第2章贝齐尔曲线和B.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章贝齐尔曲线和,B,样条曲线,随着计算机的发展，人们希望通过计算机对飞机、船体和汽车的外形进行设计。,20,世纪,60,年代，人们已经研究出三次样条函数，并将其作为描述飞机等几何行体的数学模型。,到了,70,年代，法国雷诺汽车公司的工程师贝齐尔（,Bezier,）创造出一种适用于几何体外形设计的新的曲线表示法。,这种方法的优越性在于：对于在平面上随手勾画出的一个多边形（称为特征多边形），只要把其顶点的坐标输入计算机，经过计算，绘图机就会自动画出同这个多边形很相象，又十分光滑的一条曲线，这种方法称为贝齐尔,(Bezier),方法。,贝齐尔,(Bezier),方法的实际是把复杂曲线的描绘转化成简单的多边形描绘。,2.1,贝齐尔曲线,贝齐尔曲线的形状是通过一组多边形（也称为贝齐尔控制多边形）的各顶点唯一地定义出来的。,在该多边形的各个顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上，其余的顶点则用来定义曲线的形状。,第一条边和最后一条边则表示出了曲线在起点处和终点处的切线方向。即第一条边和最后一条边分别和曲线在起点和终点处相切，曲线的形状趋向于多边形折线的形状。,改变多边形折线的顶点位置和曲线形状的变化有着直观的联系。,称为,n,次,Bernstein,多项式的基函数，贝齐尔曲线是以,Bernstein,多项式的基函数构造而成的。,在外形设计中，给出一组初始型值点,P,k,(k,=0,1,n),将它们按顺序连接为一个多边形，称为,控制多边形,。型值点与,Bernstein,多项式的基函数的线性组合：,称为,n,次,贝齐尔曲线,。,说明,Bezier,曲线在两端点处的切矢方向与控制多边形的第一条边和最后一条边一致的,计算曲线上的点,t 0 0.25 0.5 0.75 1,X 1 1.45 1.63 1.98 3,Y 1 0.84 0.5 0.16 0,绘制曲线,P,0,P,1,P,2,P,3,绘制贝齐尔曲线的算法：,Input x(k),y(k)(k=0,1,2,n),画出控制多边形,定义变量,m,x1(m),y1(m),For j=0 to m,t=j/m,x1(j)=0,y1(j)=0,For k=0 to n,bk,=,jc(n),/(jc(k,)*,jc(n-k,)*,t(k,)*(1-t)(n-k),x1(j)=x1(j)+,bk,*x(k),y1(j)=y1(j)+,bk,*y(k),Next k,Next j,绘制,(m+1),个插值点,绘出的图形,自定义函数,2.2,B,样条曲线,B,样条曲线是以,B,样条函数为基函数构造而成的。为了定义,B,样条曲线,首先给出,n,次截幂函数和,n,阶,B,样条函数的定义。,初始型值点与,B,样条函数的线性组合：,称为,m,次,B,样条曲线,。它是参数,t,具有,m-1,阶连续导数的分段,m,次多项式。,2.3 B,样条曲线,当,m,1,时，一次,B,样条曲线,S,1,(t),是连接,P,i,(i=0,1,，,n),的折线段（即初始型值点的控制多边形）。,当,m=2,时,二次,B,样条曲线,S,2,(t),是以型值点,P,i,(i=0,1,，,n),为控制多边形的光滑曲线。,事实上，可取,L0,，,1,，,，,n-2,分析,(L+1/2)/n t(L+3/2)/n,时,S,2,(t),的表达式。,令,t=(u+L+1/2)/n,，,则有,nt-k,=u+L+1/2-k,，,(,u1),。,当,kL+2,时,kL+3,，,u+L+1/2-ku+L+1/2-(L+3)=u-5/2-3/2,。,由于,M,(x),的局部非零性，,即当,|x|3/2,时，,M,3,(x),。,于是，,可以看出，,S,在子区间,u1,上仅依赖于位矢,P,L,，,P,L+,，,P,L+2,。即改变,P,L,，,P,L+,，,P,L+2,仅影响,B,样条曲线的局部形状，这是,B,样条曲线的重要特征。,二次,B,样条曲线,S2(u),可以分,n-2,段绘出，每段曲线上任意点的坐标为,:,计算曲线上的点,u 0 0.25 0.5 0.75 1,X 1.5 1.69 1.75 1.69 1.5,Y 1 0.97 0.875 0.72 0.5,L=0,时，过点,(1,1),(2,1),(1,0),的曲线方程,绘制曲线,P,0,P,1,P,2,P,3,计算曲线上的点,u 0 0.25 0.5 0.75 1,X 1.5 1.34 1.38 1.59 2,Y 0.5 0.28 0.125 0.03 0,L=1,时，过点,(2,1),(1,0),(3,0),的曲线方程,绘制曲线,P,0,P,1,P,2,P,3,绘制二次,B,样条曲线的算法：,Input x(k),y(k)(k=0,1,2,n),画出控制多边形,For l=0 to n-2,for i=0 to m,u=i/m,x1(i),=u2(Xl,2Xl+1+Xl+2)/2+u(-Xl)+Xl+1)+(Xl+Xl+1)/2,Y1(i)=u2(Yl,2Yl+1+Yl+2)/2+u(-Yl)+Yl+1)+(Yl+Yl+1)/2,Next I,绘制,(m+1),个插值点,绘出的图形,Next l,2.4,自由曲线,设计自由曲线要求出现直线段。只要适当选取,P,l,，,P,l+1,，,P,l+2,并使它们共线即可。,设计的曲线要求出现尖点，只需要在出现尖点处将型值点的序号重复编号。,一、设计自由曲线要求出现直线段。只要适当选取,P,l,，,P,l+1,，,P,l+2,并使它们共线即可。,二、,设计的曲线要求出现尖点，只需要在出现尖点处将型值点的序号重复编号。,绘制如下的二次,B,样条曲线,2.5,应用实例,1984,年，复旦大学苏步青教授在“迅速发展的几何学”一文中介绍了他将贝齐尔方法和,B,样条方法应用于工程设计的工作。,