高数课件14凹凸性.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,曲线的凹凸与拐点,前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。,o,y,x,L,3,L,2,L,1,A,B,如,右图,所示,L,1,，,L,2,，,L,3,虽然都是从,A,点,单调上升到,B,点，但它们的弯曲方向却不一样。,L,1,是“凸”弧，,L,2,是“凹”弧,，,L,3,既有凸弧，也有凹弧，,这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的。,一、曲线凹凸的定义,问题,:,如何研究曲线的弯曲方向,?,图形上任意弧段位,于所张弦的上方,图形上任意弧段位,于所张弦的下方,定义,二、曲线凹凸的判定,定理,1,证明,分别应用,L,定理，得,两式相减，得,由,假设,这就,证明了,同理可证（,1,）,注,定理的结论可推广到任意区间上,例1,解,注意到,三、曲线的拐点及其求法,1.,定义,注意,:,拐点处的切线必在拐点处穿过曲线,.,2.,拐点的求法,证,方法,1:,例2,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,方法,2:,例3,解,注意,:,例4,假定,f,(,x,),在,x,=,x,0,处具有直到,n,阶的连续导数，且,这里,n,为奇数,3,，,证,由高阶导数判定极值的方法知,不妨设为,极小值,二阶导数变号，,例5,解,例6,求,曲线,的,拐点,解,是,拐点,例7,Jensen,不等式,证,由,Taylor,公式，得,各式乘以,再,相加，得,=1,=1,四、小结,曲线的弯曲方向,凹凸性,;,改变弯曲方向的点,拐点,;,凹凸性的判定,.,拐点的求法,1,2.,思考题,思考题解答,例,