人教版高中数学课件：平面几何中的向量方法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,平面向量应用举例,第一课时 平面几何中的向量方法,知识回顾,1.,两个向量的数量积,：,2.,平面两向量夹角公式,:,3.,求模：,4.,共线向量定理：,5,、,平面向量基本定理：,6,、非零不共线向量满足,，,则,m=,n=.,0,0,由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题,例,1,：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型如图，,你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？,A,B,C,D,DB,AB,AD,AC,AB,AD,，,猜想,：长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？,类比猜想,：平行四边形有相似关系吗？,A,B,C,D,分析,：不妨设,AB,a,，,AD,b,则,AC,a,b,，,DB,a,b,a,b,|,AB,|,2,|,a|,2,，,|,AD,|,2,|,b|,2,遇到有关长度的问题时，我们常常需要考虑向量的数量积以及求模公式,A,B,C,D,解,：,a,b,|,AC,|,2,AC,AC,(,a,b,),(,a,b,),a,a,a,b,b,a,b,b,|,a|,2,2,a,b,|,b|,2,同理,|,BD,|,2,|,a|,2,2,a,b,|,b|,2,所以,|,AC,|,2,|,BD,|,2,2(|,a|,2,|,b|,2,),2(|,AB|,2,|,AD|,2,),1),建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；,2),通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；,3),把运算结果,“,翻译,”,成几何元素,用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：,可简单的表述为：,形到向量,向量的运算,向量和数到形,例,1,：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型如图，,你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？,A,B,C,D,DB,AB,AD,AC,AB,AD,，,思考？,如果不用向量的方法，你能证明上述关系吗？,例,2,：如图，,ABCD,中，点,E,、,F,分别是,AD,、,DC,边的中点，,BE,、,BF,分别与,AC,交于,R,、,T,两点，你能发现,AR,、,RT,、,TC,之间的关系吗？,A,B,C,D,E,F,R,T,猜想：,AR,RT,TC,A,B,C,D,E,F,R,T,解：第一步：,形到向量,设则,AB,a,，,AD,b,，,AR,r,，,AC,a,b,第二步：,向量的运算,由于,AR,与,AC,共线，,故设,r,=,n,(,a,+,b,),，,n,R,又因为,ER,与,EB,共线，,所以设,ER,m,EB,m,(,a,b,),，,1,2,A,B,C,D,E,F,R,T,因为,AR,AE,ER,，,所以,r,b,m,(,a,b,),，,1,2,1,2,因此,n,(,a,+,b,),b,m,(,a,b,),，,1,2,1,2,即,(,n,m,),a,(,n,+,),b,0,m,-,1,2,由于向量,a,，,b,不共线，,n,m,0,n,0,m,-1,2,1,3,解得：,n,m,A,B,C,D,E,F,R,T,所以,AR,AC,，,1,3,同理,TC,AC,，,1,3,于是,RT,AC,，,1,3,第三步：,向量和数到形,故,AT,RT,TC,1,、已知：,AD,、,BE,、,CF,是,ABC,的三条中线；,求证：,AD,、,BE,、,CF,交于一点,2,、,已知,ABC,的三个顶点,A,(,x,1,，,y,1),，,B,(,x,2,，,y,2),，,C,(,x,3,，,y,3),，则重心,G,的坐标为,_,3,、用向量法证明：三角形三条高线交于一点,1,、已知：,AD,、,BE,、,CF,是,ABC,的三条中线；,求证：,AD,、,BE,、,CF,交于一点,证明：如图,AD,、,BE,相交于点,G,，联结,DE,A,B,C,D,E,G,F,易知,GDE,GAB,，,DE,AB,1,2,所以，,BG,BE,2,3,CG,CB,+,BG,CB,+,BE,2,3,CB,+,(,CA,-,CB,),2,3,1,2,(,CB,+,CA,),1,3,1,、已知：,AD,、,BE,、,CF,是,ABC,的三条中线；,求证：,AD,、,BE,、,CF,交于一点,因此,C,、,G,、,F,三点在同一直线上,所以，,AD,、,BE,、,CF,交于一点,所以,CG,CF,，,2,3,(,CB,CA,),1,3,即,CG,又因为,CF,(,CB,CA,),1,2,A,B,C,D,E,G,F,2,、已知,ABC,的三个顶点,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),，,C,(,x,3,，,y,3,),，则重心,G,的坐标为,_,(,，,),x,1,+,x,2,+,x,3,3,y,1,+,y,2,+,y,3,3,OG,OA,AG,OA,AD,2,3,OA,(,AB,AC,),1,3,OA,(,OB,OA,OC,OA,),1,3,OA,OB,OC,3,解：设原点为,O,，则,3,、用向量法证明：三角形三条高线交于一点,A,B,C,D,E,H,F,证明：设,H,是高线,BE,、,CF,的交点，,且设,AB,a,，,AC,b,，,AH,h,，,则有,BH,h,a,，,CH,h,b,，,BC,b,a,所以,(,h,a,),b,(,h,b,),a,0,化简得,h,(,a,b,),0,AH,BC,因为,BH,AC,，,CH,AB,所以，三角形三条高线交于一点,四边形,ABCD,中，,AB,a,，,BC,b,，,CD,c,，,DA,d,，且,a,b,b,c,c,d,d,a,，试判断四边形,ABCD,的形状,参考答案：,四边形,ABCD,为矩形,ABC,中，,D,、,E,、,F,分别是,AB,、,BC,、,CA,的中点，,BF,与,CD,交于点,O,，设,AB,a,，,AC,b,(1),用,a,、,b,表示向量,AO,(2),证明,A,、,O,、,E,三点在同一直线上，且有,2,AO,OE,BO,OF,CO,OD,作业,