 0/2g/z(m2 sin2 0+2mAf sin2 0+M2)2 (m+7l/)(M+msin20)四、碰撞1、对心碰撞：碰撞过程中系统不受外力，动量守恒加i%o+m v20=机 1%+m2v2非弹性碰撞的恢复系数_%-匕_碰后相互分离的速其 v10-v20 碰前相互接近的速成完全弹性碰撞：e=l,碰撞前、后系统动能相等:1 2 1 2 1 2 1-lV10+-2V20=-lVl+-m完全非弹性碰撞：e=0,碰后两物体不分开o例2质量为Mi的小车，静止 在光滑水平轨道上，车底用长 为L的细绳吊有质量为M2的砂 袋。现有一质量为m的子弹水 平射入砂袋内，并测出砂袋的 最大摆角为0,求子弹的入射速 度。解：子弹射入砂袋过程,二者动量守恒：mv0=(m+M2)v1砂袋摆角最大时与小车有共同的水平速率V,且系统 在水平方向上不受外力，动量守恒：mvQ=(m+M2)v2砂袋上摆过程中仅有重力做功，机械能守恒：1 91 9=(m+M2)v2+(m+M2)g L(l-c o s0)求出m+Ml l2(m+M1+M2)g(l c o sO)Vq=T mx例5、一皮球从距地面h的高度处自由下落，与地面 相撞，恢复系数为皮球经多次反弹后停下，求皮 球所经过的总路程。解：皮球第一次碰地后的反弹速率和反弹高度各为:%=-=e2=e2h2g 2g%=”第二次碰后则为第，次碰后则为v2 h2=-=eh2g了2v.=eVn,h=/hL U y L c2g因而皮球在停下前走过的总路程为：S=/?+2%+2/z2 h-F 2/zz H=h+h+h+2。6%+=h+2e2/z(l+e1+e,+。6-)*/0 e d t d t d t2二、刚体定轴转动动力学1、定轴转动角动量定理，转动定律，角动量守恒 co角动量 L 转动惯量/=J户d m.一I与质量大小、质量分布、及转轴位置有关。、Ic 平行轴定理：JD=Jc+md d_-Jc、Jd分别是刚体对过质心轴,和与之相平行的另一转轴的转动 惯量。两转轴间距为薄板的正交轴定理:J=J+J z x yXY轴在薄板面上，Z轴与薄板 垂直。转动定律:M=J=邓 d t d tZ角动量定理:Md t-L?L、角动量守恒当拉=0时，=常量JCO=4/2c o2例题一质量为m、半径为R的匀质圆盘绕通过盘心且 垂直于盘面的光滑轴正以。的角速度转动。现将盘置 于粗糙的水平桌面上，圆盘与桌面间的摩擦系数为出 求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？解 摩擦力是分布在整个盘面上的，计算摩擦力的 力矩时，应将圆盘分为无限多个半径为人 宽为力的 圆环积分。故摩擦力矩为23于是得（3=丝=_也 J 3R由oj=4+田=0得f=_=3RB 4g又由苏-力。2=2Ia 所以停下来前转过的圈数为N_Xe _-8：_3co：R27r 2/3 16%/g。24二、刚体定轴转动的动能定理1、力矩的功外力可使刚体转动一微小角度d e所作的元功：d At=月因=Mtd O刚体转过有限大角度时力矩的功2、刚体定轴转动的动能定理：外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。机械能守恒定律在刚体系统中的应用一个包括有刚体在内的系统,如果只有保守内力作 功，则这系统的机械能也同样守恒。在计算刚体的重 力势能时，可将它的全部质量集中在质心。因此冈1 体的机械能为 1E=mghc+7cd式中人为刚体质心到零势面的高度。例3质量M长L的均匀细杆可绕过。点的 水平轴转动，初始时杆静止于竖直位置 质量m的小球以V。垂直撞向杆的下端与杆 发生完全弹性碰撞，求碰后小球回弹速 度v,杆角速度co及上摆的最大角度0 解：相撞过程系统对O轴的角动量守恒；撞前后动能 相等，上摆过程机械能守恒：1 2mvnL=J=ML31 2 1 2 1T 2mvn-mv+Jc o2 2 21?-Zc o1 2=Mg(l-c o s0)/2求出M-3m 6mvhv=-%,3=-M+3m(m+3m)Lc o s。=1-24m之(m+3m)2 gL例15 设杆的一端固定，可绕O点在竖直平面内转动，杆 长为L,杆与物体的质量都是M。质量为m的子弹穿过物 体后速度由v减至v/2,开始时物体静止在最下方，问当物 体能在竖直平面内完成圆周运动时子弹的速度至少是 多少？物体的大小可不计.：,：解谢穿过程中,系统对O轴的角动量守 恒。转动过程中,系统的机械能守恒：y1 1 2 NmvL mvL+Jan,7(d2=Mg2L+MgL 0：；：:”其中 J=L 工3 II i-|8ML 9s-4M i-k _丁枭一百 V M V/23m V 2L m第五章热力学基础1、理想气体状态方程从3条实验定律得出：一定质量的理想气体在两 个平衡态时状态参量之间的关系一匕尸二0%T2理想气体的状态方程另一形式mPV=RT=yRT Mm-气体质量，Af-摩尔质量,后式仅涉及一个平衡态。前式不可用，后式仍可用。当气体质量有变化时，例1 一1氧气瓶的体积是32（其中氧气的压强是130at m,规定瓶内氧气的压强降到1 Oat m时就得充气，以免混入 其他气体而需洗瓶。有一玻璃室，每天需用lat m的氧 气400。问一瓶氧气能用几天？pv解：未使用前瓶中氧气的摩尔数：VRT使用后瓶中氧气的摩尔数：V=4匕（设使用中温度保持不变）2 RTPV每天用的氧气摩尔数：V3RT能用天数:V3（。2-四）p 3y3=9.6（天）5-2热力学第一定律及其应用一、内能、功和热量1.内能热力学系统的内能由系统内所有分子的热运动 动能和分子间相互作用势能两部分组成。通常可认 为热力学系统的内能与温度T和体积V有关：E=E(T,V)注意：内能是状态的单值函数，完全由系统所处的 状态决定。理想气体的内能仅是温度的函数，质量为小 摩尔质量为M的理想气体的内能为其中i是分子运动自由度，对单原子分子、刚性双原 子分子和刚性多原子分子，的值分别为3、5、6o由于理想气体的内能仅与温度有关，所以理想 气体内能的增量也仅与始、末态的温度有关，而与 系统所经历的过程无关m 12.功作功是改变系统内能的一 种方法，通过宏观位移使机 械运动能量转化为分子热运 动能量。活塞面积S当活塞移动一段微小距离 d/时，气体所做的元功为d A=F-d l=PSd l=Pd V可用右图中画有阴影的小矩形面 积表示。当气体体积从Va变到Vb时系统所做的功%A=Pd V功的大小等于p-v图 上曲线下方的面积。比较d、c两过程曲线下的面积可知,功的数值不仅 与初态和末态有关，而且还依赖于所经历的中间状 态，功与过程的路径有关。所以功是过程量。3.热量当热力学系统和外界之 间存在温差时，就会有热量 通过热传导的方式从高温的 地方传向低温的地方。传递 热量也是改变系统内能的一 种方法。d Q=mc d T改用摩尔热容C,则 d Q=Cd T M系统由温度变到温度心的过程中所吸收的热量作功和传递热量都与具体过程有关，都是过程量。二、热力学第一定律实验表明，一个热力学系统，在任一热力学过 程中，从外界吸收的热量Q等于它对外界作的功Z 及它的内能增量之和。称为热力学第一定律。Q=e2-ei+a对于一个无限小的过程，热力学第一定律可写成d Q=d E+d A=d E+pd V热力学第一定律是包括热现象在内的能量守 恒与转化定律的一种表达形式。三、热力学第一定律对理想气体的应用1.等容过程等容过程体积不变，所以 d A=Q,即气体不做功。P2nm iQv=E2-E1=-R(T2-T1)Pio41v定容摩尔热容量：一摩尔气体在体积不变的条件下,温度升高（或降低）1K时吸收（或放出）的热量，称为该气体的定容摩尔热容量，用表示。驾造Rd T d T 2单原子分子理想气体的 g=：R刚性双原子分子理想气体的Cv=-R v 2刚性多原子分子理想气体的CV=-R=3R2注意：对高摩尔气体，不论其经历什么过程，只 要初态和末态都为平衡态，其内能变化总可以写为2.等压过程PK等压过程中气体做的功为I TV2气体的内能增量仍为Fi吸收（或放出）的热量为定压摩尔热容量：一摩尔气体在压强不变的条件 下温度升高（或降低）1K时从外界吸收（或放出）的热量，称为该气体的定压摩尔热容量，用g表示。由上式知，其数学表示式为定压摩尔热容量Cp与定容摩尔热容量C/的比值 称为比热容比或绝热系数。3.等温过程温度始终保持不变的过程 称为等温过程。因而有值量理想气体的内能始终保持不变 吸收的热量全部用来对夕卜做功OPAq=A=Pd V=RT.5 J M 1 V=7?7ln=ln M Vx Px4.绝热过程一个热力学系统在状态变化的过程中与外界没 有热量的交换，这种过程称为绝热过程。绝热过程 的特征是d Q=O，因而A=-=-Cv(T2-T1)2/-I气体绝热膨胀时对外做的功等于气体内能的减 少和对外做功是以消耗系统的内能为代价的。绝热过程方程：d P d V _-F V-=UP V积分后得出绝热方程：=常量将理想状态方程代入上式，分别消去P或曰 得出另两个绝热方程：7yl=常量 生二常量r下图中的实线是绝热线，虚线是同一气体的等 温线；绝热线比等温线要陡些。因为在等温过程中,只有体积的变化引起压强的变化；而在绝热过程中,体积的变化引起压强变化，气体的温度变化也要引 起压强的变化。等温线在任一点的斜率为d P _ P d VV而绝热线在任一点的斜率为d P P=y d V V例5 设一定质量的双原子分子理想气体，经历了下 图所示1-2的直线过程，试求此过程中的温度最高 点与吸、放热的转折点。解：图中1、2两点的温度相同，而 1 2的直线过程并非等温过程，而 是先升温然后再降温的过程，其上 必有一温度最高点。设此点为 它应当是等温线与过程直线相切的 点。即在C点、，等温线的变化率与 直线1 2的斜率彳目等：%2匕一匕C点在1 2的直线上，满足直线方 程，有：%=4巴一心由上两式求出温度最高点C恰好在 1 一2的中间：%=2占七=2匕可分析出1-2的直线过程是前大半段吸热，后小半段 放热，其中有一个吸、放热转折点。设此点为D点，它应当是绝热线与过程直线相切的点。即在D点，绝 热线的变化率与直线1-2的斜率相等：生=1 4殳=%嚓./匕D点也在1-2的直线上，也满足 直线方程，有：Pd=4P加由上两式求出D点坐标为：7 5例6有一绝热的圆柱形的容器，在容器中间放置一 无摩擦、绝热的可动活塞，活塞两侧各有v摩尔同种 理想气体，初始时，两侧的压强、体积、温度均为(Po,Vo，To)o气体的定容摩尔热容量为绝 热系数丫=1.5。现将一通电线圈放在活塞左侧气体 中，对气体缓慢加热。左侧气体膨胀，同时压缩右 方气体，最后使右方气体压强增为P=27P0/8。试问:(1)对活塞右侧气体作了多少功？(2)左、右两 侧气体的终温是多少？(3)左侧气体吸收了多少 热量？解：由于活塞是可动的，所以末态左、右两侧气体 压强也应相等，设末态左、右两侧气体温度分别为TP Tr体积分别为V2O(1)左侧气体对右侧气体做绝热压缩，由绝热方 程，求出右边末态体积二6p。2/34272/814因而左侧体积 匕=2%-%=匕9左侧气体对右侧气体作功为1 1 27 4y-1 1.5-1 8 9=Po K=R”(2)由绝热方程可求出右侧气体的终温为再由理想气体状态方程，得到左侧气体的温度为t _ PVX T _(27/8).(14F0/9)_21_/1-1 0-I 0-1 0 EA 4(3)由热力学第一定律可得左侧气体吸收的热量17Q=AE+4=9-T0)+7RT0四、多方过程1.多方过程方程若理想气体经历的过程满足方程：PVn=常量式中n为任意常数，称为多方指数。凡满足上述方 程的过程称为多方过程。再结合理想气体状态方程,又可得出另两个多方方程：pi7Tl=常量 了7=常量多方方程与绝热方程完全类似，只是将绝热方 程中的y换成了 n。多方过程是更一般的过程，可以认为它包含了 等容、等压、等温和绝热这四个最基本的热力学 过程。当11=0时，有：PV0=常量一等压过程方程。当n=l时，有：PV=常量等温过程方程。当n=y时，有：PV=常量一绝热过程方程。当n8时，有：V=常量等容过程方程。2.多方过程的功、热量及摩尔热容Vi Vi d VA=Pd V=P1K-=P1V；匕 匕 v吗-n 匕1-1 1 mR=1（，匕一2%）=77rA）n-1m rn/?2=7jGWG=77（G一r）W4）M M n-1多方过程的摩尔热容为cn-cv-n-13.负热容的过程系统经历一个热力 学过程后是升温还是降 温，可用经过初态的一 条等温线作为判断依据，是吸热还是放热，可用 经过初态的一条绝热线 作为判断依据。注意夹在等温线与绝热线之间的过程，如上图中 的Z70过程，它吸热却又降温，因而有负的热容；图中力一上过程，它放热却又升温，也看负的热容。5-3循环过程卡诺定理循环过程可用P-V图上的闭合曲线表示:正（热）循环 逆（致冷）循环系统对外界做净功Z 外界对系统做净功ZN=21 _?2a=q1-q2二、热机的效率，致冷机的致冷系数工质作正循环机器都 是热机,它将一部分吸收 的热能转变为对外作功。效率：在一次循环中，工质对外做的净功占它吸收的热量的比率工质经历循环是任意的，包括非准静态过程。工作物质做逆循环的机 器叫做致冷机。它是利用外 界对系统做功使热量从低温 处传向高温处，从而获得低 温的机器,如电冰箱、空调 等。P致冷系数：在一次循环中，工质吸收的热量与外界 做的净功的比率。=。2=2/a-e2三、卡诺热机的效率，卡诺致冷机的致冷系数卡诺循环由两条等温线和两条绝热线组成c吸 热和放热只在两个等温过程中进行，因而卡诺循环 是工质只和两个恒温热库交换热量的准静态循环。以理想气体工质为例，计算卡诺热机的效率:-2等温膨胀过程中，从高 温热源吸热21=34等温压缩过程中，向低 温热源放热2 一3绝热膨胀可；1=72。效率=1一分%aZk只与高、低温热源的温度有关，与工作物质及其他 因素无关。A冰箱外分处至同样的分析可求出卡诺致冷机的致冷系数。2=心 也只与高、低温热源。2 T Ti的温度有关例9 一定量双原子分子理想气体，经历下图所示的1 一2一3一 1的循环过程，求其效率。P解：由例5知，在1 2过程中有 30k一吸、放热转折点D,1fD吸热，2 LXD2放热，且例5中已求出 XP2-3-H 2VD=-VX，PD=-P2 t-VD 3 3 匕 3K整个循环中吸热的过程是3 1f D,由热力学第一定 律可求出吸热总量为21=vCv(td-t+a1=g（2右一舄匕）+4=m乙匕+4上式中Ai是1 TD过程中的功1 2Q4=3（2+36）储-匕）=万4匕2 y93得出。1=66匕又由图知，整个循环过程系统对外作净功/=g（3匕一匕）-（3）=2巴匕因而效率=19.3%2 9354、热力学第二定律热力学第二定律是关于自然界宏观过程进行 的方向和限度的一条重要规律。1.热力学第二定律的开尔文表述：不可能制造出这样一种循环工作的热机，它 只从单一热源吸热对外作功，而不放出热量给其 他物体，或者说不使外界发生任何变化。开尔文表述揭示了自然界普遍存在的功转化为 热的不可逆性：功能够自发地、无条件地全部转化 为热；但热转化为功是有条件的，而且其转化效率 有所限制。也就是说功自发转化为热这一过程只能 单向进行而不可逆转，因而是不可逆的。2.热力学第二定律的克劳修斯表述:热量不可能自动地从低温物体传到高温物体 而不引起外界的变化。我们可借助制冷机实现热量从低温热源流向高 温热源，但这需要外界对制冷机作功（这部分功最后 还是转变为热量向高温热源释放了）。第二定律的克劳修斯表述说明了热量传递的不 可逆性。热量只能自动地从高温物体传给低温物体,而不能自动地从低温物体传给高温物体。热力学第二定律除了开尔文和克劳修斯表述外，还 有其他一些表述。事实上，任何一种关于不可逆过程 的表述都可以作为第二定律的一种表述。各种不可逆过程千差万别，表面上看起来毫无关联,但实际上它们之间的联系非常紧密，可以说所有的不 可逆过程都是等价的。因为只要违反了任何一种不可 逆过程，也就会违反所有的不可逆过程。或者说一旦 有人发现原先某种不可逆的过程突然变成可逆的话，就可以想出各种办法让所有的不可逆过程全都变成可 迎。热力学第一定律是守恒定律。热力学第二定律则 指出，符合第一定律的过程并不一定都可以实现的，这两个定律是互相独立的，它们一起构成了热力学理 论的基础。等几率原理和热力学概率统计物理基本假定一等几率原理：对于孤立系统,各种微观态出现的可能性（或几率）是相等的。I各种宏观态不是等几率的。哪种宏观态包含的 微观态数多，这种宏观态出现的可能性就大。平衡 态对应的微观态数最多，因而出现平衡态的几率最 大。越不平衡的宏观态出现的几率就越小。定义热力学几率：与一宏观态相应的微观态数称为 该宏观态出现的热力学几率。记为瓶。它是系统内 分子热运动无序性的一种量度。平衡态相应于一定 宏观条件下最大的状态。系统处于平衡态时，系 统内分子热运动最无序。在一个与外界隔绝的孤立系统内，其内部自发进行 的过程总是由概率小的宏观状态向概率大的宏观状 态进行；或者说，由包含微观状态数目少的宏观状 态向包含微观状态数目多的宏观状态进行；由非平 衡态向平衡态的方向进行。这就是热力学第二定律 的统计意义。在可逆过程中，系统从状态力改变到状态与，其热 温比的积分只决定于始末状态，而与过程无关.据此可 知热温比的积分是一态函数的增量，此态函数称嫡.对任一可逆过程，定义燧增量对无限小可逆过程d S=也或 Td S=d E+Pd V燧S是态函数，完全由系统所处状态来决定，与过程无关。系统在两个状态间的燧差A5是由从初 态到末态的任一可逆过程的热温比积分来量度的。若系统从初态到末态的过程是一不可逆过程，其嫡 变不能用该过程的热温比积分来计算。此时，可任 选一个连接初态和末态的可逆过程来代替不可逆过 程进行计算。虽然“嫡”的概念比较抽象，很难一次懂得很 透彻，但随着科学发展和人们认识的不断深入，人 们已越来越深刻地认识到它的重要性不亚于“能 量”，甚至超过“能量”。理想气体经历以下几个热力学过程时的烯增为等容过程精增：AS=q in卫T T T1等压过程扇增：等温过程嫡增：力，、，AO 7 vCd T 一1 T2 多方过程炳增：AS=-=vCn In J T n t&=v CpJ T T、s=A5=In T 匕3.波耳兹曼烯公式热力学第二定律反映了系统内大量分子无规则运 动的不可逆性。前面把系统的任一宏观状态所对应 微观状态数称为热力学概率W。W越大，说明系统 内分子运动的无序性越大，W最大的状态即是系统 所处的平衡状态。一般说来，热力学概率W是非常 大的。为了便于理论上处理，玻耳兹曼用扁S来表示 系统无序性的大小。定义嫡与热力学概率之间的关 系为S=k W其中A为玻耳兹曼常量，上式称为玻耳兹曼精公式。由波耳兹曼扇公式可明显看出嫡的本质意义：嫡S是系统内分子热运动的无序性或混乱度的一种 量度。系统从状态1变化到2时，嫡的增量可写成AS=S2 S=kIn%化历匹=k ln”玻耳兹曼是统计物理学的泰斗，其贡献十分突 出，以他的英名命名的方程、公式很多，也都很重 要。但是，在他的墓碑上没有墓志铭，唯有玻耳兹曼关 系式镌刻在上面。热力学第二定律开尔文表述 I 克劳修斯表述一切与热现象有关的实际宏观过程都是不可逆的，而且各种不可逆过程是相互关联的.自发过程进行的方向非平衡态平衡态 无序度较小无序度较大包含微观状态数少的态 包含微观状态数多的态 热力学几率小的态 热力学几率大的态 嫡较小的态 庸较大的态二、烯增加原理用靖S代替热力学概率后，热力学第二定律可 以表述为：在孤立系统(或绝热系统)中进行的自 发过程总是沿着扇增加的方向进行，它是不可逆的，平衡态相应于端最大值的状态。热力学第二定律的 这一表述称为端增加原理。AS 2 0嫡增加原理是有条件的，它只对孤立系统或绝 热过程才成立：在绝热系统或孤立系统中(d Q=0)发 生一的可逆过程，系统的扇不变；若发生一不可逆 过程，则系统的靖会增大。例15如图，在两个质量均为V,定压比热均为Cp,初温分别为/和 心的物体之间，工作着一台可逆卡 诺热机，求它能作的最大功。解：当两物体有相同的温度7时，热机就不再工作，在此过程中，原高温物体放出热量：Q=MCp(TT)原低温物体吸收热量=MCp(J-12)整个系统可认为是绝热系统，其内经历的过程是可 逆过程，总靖变=0AS=AMc d T +Mc pd T T-7 rri rri 2=Mcn(In b In)=Mcn In-=0p T、T2 p TrT2求出系统末态温度 T=工2于是热机对外作的最大功4nax=a-a=MCp(Tx+T2-2师)第七章真空中的静电场F=ker 屏为由场源电荷指向受力电一 荷的单位矢量2.电场强度，点电荷（尺寸小）试验电荷及条件I 工1。（）足够小，对待测电场影响小一 F定义电场强度E=一%电场中某点的电场 强度等于单位正电荷在 该点所受的电场力。(1)点电荷的电场p=_4 r0 r3E=q。4啊 r源点(2)电场强度叠加原理和点电荷系的场强广=+,+=斤 i=lE对9的作用之一工=方+E+,+%q。=匕+&+,+瓦曲1电场强度叠加原理连续带电体的电场电荷元：d q 电荷线分布 电荷面分布 电荷体分布d Zd q=2d/d q=o d S d q 二 pVd E=4松o r计算时将上式在坐标系中进行分 解，再对坐标分量积分。d qP d E例74.求一均匀带电直线在P点的电场。解：建立直角坐标系取线元d x 带电d q=2d xd E=1 Ad x4松0 r2将d因投影到坐标轴上 x仇一 4 d axxd瓦二L 丝 c o s。4飞r2E=一4c o s 犯r%J 4tt0 r1 2d xaEv=-sv0y 4g)r2Ev=f-sin OAx y J 4g)r2积分变量代换r=a/sm3 x=-ac t gO d x=ac sc2 i代人积分表达式 力他 COS。2 Z)1/QEx=L2 a esc 6U84兀4 a esc 0=2 c o s田夕/4瘩。1ax(sin 02-sin 6J24您间u 4同理可算出 E=-(c o s4c o sa)歹4笳0。极限情况，由1 2Ex 二,(sin 用 一 sin 幻 E=-(c o s-c o s a)4 兀20a当直线长度.80“.。i&f%E=0E=-x 2=-y 2兀4a无限长均匀带电直线的场强：厂厂 X E E In sa解:=雪4庵0 r由对称性E=z=0E=Ex=AE-c o s 0_ c o s A时，高斯面内电荷 fq二p匕r3 E=3 3%r2均匀带电球体的电场分布E=包Y 3%p史134尸2r REEr关系曲线ORr例7-8无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为R,沿轴线方向单位长度带电量为晨 解：电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,高为/,半径为rJ d 5=J侧面这.d 5=.2由高斯定理知E-红2兀e/(1)当时，gq=OE=0(2)当时,q=E=-均匀带电圆柱面的电场分布2|E2g2Er关系曲线0Rr例7-9均匀带电无限大平面的电场.作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面）底面积为 S,两底面到带电平面距离相同。醒=两底及a=2所.圆柱形高斯面内电荷=aS S由高斯定理得2ES=oS/sqE=CT2%7.5静电场的环路定理 电势能7.5.1静电力是保守力如图，设q 0在q的电场中运动，计算 静电力对它所作功建立如图的坐标系昨向0月点=受J 41TP J/什儿匕0 Iy.d lr2的04k 80d l c o s0q q。Y1 4k 801 d rraBq q。4tie0静电力做功与路径无关，只与始末位置有关，成电 力是保守力（仅对静止电荷的场而言）若电场中场源电荷不只一个则月=+员+瓦w=,d l-FJ%瓦，疝每项均与路径无关，总功也与路径无关7.5.2 静电场的环路定理jE-d l=0电势能由环路定理知，静电场是保守场。保守场必有相应的势能，对静电场则为电势能。静电力的功，等于静电势能的减少。AAB=q E=-KE=WA-WB选A为静电势能的零点，用“0”表示，贝I2.电势某点电势能匕与夕o之比只取决于电场，定义为 该点的电势匕=巴=。”扈.q。电势零点的选取是任意的。电势差电场中两点电势之差vab=va-vb=e沿着电场线方向，电势降低。电势的计算1.点电荷的电势点电荷的电场万=_94%r3F=f-d/=f4n r 44以r2点电荷系的电势 K=i 4 兀。43连续分布带电体的电势1 d q展J4存八 r儆:计算均匀带电量为q半径为R的圆环轴线上任意点的电势解:在圆环上任取一个d/d Z到场点的距离为rt/5 2 兀R展 j”=dlJ J 4残尸 4破*或利用圆环轴线上的电场00 00展卜加二,而。湛工严办二q4兀1R2+/2丝计算面电荷密度为。半径为R的圆盘轴线上任 意点的电势解:一）：将圆盘细 割为无数个圆环，每 环对应的电荷元在轴 线上产生的电势为(3r d r 20v r +x2d/=d q(jljir d r4万弓 7r2+x2 4 万岛 7r2+x2小一历77 r)12e0-2%例7-13,求一均匀带电球面的电势分布。解：由高斯定理知，电场分布为Er R1.当时2.当时v=r E=ir 4tz0 r0i q4%邑 r21d r=-r Rq47r%R3.电势分布V=r RMig。rRp结论：均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电势，球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。_/场强分布曲线 E I%r电势分布曲线OrR第八章 静电场中的导体与电介质8.1.1静电感应 静电平衡条件1.静电感应静电感应现象：导体在静电场中与电场相互影响,结果导体上出现电荷感应电荷感应电荷也要产生电场，方向与外电场方向相反，当导体内的感应电荷产生的电场与外电场完全抵消 后，导体与外电场处于静电平衡3.导体静电静电平衡条件(1)导体内部电场为0,即Ej11t=0；(2)导体表面处的电场垂直导体表面，即月表面;(3)导体是等势体，表面是等势面。8.1.2静电平衡时导体上电荷的分布1.内部各处净电荷为零，净电荷只能分布在表面2.表面某处电荷面密度正比于该处的电场，即3.孤立导体表面电荷分布由导体形状决定其表面面电荷密度与各点的曲率半径有关，曲 率半径大处面电荷密度小，曲率半径小处面电荷密 度大。例:A、B为靠得很近的两块平行金属板，板的面积 为S,板间距为d,使A、B板带电分别为q A与Qb，qA大于Qb求各板两侧所带的电量。解:设各侧面所带的电量及面电荷密度如图因板相互靠得很近，可近似当无 限大带电平面分析，对A、B板内 的A、B点，板内的电场为0qA+qR Qa qBQi 二一-必二一-乙 乙Qb“3 4B 14QaA5 a2O O4 O3 IllEI=5=。4=2+%=/2S%将方向向左，Em方向向右4%En=基=鼠=止血 E方向向右4%2S%二、利用四个无限大带电平面共同产生电场的叠加结 果同上。维一个带电金属球半径打,带电量外,放在另一个带 电球壳内，其内外半径分别为&2、4，球壳带电量为9。试求此系统的电荷、电场分布以及球与球壳间的电势差。如果用导线将球壳和球接一下又将如何？解:设球壳内外表面电量为夕2、夕3，在球壳内作一 半径为，的高斯面，由高斯 定理得到%+%=0由电荷守恒定律=-%=夕+外母，什及3)E=4/在金属球与金属壳内部的场强为零所以金属球A与金属壳B之间的电势差为:UAB4兀户/（J_L）4%居与如果用导线将球和球壳接一下，则金属球壳B的内 表面和金属球A球表面的电荷会完全中和，重新达 到静电平衡，二者之间的场强和电势差均为零。%=0%=%=g+%球壳外表面仍保持有夕1+夕的 电量，而且均匀分布，它外 面的电场仍为E=q 1+q4兀断2自，（r 火3）8.1.3静电屏蔽 1.腔内无隔离电荷2.腔内有隔离电荷练习题；.空腔导体是半径分别为和Rz、带电量为Q 的导体球壳，里面有一半径为、带电量为q同心导体 小球。求（1）小球的电势；（2）空腔导体球壳的电 势；（3）若球壳接地，小球与球壳的电势差；（4）再将球壳绝缘而小球接地，求小球所带的电荷量及球 壳的电势。解:（1）静电平衡时，球壳内表面带电荷q,外表 面有Q+q14%(4)小球接地，静电平衡,电荷重新分配，设小球上 有电荷为球壳内表面 有外表面就有q+q/，小球接地电势为0一外+Z1)=O4 加 r R R?U _L 4RxR2-r R2+喝q+q=q SRJ1,极化电荷与00反号在交界面处自由电荷和极化电荷的总电荷量为4兀A r=%r是自由电荷量的1/与倍例:85：如图,平行板面积为S,板间距离为d,接 在电压为V的电源上，介质的相对介电常数为跖。求（1）（2）两种接法板内各处的电场、自由电荷与束缚电荷 面密度。r；（1）设两边的电场即电荷面密度如图所示VExd E2d 匕/.ExE2 dr y V 陇二 w0 a a(1)小小2号 a d小（TT(2)|+2|=r 2/.巴+生=彳%。3生+旦二更.bo=2.0/2 d d(l+j)2sy 厂 2忆 772 P/o-艮二 E.=d(l+j)d(l+j)-d(l+j)%，b=。bo 2/&o d(1+j)=(1-1)2go F 4。+?)8.5静电场的能量 能量密度带电电容器（带电量为Q,电压为U）的能量为:W=-CU2=-QU e 2C 2 2电场的能量密度：w _ _ 1 p p F2 1喙2 2以上结论对任意电场均成立W=wed V=-rE2d V=-DEd VV V 2 V 2积分遍及电场分布的空间例题:求半径为R带电量为。的均匀带电球的静电能解一:计算定域在电场中的能量 带电球的电场分布为：E=小为 ，*依Q。尸4宓0氏3()立二一乌尸,4您0 r20兀4火24兀/d r第九章恒定电流9.1电流电流密度电流强度/单位时间内通过导体任一截面的电量I-lim =方向:正电荷运动的方向o 加 d t电流密度矢量 j大小等于单位时间内在该点附近垂直于电荷运动 方向的单位截面上所通过的电量v _ d/_ d q,一承一山d S,方向为该点处正电荷的运动方向（电场的方向）同轴电缆的漏电阻。n r 1 n d r p i R2d R=p-二二 1nhJ E 2 勿a 2 必 R、9.2.3欧姆定律的微分形式如图一段电阻率为p的导体 电阻R为：R p dS据一段均匀导体的欧姆定律有d i=d V d VR pd ld l _ d V dS p dlj=再欧姆定律的微分形式9.4