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全国中考数学一元二次方程组综合中考模拟和真题汇总及答案

一、一元二次方程
1．阅读下列材料
计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则：
原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝
在上面问题中，用一种字母代表式子中某一部分，能达到简化计算目，这种思想措施叫做“换元法”，请用“换元法”处理下列问题：
（1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+）
（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4
（3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3
【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2
【解析】
【分析】
（1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算．
（2）观测式子找相似部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最终要记得把t换为a．
（3）观测式子找相似部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到有关t一元二次方程，得到t两个解后要代回去求出4个x解．
【详解】
（1）令+＝t，则：
原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝
（2）令a2﹣5a＝t，则：
原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2
（3）令x2+4x＝t，则原方程转化为：
（t+1）（t+3）＝3
t2+4t+3＝3
t（t+4）＝0
∴t1＝0，t2＝﹣4
当x2+4x＝0时，
x（x+4）＝0
解得：x1＝0，x2＝﹣4
当x2+4x＝﹣4时，
x2+4x+4＝0
（x+2）2＝0
解得：x3＝x4＝﹣2
【点睛】
本题考察用换元法进行整式运算，因式分解，解一元二次方程．运用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．

2．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s速度向C点移动．假如P、Q两点同步出发，通过几秒后△PBQ面积等于4cm2？

【答案】通过2秒后△PBQ面积等于4cm2．
【解析】
【分析】
作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=×PB×QE，有P、Q点移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE有关t体现式，代入面积公式，即可得出答案．
【详解】
解：
如图，
过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．
∵∠ABC＝30°，
∴2QE＝QB．
∴S△PQB＝•PB•QE．
设通过t秒后△PBQ面积等于4cm2，
则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．
根据题意， •（6﹣t）•t＝4．
t2﹣6t+8＝0．
t2＝2，t2＝4．
当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．
答：通过2秒后△PBQ面积等于4cm2．
【点睛】
本题考察了一元二次方程运用，注意对所求值进行检查，对于不合适值舍去．

3．发现思考：已知等腰三角形ABC两边分别是方程x2﹣7x+10=0两个根，求等腰三角形ABC三条边长各是多少？下边是涵涵同学作业，老师说他做法有错误，请你找出错误之处并阐明错误原因．
涵涵作业

解：x2﹣7x+10=0
a=1 b=﹣7 c=10
∵b2﹣4ac=9＞0
∴x==
∴x1=5，x2=2
因此，当腰为5，底为2时，等腰三角形三条边为5，5，2．
当腰为2，底为5时，等腰三角形三条边为2，2，5．
探究应用：请解答如下问题：
已知等腰三角形ABC两边是有关x方程x2﹣mx+﹣=0两个实数根．
（1）当m=2时，求△ABC周长；
（2）当△ABC为等边三角形时，求m值．
【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC周长为；（2）当△ABC为等边三角形时，m值为1．
【解析】
【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形三条边不能为2、2、5．
（1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m）2﹣4（﹣）=m2﹣2m+1，可求得m.
【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形三条边为2、2、5．
错误原因：此时不能构成三角形．
（1）当m=2时，方程为x2﹣2x+=0，
∴x1=，x2=．
当为腰时，+<，
∴、、不能构成三角形；
当为腰时，等腰三角形三边为、、，
此时周长为++=．
答：当m=2时，△ABC周长为．
（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等实数根，
∴△=（﹣m）2﹣4（﹣）=m2﹣2m+1=0，
∴m1=m2=1．
答：当△ABC为等边三角形时，m值为1．
【点睛】本题考核知识点：二元一次方程运用.解题要点：纯熟掌握二元一次方程解法和等腰三角形性质.

4．已知有关x一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．
（1）当a=﹣11时，解这个方程；
（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a取值范围；
（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a值．
【答案】（1）（2）（3）-4
【解析】
分析：（1）根据一元二次方程解法即可求出答案；
（2）根据鉴别式即可求出a范围；
（3）根据根与系数关系即可求出答案．
详解：（1）把a=﹣11代入方程，得x2﹣x﹣12=0，（x+3）（x﹣4）=0，x+3=0或x﹣4=0，∴x1=﹣3，x2=4；
（2）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a﹣1）≥0，解得；
（3）∵是方程两个实数根，．
∵[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，∴，把 代入，得：[2+a﹣1][2+a﹣1]=9，即（1+a）2=9，解得：a=﹣4，a=2（舍去），因此a值为﹣4．
点睛：本题考察了一元二次方程，解题关键是纯熟运用鉴别式以及根与系数关系．

5．解方程：．
【答案】x=或x=1
【解析】
【分析】
设，则原方程变形为y2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y，再求x．
【详解】
解：设，则原方程变形为y2-2y-3=0．
解这个方程，得y1=-1,y2=3,
∴或．
解得x=或x=1．
经检查：x=或x=1都是原方程解．
∴原方程解是x=或x=1．
【点睛】
考察了还原法解分式方程，用换元法解某些复杂分式方程是比较简单一种措施，根据方程特点设出对应未知数，解方程可以使问题简单化，注意求出方程解后要验根．

6．由图看出，用水量在m吨之内，水费按每吨1.7元收取，超过m吨，需要加收．

7．有一种人患了流感，通过两轮传染后共有36人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一种人传染了几种人？
（2）假如不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
【答案】（1）5；（2）180
【解析】
【分析】
（1）设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，通过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；
（2）根据每轮传染中平均一种人传染人数和通过两轮传染后人数，列出算式求解即可．
【详解】
（1）设每轮传染中平均一种人传染了x个人，根据题意得：
x+1+（x+1）x＝36，
解得：x＝5或x＝﹣7（舍去）．
答：每轮传染中平均一种人传染了5个人；
（2）根据题意得：5×36＝180（个），
答：第三轮将又有180人被传染．
【点睛】
本题考察一元二次方程应用，解题关键是能根据题意找到等量关系并列方程.

8．已知两条线段长分别是一元二次方程两根，
（1）解方程求两条线段长。
（2）若把较长线段剪成两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形面积。
（3）若把较长线段剪成两段，使其与另一段围成直角三角形，求直角三角形面积。
【答案】（1）2和6；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）求解该一元二次方程即可;
（2）先确定等腰三角形边，然后求面积即可；
（3）设分为两段分别是和，然后用勾股定理求出x，最终求面积即可.
【详解】
解：（1）由题意得，
即：或，
∴两条线段长为2和6；
（2）由题意，可知分两段为分别为3、3，则等腰三角形三边长为2，3，3，
由勾股定理得：该等腰三角形底边上高为：
∴此等腰三角形面积为=．
（3）设分为及两段

∴，
∴，
∴面积为.
【点睛】
本题考察了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知识，考察知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题关键.

9．用合适措施解下列一元二次方程：
（1）2x2＋4x－1＝0；（2）(y＋2)2－(3y－1)2＝0.
【答案】（1）x1＝－1＋，x2＝－1－；（2）y1＝－，y2＝.
【解析】
试题分析：（1）根据方程特点，运用公式法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法，运用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0方程解法求解即可.
试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1
∴△=b2-4ac=16+8=24＞0
∴x==
∴x1＝－1＋，x2＝－1－
（2）(y＋2)2－(3y－1)2＝0
[(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0
即4y+1=0或-2y+3=0
解得y1＝－，y2＝.

10．已知有关x一元二次方程有两个实数x2+2x+a﹣2=0，有两个实数根x1，x2．
（1）求实数a取值范围；
（2）若x12x22+4x1+4x2=1，求a值．
【答案】（1）a≤3；（2）a=﹣1．
【解析】
试题分析：（1）由根个数，根据根鉴别式可求出a取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数关系，代换求值即可得到a值.
试题解析：（1）∵方程有两个实数根，
∴△≥0，即22﹣4×1×（a﹣2）≥0，解得a≤3；
（2）由题意可得x1+x2=﹣2，x1x2=a﹣2，
∵x12x22+4x1+4x2=1，
∴（a﹣2）2﹣8=1，解得a=5或a=﹣1，
∵a≤3，
∴a=﹣1．

11．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm矩形铁皮制作一种无盖长方体容器，需要将四角各裁掉一种正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉正方形边长多大？

【答案】裁掉正方形边长为2dm，底面积为12dm2.
【解析】
试题分析：设裁掉正方形边长为xdm，则制作无盖长方体容器长为（10-2x）dm，宽为（6-2x）dm，根据长方体底面面积为12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉正方形边长.
试题解析：
设裁掉正方形边长为xdm，
由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，
即x2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，
答：裁掉正方形边长为2dm，底面积为12dm2.

12．已知有关x方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程两个根，求k值多少？
【答案】（1）详见解析；（2）k＝或2．
【解析】
【分析】
（1）计算鉴别式值，运用完全平方公式得到△＝（2k﹣3）2≥0，然后根据鉴别式意义得到结论；
（2）运用求根公式解方程得到x1＝2k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形性质得到2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，然后分别解有关k方程即可．
【详解】
（1）∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，
∴该方程总有实数根；
（2）
∴x1＝2k﹣1，x2＝2，
∵a、b、c为等腰三角形三边，
∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，
∴k＝或2．
【点睛】
本题考察了根鉴别式以及等腰三角形性质，分a是等腰三角形底和腰两种状况是解题关键.

13．已知：有关x一元二次方程.
（1）若此方程有两个实数根，求没最小整数值；
（2）若此方程两个实数根为，，且满足，求值.
【答案】（1）-4；（2）m=3
【解析】
【分析】
（1）运用根鉴别式意义得到△≥0，然后解不等式得到m范围，再在此范围内找出最小整数值即可；
（2）运用根与系数关系得到，，然后解有关m一元二次方程，即可确定m值．
【详解】
解：（1）∵有两个实数根，
∴，
∴，
∴；
∴m最小整数值为：；
（2）由根与系数关系得：，，
由得：

∴，
解得：或；
∵，
∴.
【点睛】
本题考察了根与系数关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）两根时，则，．也考察了根鉴别式．解题关键是纯熟掌握根与系数关系和根鉴别式.

14．有关x一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．
（1）证明：方程总有两个不相等实数根；
（2）设这个方程两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m值及方程根．
【答案】（1）证明见解析；（2）x1=﹣1+，x2=﹣1﹣或
【解析】
试题分析：（1）根据一元二次方程鉴别式△=b2﹣4ac成果判断即可，当△＞0时，有两个不相等实数根，当△=0时，有两个相等实数根，当△＜0时，方程没有实数根；
（2）根据一元二次方程根与系数关系x1+x2=-，x1•x2=，表达出两根关系，得到x1，x2异号，然后根据绝对值性质和两根关系分类讨论即可求解.
试题解析：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，
∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，
∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣）2+，
∴△＞0，
则方程有两个不相等实数根；
（2）∵x1•x2==﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，
∴x1，x2异号，
又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，
若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2，
∴m﹣3=﹣2，即m=1，
方程化为x2+2x﹣1=0，
解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，
若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2，
∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，
方程化为x2﹣2x﹣25=0，
解得：x1=1﹣，x2=1+．

15．利民商店经销甲、乙两种商品既有如下信息
信息1：甲乙两种商品进货单价和为11；
信息2：甲商品零售单价比其进货单价多2元，乙商品零售单价比其进货单价2倍少4元：
信息3：按零售单价购置甲商品3件和乙商品2件共付37元．
甲、乙两种商品进货单价各是多少？
据记录该商店平均每天卖出甲商品500件，经调查发现，甲商品零售单价每降元，这样甲商品每天可多销售100件，为了使每天获取更大利润，商店决定把甲种商品零售单价下降a元，在不考虑其他原因条件下，当a定为多少时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元？
【答案】（1）甲种商品进货单价是5元件，乙种商品进货单价是6元件（2）当a定为或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元
【解析】
【分析】
设甲种商品进货单价是x元件，乙种商品进货单价是y元件，根据给定三个信息，可得出有关x，y二元一次方程组，解之即可得出结论；
当零售单价下降a元件时，每天可售出件，根据总利润单件利润销售数量，即可得出有关a一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
设甲种商品进货单价是x元件，乙种商品进货单价是y元件，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种商品进货单价是5元件，乙种商品进货单价是6元件．
当零售单价下降a元件时，每天可售出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：当a定为或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元．
【点睛】
本题考察了二元一次方程组应用以及一元二次方程应用，解题关键是：找准等量关系，对列出二元一次方程组；找准等量关系，对列出一元二次方程．