二阶常系数线性齐次微分方程.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四节 二阶常系数线性齐次微分方程,方程,为二阶常系数线性微分方程,其中 、是已知常数,且,为二阶常系数线性,齐次,微分方程,下面介绍方程,解的结构,.,证明,也是 的,解,，其中 、为任意常数,定理,5-1,若函数、是方程 的两个解，则,把、代,入,方程,的左边，得,、线性无关，是指不存在不全为零的常数,、,使,即,常数,否则称 、线性相关,定理,5-2,若函数、是,方程,的两个线性无关的特解，则,是方程 的,通解,其中 、为任意常数,将其代入,以上,方程,得,故有,特征方程,特征根,由定理,5-2,求方程 的通解的关键是先要求出它的,两个线性无关的特解,.,由于方程具有线性常系数的特点,而指数函数的导数仍为指数函数,故我们可假设方程有形如 的解,.,的解法,方程有,两个线性无关的特解,所以,方程的通解为,特征根为,(,),当,特征方程,有两相异实根,根据判别式的符号不同,分下面三种情况讨论,(2),当,方程有两个相等的实根,一特解为,特征根为,若 是原方程的解,应有,所以,方程的通解为,将 代,入,以上方程,得,因,故,所以,特征根为,(3),当,方程有一对共轭复根,利用欧拉公式,可,将 和 改写成如下形式,重新组合,得方程的通解为,不,难看出 和 线性无关,求解,二阶常系数齐次,线性,微分方程的一般步骤,:,（,1,）写出相应的特征方程,;,（,2,）求出特征根,;,（,3,）根据特征根的不同情况,按下表写出方程,的通解,.,(4),若问题要求出满足初始条件的特解,再把初始条件代入通解中,即可确定 、,从而获得满足初始条件的特解,.,例,5-13,求下列方程的通解,解,(1),特征方程为,所以方程的通解为,解得,所以方程的通解为,解得,(2),特征方程为,所以方程的通解为,(3),特征方程为,解得,解 特征方程为,即,特征方程有两个不相等的实数根,所以所求方程的通解为,对上式,求导,得,例,5-14,求方程 满足初始条件,、的,特,解,.,将 、代,入,以上二式,得,解此,方程组，得,所以所求特解为,解 特征方程为,例,5-15,求方程 满足初始条件,、的,特,解,.,即,特征方程有两个相等的实数根,所以所求方程的通解为,对上式,求导,得,将 、代,入,以上二式,得,解此,方程组，得,所以所求特解为,解 特征方程为,特征根为,所以所求方程的通解为,例,5-16,求方程 满足初始条件,、的,特,解,.,对上式,求导,得,所以所求特解为,将 、代,入,以上二式,得,主要内容,二阶常系数线性齐次微分方程及其解法,解法,特征方程法,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为,特征方程法,.,