平均值不等式.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,基本不等式,赣州四中 戴薇薇,这是,2002,年在北京召开的第,24,届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。,思考：这会标中含有怎样的几何图形？,思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？,探究,1,a,b,1,、正方形,ABCD,的,面积,S,=,、四个直角三角形的,面积和,S,=,、,S,与,S,有什么,样的不等关系？,探究：,S,S,即,问：那么它们有相等的情况吗？,(,ab,),A,D,B,C,E,F,G,H,b,a,猜想：一般地，对于任意实数,a,、,b,，我们有,当且仅当,a=b,时，等号成立。,A,B,C,D,E(FGH),a,b,(,ab,),(,a,b,),思考：,你能给出不等式 的证明吗？,证明：（作差法）,重要不等式：,一般地，对于任意实数,a,、,b,，总有,当且仅当,a=b,时，等号成立,文字叙述为,:,两数的平方和,不小于,它们积的,2,倍,.,适用范围：,a,b,R,问题一,问题一,替换后得到：,即：,即：,你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？,问题二,证明：要证,只要证,要证，只要证,要证，只要证,显然,是成立的,.,当且仅当,a,=,b,时,中的等号成立,.,分析法,问题二,证明不等式：,特别地，若,a,0,，,b,0,，则,通常我们把上式写作：,当且仅当,a,=,b,时取等号，这个不等式就叫做基本不等式,.,基本不等式,在数学中，我们把 叫做正数,a,，,b,的算术平均数，,叫做正数,a,，,b,的几何平均数；,文字叙述为：,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,.,适用范围：,a,0,b,0,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗,?,问题三,RtACDRtDCB,，,A,B,C,D,E,a,b,O,如图,AB,是圆的直径,O,为圆心，点,C,是,AB,上一点,AC=,a,BC=,b,.,过点,C,作垂直于,AB,的弦,DE,连接,AD,、,BD,、,OD.,如何用,a,b,表示,CD?CD=_,如何用,a,b,表示,OD?OD=_,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗,?,问题三,如何用,a,b,表示,CD?CD=_,如何用,a,b,表示,OD?OD=_,OD,与,CD,的大小关系怎样,?OD_CD,如图,AB,是圆的直径,O,为圆心，点,C,是,AB,上一点,AC=,a,BC=,b,.,过点,C,作垂直于,AB,的弦,DE,连接,AD,、,BD,、,OD.,几何意义：半径不小于弦长的一半,A,D,B,E,O,C,a,b,适用范围,文字叙述,“=”,成立条件,a,=,b,a,=,b,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,两数的平方和不小于它们积的,2,倍,a,b,R,a,0,b,0,填表比较：,注意从不同角度认识基本不等式,=(,x,+1)+,-,1,1,x,+1,f,(,x,)=,x,+,1,x,+1,=1,2 (,x,+1),-,1,1,x,+1,当且仅当 取“,=”,号,.,当,x,=0,时,函数,f,(,x,),的最,小,值是,1.,x,+1=,即,x,=0,时,1,x,+1,解,:,x,-1,x,+10.,例,1.,求函数,f,(,x,)=,x,+,(,x,-1),的最小值,.,1,x,+1,小结：,求最值时注意把握条件,2,.,利用基本不等式求最值,1,.,两个重要的不等式,