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中考数学一元二次方程组综合题及答案解析

一、一元二次方程
1．某建材销售企业在第一季度销售两种品牌建材共126件，种品牌建材售价为每件6000元，种品牌建材售价为每件9000元.
（1）若该销售企业在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售种品牌建材多少件？
（2）该销售企业决定在第二季度调整价格，将种品牌建材在上一种季度基础上下调，种品牌建材在上一种季度基础上上涨；同步，与（1）问中最低销售额销售量相比，种品牌建材销售量增长了，种品牌建材销售量减少了，成果第二季度销售额比（1）问中最低销售额增长，求值.
【答案】（1）至多销售品牌建材56件;(2)值是30.
【解析】
【分析】
（1）设销售品牌建材件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；
（2）根据题意列出方程求解即可.
【详解】
（1）设销售品牌建材件.
根据题意，得，
解这个不等式，得，
答：至多销售品牌建材56件.
（2）在（1）中销售额最低时，品牌建材70件，
根据题意，得
，
令，整理这个方程，得，
解这个方程，得，
∴（舍去），，
即值是30.
【点睛】
本题考察了一元二次方程和一元一次不等式应用，解答本题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．

2．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油反复运用率为60%，按此计算，加工一台设备实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油反复运用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备实际油耗量是多少公斤？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅减少了润滑油用油量，同步也提高了用油反复运用率，并且发目前技术革新前基础上，润滑用油量每减少1kg，用油反复运用率将增长1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油反复运用率为61.6%．
①润滑用油量为80kg，用油量反复运用率为多少？
②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备润滑用油量是多少公斤？用油反复运用率是多少？
【答案】（1）28（2）①76%②75，84%
【解析】
试题分析：（1）直接运用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油反复运用率仍然为60%，进而得出答案；
（2）①运用润滑用油量每减少1kg，用油反复运用率将增长1.6%，进而求出答案；
②首先表达出用油反复运用率，进而运用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案．
试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）；
（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；
②设润滑用油量是x公斤，则
x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12，
整理得：x2﹣65x﹣750=0，
（x﹣75）（x+10）=0，
解得：x1=75，x2=﹣10（舍去），
60%+1.6%（90﹣x）=84%，
答：设备润滑用油量是75公斤，用油反复运用率是84%．
考点：一元二次方程应用

3．解方程：
【答案】
【解析】试题分析：先对方程右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.
试题解析：因式分解，得

开平方，得
，或
解得

4．用合适措施解下列一元二次方程：
（1）2x2＋4x－1＝0；（2）(y＋2)2－(3y－1)2＝0.
【答案】（1）x1＝－1＋，x2＝－1－；（2）y1＝－，y2＝.
【解析】
试题分析：（1）根据方程特点，运用公式法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法，运用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0方程解法求解即可.
试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1
∴△=b2-4ac=16+8=24＞0
∴x==
∴x1＝－1＋，x2＝－1－
（2）(y＋2)2－(3y－1)2＝0
[(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0
即4y+1=0或-2y+3=0
解得y1＝－，y2＝.

5．已知有关x一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k取值范围；
（2）与否存在实数k，使得x1·x2－x12－x22≥0成立？若存在，祈求出k值；若不存在，请阐明理由．
【答案】(1)当k≤时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k，使得x1·x2－x12－x22≥0成立
【解析】
试题分析：（1）根据一元二次方程根鉴别式列出不等式，解之即可；（2）本题运用韦达定理处理.
试题解析：
（1） ，解得
（2）由 ，
由根与系数关系可得：
代入得：，
化简得：，
得.
由于取值范围为，
故不存在k使．

6．有关x一元二次方程．
（1）.求证：方程总有两个实数根；
（2）.若方程两个实数根都是正整数，求m最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）-1.
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程根个数状况与根鉴别式关系可以证出方程总有两个实数根.
(2)根据题意运用十字相乘法解方程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定取值范围，即求出吗 最小值.
【详解】
(1)证明：依题意，得

．
，
∴ ．
∴方程总有两个实数根．
由．
可化为：
得 ，
∵ 方程两个实数根都是正整数，
∴ ．
∴ ．
∴ 最小值为．
【点睛】
本题重要考察了一元二次方程根鉴别式与根个数关系和运用十字相乘法解含参数方程，熟知根鉴别式不小于零方程有两个不相等实数根，鉴别式等于零有两个相等实数根或只有一种实数根，鉴别式不不小于零无根和十字相乘法法则是解题关键.

7．已知有关x一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．
（1）求m取值范围；
（2）假如方程两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m取值范围．
【答案】（1）m≤4；（2）3≤m≤4．
【解析】
试题分析：（1）根据鉴别式意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再运用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和运用（1）中结论可确定满足条件m取值范围．
试题解析：
（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m＋1）≥0，
解得m≤4；
（2）根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，
而2x1x2＋x1＋x2≥20，因此2（2m＋1）＋6≥20， 解得m≥3，
而m≤4，因此m范围为3≤m≤4．

8．如图，要运用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米围栏围成总面积为400平方米三个大小相似矩形羊圈，求羊圈边长AB，BC各为多少米？

【答案】羊圈边长AB，BC分别是20米、20米.
【解析】
试题分析：设AB长度为x米，则BC长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形面积公式列出方程．
试题解析：设AB长度为x米，则BC长度为（100﹣4x）米． 根据题意得 （100﹣4x）x=400，
解得 x1=20，x2=5． 则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x2=5舍去． 即AB=20，BC=20
考点：一元二次方程应用．

9．有关x一元二次方程(k-2)x2-4x+2=0有两个不相等实数根．
(1)求k取值范围；
(2)假如k是符合条件最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一种相似根，求此时m值．
【答案】（1）k＜4且k≠2.（2）m=0或m=.
【解析】
分析：
（1）由题意，根据一元二次方程定义和一元二次方程根鉴别式列出有关k不等式组，解不等式组即可求得对应k取值范围；
（2）由（1）得到符合条件k值，代入原方程，解方程求得x值，然后把所得x值分别代入方程x2+mx-1=0即可求得对应m值.
详解：
(1)∵一元二次方程(k-2)x2-4x+2=0有两个不相等实数根，
∴△=16-8(k-2)=32-8k＞0且k-2≠0.
解得：k＜4且k≠2.
(2)由(1)可知，符合条件：k=3，
将k=3代入原方程得：方程x2-4x+3=0，
解此方程得：x1=1，x2=3.
把x=1时，代入方程x2+mx-1=0，有1+m-1=0，解得m=0.
把x=3时，代入方程x2+mx-1=0，有9+3m-1=0，解得m=.
∴m=0或m=.
点睛：（1）懂得“在一元二次方程中，当△=时，方程有两个不相等实数根；当△=时，方程有两个相等实数根；△=时，方程没有实数根”是对解答第1小题关键；（2）解第2小题时，需注意相似根存在两种状况，解题时不要忽视了其中任何一种状况.

10．已知有关x方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程两个根，求k值多少？
【答案】（1）详见解析；（2）k＝或2．
【解析】
【分析】
（1）计算鉴别式值，运用完全平方公式得到△＝（2k﹣3）2≥0，然后根据鉴别式意义得到结论；
（2）运用求根公式解方程得到x1＝2k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形性质得到2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，然后分别解有关k方程即可．
【详解】
（1）∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，
∴该方程总有实数根；
（2）
∴x1＝2k﹣1，x2＝2，
∵a、b、c为等腰三角形三边，
∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，
∴k＝或2．
【点睛】
本题考察了根鉴别式以及等腰三角形性质，分a是等腰三角形底和腰两种状况是解题关键.

11．本市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每公斤 240 元，按每公斤 400 元发售，平均每周可售出 200 公斤，后来通过市场调查发现，单价每减少 10 元，则平均每周销售量可增长 40 公斤，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答：
（1）每公斤茶叶应降价多少元？
（2）在平均每周获利不变状况下，为尽量让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价 几折发售？
【答案】（1）每公斤茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价8折发售．
【解析】
【分析】
（1）设每公斤茶叶应降价x元，运用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可；
（2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时销售单价即可确定几折．
【详解】
（1）设每公斤茶叶应降价x元．根据题意，得：
（400﹣x﹣240）（200+×40）=41600．
化简，得：x2﹣10x+240=0．
解得：x1=30，x2=80．
答：每公斤茶叶应降价30元或80元．
（2）由（1）可知每公斤茶叶可降价30元或80元．由于要尽量让利于顾客，因此每公斤茶叶某应降价80元．
此时，售价为：400﹣80=320（元），．
答：该店应按原售价8折发售．
【点睛】
本题考察了一元二次方程应用，解题关键是根据题目中等量关系列出方程．

12．已知有关x方程x2﹣(k+3)x+3k＝0．
(1)若该方程一种根为1，求k值；
(2)求证：不管k取何实数，该方程总有两个实数根．
【答案】(1)k＝1；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）把x＝1代入方程，即可求得k值；
（2）求出根鉴别式是非负数即可.
【详解】
(1)把x＝1代入方程x2﹣(k+3)x+3k＝0得1﹣(k﹣3)+3k＝0，
1﹣k﹣3+3k＝0
解得k＝1；
(2)证明：

△＝(k+3)2﹣4•3k ＝(k﹣3)2≥0，
因此不管k取何实数，该方程总有两个实数根．
【点睛】
本题考察了一元二次方程解以及根鉴别式，纯熟掌握有关知识点是解题关键.

13．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，若点P从点A沿AB边向B点以1 cm/s速度移动，点Q从B点沿BC边向点C以2 cm/s速度移动，两点同步出发．
(1)问几秒后，△PBQ面积为8cm²？
(2)出发几秒后，线段PQ长为4cm ?
(3)△PBQ面积能否为10 cm2？若能，求出时间；若不能，请阐明理由．

【答案】(1) 2或4秒;(2) 4 cm；(3)见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意，可设P、Q通过t秒，使△PBQ面积为8cm2，则PB=6-t，BQ=2t，根据三角形面积计算公式，S△PBQ=BP×BQ，列出体现式，解答出即可；
（2）设通过x秒后线段PQ长为4cm，依题意得AP=x，BP=6-x，BQ=2x，运用勾股定理列方程求解；
（3）将△PBQ面积表达出来，根据△=b2-4ac来判断．
【详解】
(1)设P，Q通过t秒时，△PBQ面积为8 cm2，
则PB＝6－t，BQ＝2t，
∵∠B＝90°，
∴ (6－t)× 2t＝8，
解得t1＝2，t2＝4，
∴当P，Q通过2或4秒时，△PBQ面积为8 cm2；
(2)设x秒后，PQ＝4 cm，
由题意，得(6－x)2＋4x2＝32，
解得x1＝，x2＝2，
故通过秒或2秒后，线段PQ长为4 cm；
(3)设通过y秒，△PBQ面积等于10 cm2，
S△PBQ＝×(6－y)× 2y＝10，
即y2－6y＋10＝0，
∵Δ＝b2－4ac＝36－4× 10＝－4＜ 0，
∴△PBQ面积不会等于10 cm2.
【点睛】
本题考察了一元二次方程应用，纯熟掌握一元二次方程应用是本题解题关键.

14．今年以来猪肉价格不停走高，引起了民众与区政府高度关注，当市场猪肉平均价格每 公斤达到一定单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据记录：从今年年初至 11月 10 日，猪排骨价格不停走高，11 月 10 日比年初价格上涨了 75%．今年 11 月 10 日某市 民于 A 超市购置 5 公斤猪排骨花费 350 元．
（1）A 超市 11 月排骨进货价为年初排骨售价倍，按 11 月 10 日价格发售，平均一天能销售出 100 公斤，超市记录发现：若排骨售价每公斤下降 1 元，其日销售量就增长 20公斤，超市为了实现销售排骨每天有 1000 元利润，为了尽量让顾客优惠应当将排骨 售价定位为每公斤多少元？
（2）11 月 11 日，区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在 11 月 10 日售价基础上下调 a%发售，A 超市按规定价发售一批储备排骨，该超市在非储备排骨价格不变状况下，该天两种猪排骨总销量比 11 月 10 日增长了 a%，且储备排骨销量占总销量，两种排骨销售总金额比 11 月 10 日提高了a%，求 a 值．
【答案】（1）售价为每公斤65元；（2）a=35.
【解析】
【分析】
（1）先根据题意计算出11月10售价和11月进货价，设每公斤降价x元，则每公斤利润为10-x元，日销量为100+20x 公斤，根据销量×单利润=总利润列出方程求解，并根据为了尽量让顾客优惠，对所得解筛选；
（2）根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量，即可得出有关a一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：（1）11月10日售价为350÷5=70元/公斤
年初售价为：350÷5÷175％=40元/公斤，
11月进货价为： 元/公斤
设每公斤降价x元，则每公斤利润为70-60-x=10-x元，日销量为100+20x 公斤
则，
解得，
由于为了尽量让顾客优惠，因此降价5元，则售价为每公斤65元.
（2）根据题意可得
解得,(舍去)
因此a=35.
【点睛】
本题考察一元二次方程应用，（1）中理清销售量伴随单价变化而变化数量关系是解题关键；（2）中在求解时有些难度，可先设令，解方程求出t后再求a值.

15．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪颖你可以发现：
当a＞0，b＞0时：
∵（）2=a﹣2+b≥0
∴a+b≥2，当且仅当a=b时取等号．
请运用上述结论处理如下问题：
（1）请直接写出答案：当x＞0时，x+最小值为　 　．当x＜0时，x+最大值为　 　；
（2）若y=，（x＞﹣1），求y最小值；
（3）如图，四边形ABCD对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD面积分别为4和9，求四边形ABCD面积最小值．

【答案】（1）2；﹣2．（2）y最小值为9；（3）四边形ABCD面积最小值为25．
【解析】
【分析】
（1）当x＞0时，按照公式a+b≥2（当且仅当a=b时取等号）来计算即可；当x＜0时，﹣x＞0，0，则也可以按公式a+b≥2（当且仅当a=b时取等号）来计算；
（2）将y分子变形，分别除以分母，展开，将含x项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9，由三角形面积公式可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，用含x式子表达出S△AOD，再表达出四边形面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可．
【详解】
（1）当x＞0时，x22；
当x＜0时，﹣x＞0，0．
∵﹣x22，∴则x（﹣x）≤﹣2，∴当x＞0时，x最小值为 2．当x＜0时，x最大值为﹣2．
故答案为：2，﹣2．
（2）∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴y=（x+1）5≥25=4+5=9，∴y最小值为9．
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9
则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，∴x：9=4：S△AOD，∴S△AOD，∴四边形ABCD面积=4+9+x13+225．
当且仅当x=6时，取等号，∴四边形ABCD面积最小值为25．
【点睛】
本题考察了配措施在最值问题中应用．对不能直接应用公式，需要对变形才可以应用．