多元复合函数微分法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等院校非数学类本科数学课程,多元微积分学,大 学 数 学,（,三,）,脚本编写：彭亚新,课件制作：彭亚新,第五讲 多元复合函数微分法,主讲教师：彭亚新,第一章 多元函数微分学,第五,节 多元复合函数微分法,熟悉多元函数全导数的概念和计算方法。,熟练掌握复合函数的链导法则。,能熟练地、准确地计算二、三元复合函数的导数。,了解全微分形式不变性。,本节教学要求：,请点击,第五节 多元复合函数微分法,一,.,全 导 数,三,.,全微分形式不变性,二,.,链导法则,多元函数经复合运算后,一般仍,是多元函数,但也可能成为一元函数,.,按前面关于多元函数的讨论方法,复,合函数求导法则的研究可从复合后成,为一元函数的情况开始,.,这就是全导数问题,.,一,.,全导数,下面看另一种解法,.,例,解,例,解,你能由此猜想到多元函数的复合函数求导法则吗？,+,将例,中的情形进行一般性的描述,由此可推至一般的情况,(,全导数公式,),定理,+,全导数公式图示,(,全导数公式,),现在证明定理,定理,从而,由一元函数导数导定义,取,的极限,:,给,x,以增量,相应地有,证,由,可导,故,必连续,从而,时,定理获证,为什么取,绝对值,?,设,求,令,则,例,解,设以下函数满足定理的条件,写出二元和三元函数的全导数公式,:,请同学自己写,例,开始对答案,你做对了吗,?,一般多元复合函数的求导法则,二,.,链导法则,假设所有出现的函数求导运算均成立,试想一下如何求下面函数的导数：,将,y,看成常数,将,x,看成常数,分别将,x,y,看成常数,按全导数公式求导,而在具体运算时,实质上又是求多元函数的偏导数,.,从上面的作法可以看出,将复合的多元函,求函数偏导数,.,全导数公式求导,在具体求导过程中实质上是,数中其余的变量看成常数,对某一个变量运用,你能由此得出多元复合函数,的求导法则吗,?,定理,设,在点,对应点,可微,则,复合函数,在点,处可导,且,处均可导,且,在,m,个,n,元函数,一个,m,元函数,一个,n,元函数,定理,设,在点,对应点,可微,则,复合函数,在点,处可导,且,处均可导,且,在,m,个,n,元函数,一个,m,元函数,一个,n,元函数,该定理可视为全导数定理的推广,:,看成常数,运用全导数公式,将求导记号作相应改变即可证明该定理,.,将诸,设,满足,定理的条件,则有,例,设,求,例,解,设,求,例,解,设,求,令,则,关于,u,的,一元函数,例,解,设,求,自己做,例,解,设,其中,求,令,则,例,解,设,函数,均可微,求,g,g,例,解,设,函数,均可微,求,g,g,例,解,记得吗,?,一元函数的微分有一个重要性质：,一阶微分形式不变性,对函数,不论,u,是自变量,还是中间变量,在可微的条件下,均有,三,.,全微分形式不变性,对二元函数,来说,在可微的条件下,f,的全微分总可写为：,不论,x,和,y,是自变量还是中间变量,详细的推导过程请同学自己看书,.,设,不论,是自变量,还是中间变量,在可微的条件下,均有,一般说来,:,设,应用全微分形式不变性求,与,比较,得,例,解,设,应用全微分形式不变性求,与,比较,得,例,解,