大学物理课后题答案.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,课后习题课件,第一章 质点的运动规律,1.一质点具有恒定加速度 ，在 时，其初速度为零，初位置为 。求（1）任意时刻的速度和位置矢量；（2）质点的轨迹方程，并画出轨迹示意图。,时,解：（1）任意时刻比速度和位置矢量,（2）质点轨迹,得,x,y,10,质点的轨迹图,2.一身高为 的人，用绳子拉一雪橇奔跑，雪橇放在高出地面 的光滑平台上，若人奔跑的速率 ，求雪橇的速度、加速度。,解：方法1：建立,Ox,如习题2图（,a,）,并没,t,=0,时人在滑轮,A,的,正下方，则雪橇的运动方程为：,雪橇的速度为,运动方向与,x,方向相反,雪橇的加速度,习题,2,图（,a,）,o,x,习题,2,图（,b,）,o,A,A,D,方法二：建立坐标 ，如习题2图（,b,）,并设,t,=0,时人在滑轮,A,的正下方，有 ,l,为,t,时刻绳,AD,长，是,t,时刻人的坐标，均为变值。,雪 橇的速率,人的速率,对（1）式求导,雪橇运动方向与 正方向相同,3.一球以 的速率水平抛出，求 后的切向加速度和法向加速度。,解：,方法1：速率,方法2：切向单位矢量,切向加速度大小,将,4.,一质点由静止出发，它的加速度在 轴的分量为,，在 轴的分量为 ，求,5s,时质点的速度、位置。,解：,5.设从某一点 ，以同样的速率，沿着同一铅直面内各个不同方向，同时抛出几个物体，试证，在任意时刻，这几个物体总是散落在某一圆周上。,证明：以抛出点为坐标原点，抛体初速率 为与,x,轴夹角为 ，斜抛运动方程：,可得到 ,与 角无关，任一时刻，它,们都在半径为 ,圆心为（0，-）的圆周上。,6.一质点沿半径为 的圆周按规律 运动，都是常数，求：,（1）时刻质点的总加速度；,（2）为何值时总加速度在数值上等于？,（3）当加速度达到 时，质点已沿圆周运行了多少圈。,解：（1）,t,时刻为总加速度,速率,切向加速度 法向加速度,总加速度大小,（,2,）,a=b,a,2,=,b,2,（,3,）,当加速度到达,b,时，将 代入,质点转的圈数,7.一列车正以 的速率水平向西行驶，相对地面铅垂下落的雨滴客车窗上形成的雨迹与窗上竖直方向成 夹角。试求：,（1）雨滴相对于地面的水平分速度为多大？相对于客车的水平分速度又有多大？,（2）雨滴相对于地面、客车的速度又分别如何？,V,u,x,y,7,题图,解：设 车相对地的速度,雨相对地的速度,雨相对车的速度,根据题意，可画出如下矢量图,（1）在水平方向矢量为零,在水平方向矢量为：,（2）雨滴相对地面速度大小为,雨滴相对客车大小为,（或 ）,8.一汽车在雨中沿直线行驶，其速率为 ,下落雨滴的速度方向偏铅直方向之前 角，速率为 .若车后有一长方形物体，问车速度 为多大时此物体正好不会被雨水淋湿？,3.7,题图,l,即,:,-(2),即,:,-(3),由速度合成公式,做矢量图,:,如图,a,解；雨点为研究对象，地面为静止参考系，汽车为运动参考系，要使物体不被淋湿，则雨点相对于汽车的速度的方向应满足：,由条件,(1),及,(2),、（,3,）得,:,偏铅直方向之前 角，,做矢量图:如图,b,即:,-(2),即:,-(3),9.求图中各物体的加速度和绳的张力，设,.,习题,1-9,图,N,mg,T,解：,11.一长为,L,的柔软链条，开始静止地放在一光滑表面,ABC,上，其一端,D,至,B,的距离为,L-a，,试证当,D,端至,B,点时，链条速率为,L,a,a,习题,11,图,证明：设任一时刻斜面上链长为,x,；,质量为 .,平面上的质量为,解得,积分得,12.质量为 的物体最初位于 处，在力 作用下由静止开始沿直线运动，试证它在,x,处的速度为,解：牛顿定律,13.一质量为,m,的质点,沿,x,轴运动,运动学方程为 (,A,为常数),证明其受力形式为:,14.质量为,m,的质点的运动方程为 ,其中,a,b,c,d,均为常数,t,为时间,单位是国际单位,求证质点受恒力作用,并求力的大小和方向.,15.一质量为,m,的质点,在力 的作用下运动,t=0,时,求质点在任意时刻的位置和速度.,16.如图,小车以加速度,a,沿水平方向运动,小车内有一光滑桌面,滑轮质量不计,绳子质量不计且不可伸长,绳与滑轮之间摩擦不计,质量为,m,1,和,m,2,的质点连于绳两端,m,相对车厢偏离铅直方向30,o,求车厢的加速度和绳中的张力.,解:选择向右为正方向,对于,m,1,有:,其中,a,是,m,1,相对与车的加速度.对于,m,2,选择沿绳方向有:,对于垂直于绳方向有:,解,方程(1)、（2）、（3)得,第二章 运动的守恒定律,1.机械能守恒的条件是什么?动量守恒的条件是什么?分析下述系统中机械能、动量是否守恒：,（1),如图2-1,a,两个物体,A、B,由弹簧连接，静止的放在光滑水平面上，用大小相等、方向相反的力分别作用在物体,A,和物体,B,上，作用过程中，系统的机械能、动量是否守恒、,（2)两个物体,A、B,由弹簧连接，静止的放在光滑水平面上，若在物体,A,上放置物体,C，,在物体,B,上放置物体,D，,如图2-1,b，A,与,C,和,B,与,D,之间有摩擦力，用力将,A,和,B,拉开一定距离后放手，此后系统机械能、动量是否守恒？,图2-1,a,图2-1,b,如果系统所受的外力之和为零则动量守恒。,如果一个系统内只有保守内力做功，或者非保守内力与外力的总功为零，则系统机械能守恒。,(,1).机械能不守恒，动量守恒。,（,2).若无相对滑动,则机械能守恒,动量守恒.,若有相对滑动,则机械能不守恒,动量守恒.,2.在某过程中若系统受到的外力的冲量总和为零，是否动量一定守恒？,3.在系统内部，内力是作用力和反作用力，其大小相等、方向相反，那么一对内力对系统的做功之和是否一定为零？一对内力对系统的冲量之和是否一定为零,成对作用力与反作用力所作的总功只与作用力 及相对位移,有关。所以,一对内力对系统的做功之和不一定为零.由,于合力为零,所以,一对内力对系统的冲量之和一定为零,根据质点系的动量定理,作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量。,4如图，一绳索跨过无摩擦的滑轮,系在质量为1.00,kg,的物体上,起初物体静止在无摩擦的水平面上,若用5,N,的恒力作用在绳索的一端,使物体向右运动,当系在物体上的绳索从与水平面成 变为 角时,力对物体所作的功为多少?已知滑轮与水平面之间的距离为1,m,2.1,题图,解法一,：按照功的定义：,考虑到 均为变量，所以要统一变量，由图可知 ，,则,解法二,：根据功的意义，功等于力的大小乘以力的作用点的位移，作用点的位移就是图中三角形的斜边的长短变化即：,所以,5如图，一重物从高度为 处的,A,点沿光滑轨道滑下后,在环内作圆周运动。设圆环半径为 ，若要重物转到圆环顶点,B,处刚好不脱离，高度至少要多少？,解：,物体在圆环顶点不掉下来的条件是轨道对重物的支撑力,在,B,点对物体受力分析并列动力学方程：,由此而得在,B,点的速度满足：,-,（,1,）,由,A,点到,B,的过程是机械能守恒过程：,-,（,2,）,将（,1,）代入（,2,）得物体在,A,点的高度满足：,2.2题图,B,A,N,mg,6如图，设地球在太阳的引力作用下，绕太阳作匀速圆周运动，问：在下述情况下：（1）地球从 点运动到 点；（2）地球从 点运动到 点；（3）地球从 点出发绕行一周后回到 点，地球的动量增量和所受到的冲量各为多少？,太阳,地球,2.3,题图,解,：（,1,）,7 铁路上有一静止的平板车，其质量为,M,，,设平板车可在水平轨道上无摩擦的运动，现有 个人从平板车的后端跳下，每个人的质量为 ，相对平板车的速度均为 ，求：在下列两种情况下，（1）个人同时跳下；（2）一个一个地跳下，平板车的末速是多少？,解：（,1,）,N,个一起跳,由于轨道无摩擦力，所以在水平方向无外力所以水平方向动量守恒：,-,（,1,）,-,（,2,）,（,2,）一个一个地跳下：,一个跳下后：,-,（,1,）,二个跳下后：,-,（,2,）,同理：,-,（,3,）,-,（,N,）,将上述,N,个式子相加得：,8质量为 的重锤,从高度为 处自由落到锻压工件上如图,使工件变形。如果作用时间：（1）,；（2），求锤对工件的平均冲力。,2.5,题图,(1),(2),解,:,9质量为 的木块静止在光滑的水平面上。一质量为 的子弹以速率 水平入射到木块内，并与木块一起运动。已知 ，求：,（1）木块对子弹作用力的功；,（2）子弹对木块作用力的功；,（3）耗散掉的机械能。,解:动量守恒:,(,1).,(,2).,(,3).,10.如图，有一自动卸货车，满载时的质量为 ，空载时的重量为 ,从与水平成 角的斜面上的 点由静止滑下，设斜面对车的阻力是车重的0.25倍，矿车下滑的距离为 时，矿车与缓冲弹簧一道沿斜面运动，当矿车使弹簧产生最大形变时，矿车自动卸货，然后在弹簧的作用下自动返回 点装货，试问：要完成这一过程，空载时和满载时的车的质量比是多少？,2.7,题图,解：根据系统的功能原理：,o,x,11一个人从10,m,深的井中提水，起始时桶中装有10,kg,水，由于水桶漏水，每升高一米，漏去0.2,kg,的水，求水桶匀速从井中提到井口，人所做的功？,解：,12.有两个带电粒子,它们的质量均为 ,电荷量均为 ,其中一个静止,另一个以初速 由无限远向其运动,问:这两个粒子最接近的距离为多少?在这一瞬间.两个粒子的速率是多少?你能知道这两个粒子的速度将如何变化吗?(已知库仑定理为 ),解,:,距离最近时两个粒子的速率相等,在过程中只考虑库仑力的功,应用系统的动能原理,:,过程中系统动量守恒,:,联解,(1)(2),得：,-(1),2.10,题图,13如图,质量为 的卡车,载有质量为 的木箱,以速率 沿平直路面行驶,因故突然刹车,车轮立刻停止转动,卡车和木箱都向前滑行,木箱在卡车向前滑行了 ,并和卡车同时停止,已知卡车和木箱、卡车和地面之间的滑动摩擦系数分别为 和 ，求卡车的滑行距离 。,解,:,应用系统的功能原理得,:,左边第一项是内非保守力的功,第二项是外力的功,右边是系统机械能的增量,.,解方程得,:,2.11,题图,14在光滑水平面上有一弹簧，一端固定，另一端连接一质量为 的滑块，如图，弹簧的自然长度为 ，劲度系数为 ，设,时，弹簧长为 ，滑块速度为 ，与弹簧垂直。某一时刻弹簧位于与初始位置垂直的位置，长度为 ，求：该时刻滑块速度的大小和方向？,解,:,角动量守恒,:,-(1),过程中系统的机械能守恒,:,-(2),代入,(1),得,:,第三章 机械振动,1.符合什么规律的运动是简谐运动?说明下列运动是不是简谐运动：,(1)完全弹性球在硬地面上的跳动；,(2)活塞的往复运动；,(3)如图所示，一球沿半径很大的光滑凹球面滚动(设球所经过的弧线很短)；,(4)竖直悬挂的弹簧上挂一重物，把重物从静止位置拉下一段距离(在弹性限度内)，然后放手任其运动。,答：符合 或关系式 的运动是简谐振动。,是。分析过程类似单摆。,是。分析过程见例题,不是。虽然完全弹性碰撞过程中能量守恒，但球在运动的过程中受到的力不符合 关系式。,不是。有摩擦力作功，不符合 关系式,2.一个单摆的摆长为,l，,摆球的的质量为,m，,当其作小角度摆动时，试问在下列情况下的周期各为多少?(设地球上的重力加速度为,g),(1),在月球上，已知月球上的重力加速度,g,0,=1/6g；,(2),在环绕地球的同步卫星上；,(3)在以加速度,a,上升的升降机中；,(4)在以加速度,a(g),下降的升降机中。,答：单摆的周期公式为：,（1）不变，减小，所以周期增大。,不变，变为 ，所以周期变为,不变，变为 ，所以周期变为,不变,3.一个小球和轻弹簧组成的系统，按,x=0.05cos(8t+/3)(SI),的规律振动。,(1)求振动的角频率、周期、振幅、初相、最大速度及最大加速度；,(2)求,t=1,秒、2秒、10秒等时刻的位相；,(3)分别画出位移、速度、加速度与时间的关系曲线。,解、（1）角频率 ；周期,振幅 ；初相,（2）时，相位,时，相位,4.有一个和轻弹簧相连的小球，沿,x,轴作振幅为,A,的简谐振动。该振动的表达式用余弦函数表示。若,t=0,时，球的运动状态为：(1),x,0,=-A；(2),过平衡位置向,x,正方向运动；(3)过,x=A/2，,且向,x,负方向运动。试用矢量图法分别确定相应的初相。,解：（1）可得 。见图示 。,（2）小球过平衡位置向,X,正方向运动，可得 。见图示 。,（3）小球过 ，且向,X,负方向运动，可得 。见图示 。,A,1,A,2,A,3,x,o,A/2,4题图,5.如图所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为,k,1,和,k,2,，,物体的光滑斜面上振动。,(1)证明其运动仍是简谐振动；,(2)求系统的振动频率。,x,x,5题图,证明：设系统平衡时物体所在位置为坐标原点,O，OX,轴正向沿斜面向下（如图示），由受力分析可知，沿,OX,轴物体受弹性力和重力分力的作用，其中弹性力是变力。我们分析物体在任意一位置时受力与位移的关系，这里要用到：串联的弹簧，各弹簧受力相等。设物体平衡时两弹簧伸长分别为 、，则由物体受力平衡有，,（1）,按图所取坐标，物体沿 轴移动位移 时，两弹簧又分别伸长为,、，即 。,则物体受力为,（2）,由式（3）得 ，而 ，则得到,，式中 为常数，,则说明物体是做简谐运动，振动频率为,，证毕。,将式（1）代入（2）得,（3）,6.,已知一个谐振子的振动曲线如图所示，试由图线求：,(1),与,a,、,b,、,c,、,d,、,e,各状态相应的相；,(2),振动表达式；,(3),画出旋转矢量图,6,题图,a,a,b,c,d,2.0,4.4,e,解：（,1,）由旋转矢量图可给出：,点相位：。,点相位：。,（2）据图示可知：，,。,因此简谐振动的方程为：,（3）旋转矢量图见,6,题图,b,。,点相位：。点相位：。,点相位：。,时，小球过 ，且向,X,正方向运动，可得,A,a,A,e,A,b,A,c,x,o,A/2,6,题图,b,A,d,7.两个谐振子作同频率、同振幅的简谐振动。第一个振子的振动表达式为,x,1,=,Acos,(t+)，,当第一个振子从振动的正方向回到平衡位置时，第二个振子恰在正方向位移的端点。,求：(1)第二个振子的振动表达式和二者的相差；,(2)若,t=0,时，,x,1,=-A/2，,并向,x,负方向运动，画出二者的位移时间曲线及旋转矢量图。,解：将两振动的相位画在旋转矢量图上。,（1）由图可知二者的相差为：或 。,第2个振子的表达式为：,或,（2）时，小球过 ，且向,X,负方向运动，可得,因此简谐振动的方程为：；,因为相位差为,8.有一单摆，摆长为1.0,m，,最大摆角为5,0,。,(1)求摆的角频率和周期；,(2)设开始时摆角最大，试写出此单摆的运动方程；,(3)当摆角为3,0,时的角速度和摆球的线速度各为多少?,解：（1）单摆角频率及周期分别为：,（2）由 时 可得振动初相 ，则以角量,表示的简谐振动的方程为 （,rad,）,（3）摆角为 时，有,则这时质点的角速度为,线速度的大小为,9.在一块平板下装有弹簧，平板上放一质量1.0,kg,的重物，现使平板沿竖直方向作上下简谐运动，周期为0.50,s，,振幅为2.0,10,-2,m。,求：,(1)平板到最低点时，重物对平板的作用力；,(2)若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物会跳离平板?,(3)若振幅不变，则平板以多大的频率振动时，重物会跳离平板?,P,y,o,F,N,ny,9题图,按牛顿定律有：（1）,对简谐运动有：，,则（1）式变为：,(2),解：物体随板作简谐运动，并受重力,P,和支持力 的作用，其中,是变力。,（1）当重物在最低点时，相位 ，物体受板的支持力为：,重物对木块的作用力 与 大小相等，方向相反。,（2）当 时，最小，而重物恰好跳离平板的条件为 。,当频率不变时，设振幅为 。将 及 代入（2）得,（3）当振幅不变时，设频率为 。同样将 及,代入（2）,得,10.当重力加速度,g,改变,dg,时，试问单摆的周期,T,的变化,dT,如何?写出周期的变化,dT,/T,与重和加速度的变化,dg/g,之间的关系式。在,g=9.80,米/秒,2,处走时准确的一只钟，移至另一地点每天慢10秒，试用上式计算该地的重力加速度值。设该钟用单摆计时。,解：（1）单摆的周期公式为：,对其两侧进行 不变的微分得：,整理得，。,（2），二者之比为 ；,其中 ，,所以，,11.一个弹簧振子，弹簧劲度系数为,k=25,牛顿/米，当物体以初动能0.2焦耳和初势能0.6焦耳振动时，试回答下列各问：,(1)振幅是多大?,(2)位移是多大时，热能和动能相等?,(3)位移是振幅的一半时，势能多大?,解：（1）初始能量为：,所以 ，,（2）设位移为,X,时动能和势能相等，据机械能守恒有,，,(3)当 时，,12.如图所示，质量为1.010,-2,kg,的子弹，以500,m/s,的速度射入并嵌在木块中，同时使弹簧压缩从而作简谐运动，设木块的质量为4.99,kg，,弹簧的劲度系数为8.0010,3,N/m。,若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点，向左为,x,轴正向，求简谐运动方程。,解：子弹与木块发生完全非弹性碰撞，根据动量守恒有,碰后的速率为 =1,m/s,由简谐振动的能量守恒得：,当时 ，；（沿,X,轴方向运动）。,所以 因此简谐振动的方程为：,12题图,m,M,v,0,(1)此时的振动周期与空盘作振动的周期有何不同?,(2)此时的振幅为多大?,h,k,m,2,m,1,习题,3-13,图,13.如图所示，一劲度系数为,k,的轻弹簧，其下挂有一质量为,m,1,的空盘。现有一质量为,m,2,的物体从盘上方高为,h,处自由落到盘中，并和盘粘在一起振动，问：,解：（,1,）当质量 的物体自左高处自由落入盘中与盘一起振动，振子质量为 ，故振动周期,大于质空盘振动的周期,（2）与 完全弹性碰撞，动量守恒，设共同速度,V,解得,若将此时作为振动计时起点则初速 ；若将（）的平衡位置做为坐标原点，则初始位移为 ，根据初始位速条件可得振动振幅,习题,3-14,图,14.,如图所示，劲度系数为,k,的轻弹簧，系一质量为,m,1,的物体，在水平面上作振幅为,A,的简谐运动。有一质量为,m,2,的粘土，从高度为,h,处自由下落，正好在,(a),物体通过平衡位置时，,(b),物体在最大位移处时，落在物体上，分别求：,(1),振动周期有何变化,?(2),振幅有何变化,?,解：（,1,）当粘土块 掉在木块 上时，周期变大。,（,2,）当在平衡位置处 落在 上，根据动量守恒：,V,表示原来振子 通过平衡位置的速度，表示撞后振子,的速度，设撞后振幅 有,而在最大位移处落下，系统机械能不变，振幅不变,15.质量为0.10,kg,的物体，以振幅5.010,-2,m,作简谐运动，其最大加速度为0.493,m/s,-2,。,求：,(1)振动的周期；(2)物体通过平衡位置时的总能量与动能；,(3)物体在何处其动能和势能相等；,(4)当物体的位移为振幅的一半时动能、势能各点总能量的多少?,解：（,1,）最大加速度,周期,（,2,）物体通过平衡位置的总能量与动能相等,（,4,）当 时,势能,动能,势能与动能之比为,（,3,）当动能与势能相等时有 即,得,16.试证明：(1)在一个周期中，简谐运动的动能和势能对时间的平均值都等于,kA,2,/4；,(2),在一个周期中，简谐运动的动能和势能对位置的平均值分别等于,kA,2,/3,和,kA,2,/6。,证明：（1）势能对时间的平均值,动能对时间的平均值：,（,2,）一周期中势能对位置的平均值,一周期中动能时位置的平均值。,习题,3-17,图,17.,如图所示，一劲度系数为,k=312.0N/m,的轻弹簧，一端固定，另一端连接一质量为,m,1,=0.30kg,的物体,A,，,放置在光滑的水平桌面上，物体,A,上再放置质量为,m,2,=0.20kg,的物体,B,，,已知,A,、,B,间静摩擦因数为,0.50,。求两物体间无相对运动时，系统振动的最大能量。,解：,A,、,B,间所能提供的最大静摩势力决定了它们相对静止时运动的最大加速度 ，所以它们振动的最大振幅,A,满足,系统振动机械能,18.已知两同方向同频率的简谐运动的运动方程分别为,x,1,=(0.05m),cos,(10s,-1,)t+0.75，x,2,=(0.06m),cos,(10s,-1,)t+0.25。,求：(1)合振动的振幅及初相；,(2)若有另一同方向同频率的简谐运动,x,3,=(0.07m),cos,(10s,-1,)t+,3,，,则,3,为多少时，,x,1,+x,3,的振幅最大?又,3,为多少时，,x,2,+x,3,的振幅最小?,解：（,1,）,做向量图可知：合振动振幅,合振动初相,合振动表达式,(2,）若另有,与 合成，则当它们同相时,即,时，合振动振幅为最大；与 合成时，当它们,反相时即 时合振动振幅最小。,19有两个同方向同频率的简谐运动，其合振动的振幅为0.20,m，,合振动的相位与第一个振动的相位差为,/6，,第一个振动的振幅为0.173,m。,求第二个振动的振幅及两振动的相位差。,解:以 旋转矢量为,x,轴做矢量图，与 的夹角为 ，由旋转矢,量图可知两个旋转矢量互相垂直,即 ,0.10,m,相位差为,20将频率为348,Hz,的标准音叉振动和一待测频率的音叉振动合成，测得拍频为3.0,Hz。,若在等测频率音叉的一端加上一小块物体，则拍频将减少，求等测音叉的固有频率。,解：由题意可知，待测音叉的频率大于,348,故其频率,21一物体悬挂在弹簧下作阻尼振动，开始时期振幅为0.12,m，,经72,s,后振幅减为0.06,m。,问(1)阻尼系数是多少?(2)如振幅减至0.03,m，,需再经历多长的时间?,解：（,1,）由,解得,代入数值,（,2,）,22一质量为2.5,kg,的物体与一劲度系数为1250,Nm,-1,的弹簧相连作阻尼振动，阻力系数为50.0,kgs,-1,，,求阻尼振动的角频率,。,解：由阻尼振动规律,式中,23.一弹簧振子系统，物体的质量,m=1.0kg，,弹簧的劲度系数,k=900Nm,-1,，,系统振动时受到阻尼作用，其阻尼系数为,=10.0s,-1,。,为了使振动持续，现加一周期性外力,F=(100N),cos,(30s,-1,)t,作用。求：(1)振子达到稳定时的振动角频率；(2)若外力的角频率可以改变，则当其值为多少时系统出现共振现象?其共振的振幅为多大?,解：（,1,）由受迫振动规律，稳定后它的振动频率等于策动力的频率,（,2,）共振频率,式中,代入,即当外力角频率 时系统发生共振，共振时的振幅,第四章 机械波,1.关于波长的概念有三种说法，试分析它们是否一致：,(1)同一波线上，相位差为2,的两个振动质点之间的距离；,(2)在一个周期内，振动所传播的距离；,(3)横波的两个相邻波峰(或波谷)之间的距离；纵波的两个相邻密部(或疏部)对应点之间,的距离。,答：三种说法一致，首先用波函数 来分析，用一波上两质点 其相位分别为 ，,相位差为 即 的两质点间的距离为,2.机械波的波长、频率、周期和波速四个量中。,(1)在同一介质中，哪些量是不变的?,(2)当波从一种介质进入另一种介质中时，哪些量是不变的?,答：（,1,）同一介质中，波长、频率、周期、波速不变；,（,2,）当波中一种介质进入另一种介质时；频率、周期不变。,（,2,）在一个周期，振动的质点其位相差为 和（,1,）一致；（,3,）中只要将某时刻的波形图作出，很显然，相邻的波峰（谷），纵波的相邻密部（疏部）对应点其相位差为 ，和（,1,）（,3,）是一致的；,答：（1），产生机械波的另一个必要条件是有弹性介质。,（2），质点的振动速度是由振源本身性质决定，,而波速度由介质的性质决定 或 ；,（3），由,T,的定义；,（4），坐标原点的选取是任意的；,3.试判断下面几种说法，哪些是正确的，哪些是错的?,(1)机械振动一定能产生机械波；,(2)质点振动的速度是和波的传播速度相等的；,(3)质点振动的周期和波的周期数值是相等的；,(4)波动方程式中坐标原点是选取在波源位置上的。,传播方向,振动方向,习题,4-4,图,4横波的波形及传播方向如本题图所示，试画出点,A,、,B,、,C,、,D,的运动方向，并画出经过,1/4,周期后的波形曲线。,5.,波动的能量与哪些物理量有关,?,比较波动的能量与简谐运动的能量。,答：由平均能量密度 知波动的能量与介质的密度,波动的角频率 和波振幅,A,有关；振动能量 知简,谐振动能量与振子的质量 ，振动角频率 和振幅,A,有关。,6.,波动过程中体积元的总能量随时间变化，这和能量守恒定律是否矛盾,?,答：波动过程中体积元的能量随时间变化，这充分说明了波的传播过程伴随能量的传播；而一个周期内平均能量密度,不随时间变化表明能量是守恒的。,7.,驻波有什么特点,?,答：由驻波表达式 可知，驻波的振幅,随位置不同而不同，并且表现出周期性；相邻波腹,/,波节之间的距离为 。另外，驻波为分段振动，并不传递相位和能量。,8.,在钢棒中声速为,5100,米,/,秒，求钢的杨氏弹性模量,(,钢的密度,=7.8,克,/,厘米,3,),。,解：由,9.一横波在沿绳子传播时的波动方程为,y=(0.20m),cos,(2.50s,-1,)t-(m,-1,)x。,(1),求波的振幅、波速、频率及波长；,(2)求绳上的质点振动时的最大速度；,(3)分别画出,t=1s,和,t=2s,时的波形，并指出波峰和波谷，画出,x=1.0m,处质点的振动曲线并讨论其与波形图的不同。,解：已知,和 比较,（,1,）,由,（,2,）由振动质点机械能守恒：,(,3),10.波源作简谐运动，其运动方程为,y=4.0,10,-3,cos（240t），,它所形成的波以30,m/s,的速度沿一直线传播。(1)求波的周期及波长；(2)写出波动方程。,解：由,（,1,）,（,2,）以波源为原点，波向,x,轴正向传播的波方程,11、波源作谐振动，振幅为,A,，,周期为0.02,s，,该振动以 100,m/s,的速度沿,x,正向传播，形成平面简谐波。设,t,=0,时波源经平衡位置向正方向运动。,（1）写出波动方程的两种形式,含有角频率及波速参数：,含有波长及周期参数：,（2）距波源15,m,和 5,m,处的振动方程,（3）距波源16,m,和17,m,两质点间的位相差,12.波源作简谐运动，周期为1.0,10,-2,s，,并以它经平衡位置向正方向运动时为时间起点。若此振动以,u=400m/s,的速度沿直线传播。求：,(1)距波源为8.0,m,处的点,P,的运动方程和初相；,(2)距波源为9.0,m,处10.0,m,处两点的相位差为多少?,解：,（,1,）,（,2,）,13.有一平面简谐波在介质中传播，波速,u=100m/s，,波线上右侧距波源,O(,坐标原点)为75.0,m,处的一点,P,的运动方程为,y,p,=(0.30m),cos,(2s,-1,)t+/2，,求：(1)波向,x,轴正方向传播时的波动方程；(2)波向,x,轴负方向传播时的波动方程。,解：,（,1,）若波沿,x,轴正方向传播时，即点,o,振动超前,原点,o,振动方程：,波向,x,轴正方向传播时的波动方程：,（,2,）若波沿,x,轴负方向传播时，即点,o,振动落后于,p,原点,o,振动方程：,波向,x,轴负方向传播时的波动方程,（,2,）在距离原点为,7.5,m,处的质点的运动方程,质点的振动速率为：,t,=0,时，,习题,4-15,图,15.一平面谐波，波长为12,m，,沿,x,轴负向传播。图示,x=1.0m,处质点的振动曲线，求此波动方程。,解：,由振动曲线求,1,m,处质点的振动方程，,t=5s,时，质点第一次回到平衡位置。,原点处振动落后,波动方程：,16.图中(,I),是,t=0,时的波形图，(,II),是,t=0.1s,时的波形图，已知,T0.1s，,写出波动方程表达式。,解：,又,t=0,时，,y=-A,习题,4-16,图,17.为了保持波源的振动不变，需要消耗4.0,W,的功率，若波源发出的是球面波(设介质不吸收波的能量)。求距离波源5.0,m,和10.0,m,处的能流密度.,解：,P=4W,单位时间内通过任意半径的球面的能量相同，都等于波源消耗的功率,P,，,在同一球面上，各处能流密度相等。平均能流密度,I=P/S,18.一弹性波在媒质中传播的速度,u=10m/s，,振幅,A=1.0,10,-4,m，,频率,v=10,3,Hz。,若该媒质的密度为800,kg/m,3,，,求：,(1)该波的平均能流密度；,(2)一分钟内垂直通过一面积,S=4,10,-4,m,2,的总能量。,解：,（,1,）,（,2,）,W=,ISt,=3790J,19.一线波源发射柱面波，设媒质为不吸收能量的各向同性均匀媒质，问波的强度以及振幅和离开波源的距离有何关系?,解：相同时间内通过两个柱面能量相同,习题,4-20,图,20.如图所示，两振动方向相同的平面简谐波波源分别位于,A、B,点，设它们相位相同,且频率,v,=30Hz，,波速,u=0.50m/s，,求点,P,处两列波的相位差。,解：,21.如图所示，两相干波源分别在,P、Q,两点，它们发出频率为 ，波长为,，,初相相同的两列相干波，设,PQ=3/2，R,为,PQ,连线上的一点。求：(1)自,P、Q,发出的两列波在,R,处的相位差；,(2)两波在,R,处干涉时的合振幅。,习题,4-21,图,解：（,1,）,（2）,22位于同一介质中的,A,、,B,两波源点，它们可以产生沿,x,轴正反向传播的平面波且振幅相等，频率为100,Hz，,B,比,A,位相超前,。若,A、B,相距30,m，,波速为400,m/s，,则,AB,连线上因干涉而静止的各点的位置。（设,A,为坐标原点）。,A,B,O,x/,m,1,题图,b,A,B,O,x/,m,1,题图,c,r,A,r,B,r,A,r,B,x,30,-,x,A,B,O,x/,m,1,题图,a,解,：静止的条件：,在,A,的左边图,a,：,没有静止的点,在,B,的右边图,c,：,没有静止的点,在,AB,之间图,b:,解上式得：,同时 满足：,所以,3,题图,23.本题图是干涉型消声器原理示意图，利用这一结构可消除噪声，当发动机排气噪声波到达,A,点时，分成两路在,B,点相遇，声波 因干涉而相消，如果要消除频率为300,Hz,的排气噪声，求图中弯管与直管长度差,r,=,r,2,r,1,至少应为多少?,解：,相消条件：,24.两波在同一条绳上传播，它们的方程分别为,y,1,=(0.06m),cos,(m,-1,)x-(4s,-1,)t,和,y,2,=(0.06m),cos,(m,-1,)x+(4s,-1,)t。,(1),证明这细绳是作驻波式振动，并求节点和波腹的位置；(2)波腹处的振幅多大?在,x=1.2m,处，振幅多大?,解：在波线上任取一点,P,与驻波方程相同的形式，所以是驻波运动。,是波节位置，,是波腹位置，,（,2,）,x=1.2m,处,25.一警车以25,m/s,的速度在静止的空气中行驶，假设车上警笛的频率为800,Hz。,求：,(1)静止站在路边的人听到警车驶近和离去时的警笛声波频率；,(2)如果警车追赶一辆速度为15,m/s,的客车，则客车上人听到警笛声波频率是多少?(设空气中声速,u=330m/s),解：声源：,（,1,）由于多普勒效应，路边观察者收到的频率,警车驶近观察者：,警车驶离观察者：,（,2,）警车与客车上的观察者同向运动，观察者收到的频率,习题,4-26,图,26.振动频率,v,=510Hz,的振源在,S,点以速度,v,向墙壁接近，如图所示，观察者在点,P,测得拍音频率,v,=3.0Hz，,求振源移动的速度(声速度340,m/s)。,解：位于点,PS,的人直接收到的声源的频率为 ，经墙反射接收到的频率为,拍,第五章 课 后 习 题,1,由光源,S,发出的,=60nm,的单色光，自空气射入折射率,n=1.23,的一层透明物质，再射入空气。若透明物质的厚度为,d=1cm,，入射角,=30,，且,SA=BC=5cm,，求：,（,1,）为多少？,（,2,）此单色光在这层透明物质的频率、速度和波长各为多少？,（,3,）,S,到,C,的向何路程为多少？光程又为多少？,空气,空气,d,n,A,B,C,解：,（,1,）,由折射定律,可得,（,2,）单色光在透明介质中的速度 ，波长 和频率 分别为,（,3,）,S,到,C,的几何路程为：,S,到,C,的光程为,2,用白光垂直照射厚度,e=400nm,的薄膜，若薄膜的折射率为,n,2,=1.4,，且,n,1,n,2,n,3,，问反射光中哪种波长的可见光得到加强？,1,2,3,解：由于,n,1,n,2,n,3,故两相干光在薄膜上。下两个表面反射时均无半波损失，则两相干光之间的光程差为：,又由于白光垂直照射，,光程差,当干涉加强时有,当,k=2,时,(,黄光,),3,上题中，若薄膜厚度,e=350nm,，且,n,2,n,1,，,n,2,n,3,，则反射光中又是哪几种波长的可见光得到加强？,解：由于,n,2,n,1,，,n,2,n,3,相干光在薄膜下表面反射时有半波损失，在上表面反射无半波损失，在垂直入射时，两相干光的光程差为,令,在可见光范围内讨论时发现只有一个,k,值满足要求，,当,k=2,时,(,红光,),6,一双缝装置的一个缝为折射率,1.40,的薄玻璃片所遮盖，另一个缝为折射率,1.70,薄玻璃片所遮盖。在玻璃片插入以后，屏上原来的中央极大所在点，现为原来的第五级明纹所占据。假定,=480nm,，且两玻璃片厚度为,t,，求,t,。,解：对于原中央明纹所在点,O,，当两介质片插入以后，光程差为,8,在利用牛顿环测未知单色光波长的实验中，当用已知波长为,583.9nm,的钠黄光垂直照射时,测得第一和第四暗环的距离为 ；当用未知的单色光垂直照射时，测得第一和第四暗环的距离为 ，求未知单色光的波长。,解：牛顿环装置产生的干涉暗环半径,k=0,，,1,，,2,，,k=0,，对应牛顿环中心的暗斑，,k=1,和,k=4,则对应第一和第四暗环,它们之间的间距,则有,14,已知单缝宽度,a=1.010,-4,m,，透明焦距,f=0.5m,，用,1,=400nm,和,2,=760nm,的单色平行光分别垂直照射，求这两种光的第一级明纹离屏中心距离，以及这两条明纹之间的距离，若用每厘米刻有,1000,条刻线的光栅代替这个单缝，则这两种单色光的第一级明纹分别距离屏中心多远？这两条明纹之间的距离又是多少？,解：（,1,）当光垂直照射单缝时，屏上第,K,级明纹的位置：,第一级明纹的位置：,当,1,=400nm,和,k=1,时,当,2,=760nm,和,k=1,时，,两条明纹之间的距离：,（,2,）当光垂直照射光栅时，屏上第,k,级明纹的位置。,光栅常数,当,1,=400nm,和,k=1,时，,当,2=760nm,和,k=1,时，,第一级明纹间的距离,15,迎面而来的两辆汽车的车头灯炮距为,1.0m,，问在汽车离人多远时，它们刚能为人眼所分辨？设瞳孔直径为,3mm,，光在空气中的有效波长,=500nm,。,解：当两物对光学仪器通光孔（包括人眼）的张角,大于等于光学仪器的最小分辨角,0,时，两物体能被分辨。,由题意,=,0,时，,此时，人与车之间的距离为,17,用每一毫米内有,500,条刻痕的平面透射光栅观察钠光谱（,=589nm,），问：（,1,）光线垂直时，最多能看到第几级光谱；（,2,）光线以入射角,30,o,入射时，最多能看到第几级光谱,?,解（,1,）光波垂直射时，光栅衍射明纹的条件,令,:,可见级数最大为：,即最多能看到第