2025年中考数学一元二次方程组综合题附详细答案.doc

-中考数学一元二次方程组综合经典题附详细答案

一、一元二次方程
1．如图，A、B、C、D为矩形4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s速度从点A、C同步出发，点Q从点C向点D移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同步出发，问通过2s时P、Q两点之间距离是多少cm？
(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同步出发，问通过多长时间P、Q两点之间距离是10cm？
(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同步出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q停止而停止移动，试探求通过多长时间△PBQ面积为12cm2？

【答案】（1）PQ=6cm；（2）s或s；（3）通过4秒或6秒△PBQ面积为 12cm2．
【解析】
试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表达出PQ长度，运用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；
（2）设x秒后，点P和点Q距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出有关x方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x值；
（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．
试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．

则根据题意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；
在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得
PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，
∴PQ=6cm；
∴通过2s时P、Q两点之间距离是6cm；
（2）设x秒后，点P和点Q距离是10cm．
（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，
∴16-5x=±8，
∴x1=，x2=；
∴通过s或sP、Q两点之间距离是10cm；
（3）连接BQ．设通过ys后△PBQ面积为12cm2．
①当0≤y≤时，则PB=16-3y，
∴PB•BC=12，即×（16-3y）×6=12，
解得y=4；
②当＜x≤时，
BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则
BP•CQ=（3y-16）×2y=12，
解得y1=6，y2=-（舍去）；
③＜x≤8时，
QP=CQ-PQ=22-y，则
QP•CB=（22-y）×6=12，
解得y=18（舍去）．
综上所述，通过4秒或6秒△PBQ面积为 12cm2．
考点：一元二次方程应用．

2．李明准备进行如下操作试验，把一根长40 cm铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一种正方形．
(1)要使这两个正方形面积之和等于58 cm2，李明应当怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形面积之和不也许等于48 cm2，你认为他说法对吗？请阐明理由．
【答案】 (1) 李明应当把铁丝剪成12 cm和28 cm两段；(2) 李明说法对，理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）设剪成较短这段为xcm，较长这段就为（40﹣x）cm．就可以表达出这两个正方形面积，根据两个正方形面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；
（2）设剪成较短这段为mcm，较长这段就为（40﹣m）cm．就可以表达出这两个正方形面积，根据两个正方形面积之和等于48cm2建立方程，假如方程有解就阐明李明说法错误，否则对．
试题解析：设其中一段长度为cm，两个正方形面积之和为cm2，则，（其中），当时，，解这个方程，得，，∴应将之剪成12cm和28cm两段；
（2）两正方形面积之和为48时，，，∵， ∴该方程无实数解，也就是不也许使得两正方形面积之和为48cm2，李明说法对．
考点：1．一元二次方程应用；2．几何图形问题．

3．阅读下列材料
计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则：
原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝
在上面问题中，用一种字母代表式子中某一部分，能达到简化计算目，这种思想措施叫做“换元法”，请用“换元法”处理下列问题：
（1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+）
（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4
（3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3
【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2
【解析】
【分析】
（1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算．
（2）观测式子找相似部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最终要记得把t换为a．
（3）观测式子找相似部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到有关t一元二次方程，得到t两个解后要代回去求出4个x解．
【详解】
（1）令+＝t，则：
原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝
（2）令a2﹣5a＝t，则：
原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2
（3）令x2+4x＝t，则原方程转化为：
（t+1）（t+3）＝3
t2+4t+3＝3
t（t+4）＝0
∴t1＝0，t2＝﹣4
当x2+4x＝0时，
x（x+4）＝0
解得：x1＝0，x2＝﹣4
当x2+4x＝﹣4时，
x2+4x+4＝0
（x+2）2＝0
解得：x3＝x4＝﹣2
【点睛】
本题考察用换元法进行整式运算，因式分解，解一元二次方程．运用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．

4．已知有关x一元二次方程有两个实数根．
求k取值范围；
设方程两实数根分别为，，且满足，求k值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
根据方程有实数根得出，解之可得．
运用根与系数关系可用k表达出和值，根据条件可得到有关k方程，可求得k值，注意运用根鉴别式进行取舍．
【详解】
解：有关x一元二次方程有两个实数根，
，即，
解得．
由根与系数关系可得，，
，
，
，解得，或，
，
舍去，
．
【点睛】
本题考察了一元二次方程a，b，c为常数根鉴别式当，方程有两个不相等实数根；当，方程有两个相等实数根；当，方程没有实数根以及根与系数关系．

5．已知有关x一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．
（1）当a=﹣11时，解这个方程；
（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a取值范围；
（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a值．
【答案】（1）（2）（3）-4
【解析】
分析：（1）根据一元二次方程解法即可求出答案；
（2）根据鉴别式即可求出a范围；
（3）根据根与系数关系即可求出答案．
详解：（1）把a=﹣11代入方程，得x2﹣x﹣12=0，（x+3）（x﹣4）=0，x+3=0或x﹣4=0，∴x1=﹣3，x2=4；
（2）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a﹣1）≥0，解得；
（3）∵是方程两个实数根，．
∵[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，∴，把 代入，得：[2+a﹣1][2+a﹣1]=9，即（1+a）2=9，解得：a=﹣4，a=2（舍去），因此a值为﹣4．
点睛：本题考察了一元二次方程，解题关键是纯熟运用鉴别式以及根与系数关系．

6． y与x函数关系式为：y=1.7x（x≤m）;
或( x≥m) ；

7．已知为正整数，二次方程两根为，求下式值：
【答案】
【解析】
由韦达定理，有，．于是，对正整数，有

原式=

8．元旦期间，某超市销售两种不一样品牌苹果,已知1公斤甲种苹果和1公斤乙种苹果进价之和为18元.当销售1公斤甲种苹果和1公斤乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购置3公斤甲种苹果和4公斤乙种苹果共用82元.
（1）求甲、乙两种苹果进价分别是每公斤多少元？
（2）在（1）状况下，超市平均每天可售出甲种苹果100公斤和乙种苹果140公斤，若将这两种苹果售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10公斤，超市决定把这两种苹果售价提高x元，在不考虑其他原因条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x值.
【答案】（1）甲、乙两种苹果进价分别为10元/公斤,8元/公斤；（2）值为2或7.
【解析】
【分析】
（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.
【详解】
（1）解：设甲、乙两种苹果进价分别为元/公斤, 元/公斤.
由题得：
解之得：
答：甲、乙两种苹果进价分别为10元/公斤,8元/公斤
（2）由题意得：
解之得：，
经检查，，均符合题意
答：值为2或7.
【点睛】
本题考察了二元一次方程组和一元二次方程实际应用,中等难度,列方程是解题关键.

9．已知有关x一元二次方程（m为常数）
（1）求证：不管m为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）若方程有一种根是2，求m值及方程另一种根．
【答案】(1)见解析；
(2) 即m值为0，方程另一种根为0.
【解析】
【分析】
（1）可用根鉴别式，计算鉴别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不管m为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）设方程另一种根为t，运用根与系数关系得到2+t= ,2t=m,最终解出有关t和m方程组即可.
【详解】
(1)证明：
△=(m+2)2−4×1⋅m=m2+4，
∵无论m为何值时m2≥0，
∴m2+4≥4＞0，
即△＞0，
因此无论m为何值，方程总有两个不相等实数根.
(2)设方程另一种根为t，

根据题意得2+t= ,2t=m，
解得t=0，
因此m=0，
即m值为0，方程另一种根为0.
【点睛】
本题考察根鉴别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根鉴别式进行判断，在判断过程中注意对△分析，在分析时可借助平方非负性；问题（2）可先设另一种根为t，用根于系数关系列出方程组，在求解.

10．某小区决定把一块长，宽矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相似矩形) ，空白区域为活动区，且四周4个出口宽度相似，当绿化区较长边为何值时，活动区面积达到?

【答案】当时，活动区面积达到
【解析】
【分析】
根据“活动区面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.
【详解】
解:设绿化区宽为y，则由题意得
.
即
列方程:
解得 (舍)，.
∴当时，活动区面积达到
【点睛】
本题是一元二次方程应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．

11．解方程：(x＋1)(x－1)＝2x.
【答案】x1＝＋，x2＝－.
【解析】
试题分析：根据方程特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.
试题解析：(x＋1)(x－1)＝2x
x2-2x-1=0
∵a=1，b=-，c=-1
∴△=b2-4ac=8+4=12＞0
∴x==±
∴x1＝＋，x2＝－.

12．用合适措施解下列一元二次方程：
（1）2x2＋4x－1＝0；（2）(y＋2)2－(3y－1)2＝0.
【答案】（1）x1＝－1＋，x2＝－1－；（2）y1＝－，y2＝.
【解析】
试题分析：（1）根据方程特点，运用公式法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法，运用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0方程解法求解即可.
试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1
∴△=b2-4ac=16+8=24＞0
∴x==
∴x1＝－1＋，x2＝－1－
（2）(y＋2)2－(3y－1)2＝0
[(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0
即4y+1=0或-2y+3=0
解得y1＝－，y2＝.

13．为了让学生亲身感受合肥都市变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费原则：（1）假如人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）假如超过30人，则每超过1人，人均旅游费用减少2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参与了研学游活动？
【答案】共有35名同学参与了研学游活动．
【解析】
试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参与人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上减少人数×2）×参与人数=3150，得到有关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．
试题解析：∵100×30=3000＜3150，∴该班参与研学游活动学生数超过30人．
设九（1）班共有x人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x﹣30）]元，由题意得：
x[100﹣2（x﹣30）]=3150，
整理得x2﹣80x+1575=0，解得x1=35，x2=45，
当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意．
当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去．
答：该班共有35名同学参与了研学旅游活动．
考点：一元二次方程应用．

14．已知有关方程有两个不相等实数根，．
求取值范围．
与否存在实数，使方程两实数根互为相反数？
【答案】(1)且；(2)不存在,理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由于方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等实数根x1，x2．得出其鉴别式△＞0，可解得k取值范围；
（2）假设存在两根值互为相反数，根据根与系数关系，列出对应不等式即可求出k值．
【详解】
（1）方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等实数根x1，x2，可得：k﹣1≠0且△=﹣12k+13＞0，解得：k＜且k≠1；
（2）假设存在两根值互为相反数，设为 x1，x2．
∵x1+x2=0，∴﹣=0，∴k=．
又∵k＜且k≠1，∴k不存在．
【点睛】
本题重要考察了根与系数关系，属于基础题，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q=0两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．

15．阅读材料：各类方程解法
求解一元一次方程，根据等式基本性质，把方程转化为x=a形式。求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解。求解分式方程，把它转化为整式方程来解。各类方程解法不尽相似，不过它们有一种共同基本数学思想--转化，把未知转化为已知。
用“转化”数学思想，我们还可以解某些新方程。例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程解。
（1）问题：方程解是，_____，_____。
（2）拓展：用“转化”思想求方程解。
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD长，宽，小华把一根长为10m绳子一端固定在点B，沿草坪边缘BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边缘PD、DC走到点C处，把长绳剩余一段拉直，长绳另一端恰好落在点C。求AP长。

【答案】（1）2，-1; （2）1，3 ; （3）3m.
【解析】
【分析】
（1）因式分解多项式，然后得结论；
（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，验根即可；
（3）设AP长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程具有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解即可.
【详解】
（1）x3-x2-2x=0，
x（x2-x-2）=0，
x（x-2）（x+1）=0
因此x=0或x-2=0或x+1=0
∴x1=0，x2=2，x3=-1；
故答案为： 2，-1；
（2）
方程两边平方，得4x-3=x2
即x2-4x+3=0
（x-3）（x-1）=0
∴x-3=0或x-1=0
∴x1=3，x2=1，
当x=3或1时,故意义，故是方程解.
（3）由于四边形ABCD是矩形，
因此∠A=∠D=90°，AB=CD=4m,
设AP=xm，则PD=（6-x）m
由于BP+CP=10，BP=,CP= ,
因此=10-
两边平方，得16+(6-x)2=100-20+x2+16
整理，得3x+16=5,
两边平方并整理，得x2-6x+9=0
即（x-3）2=0
因此x=3．
经检查，x=3是方程解．
答：AP长为3m．
【点睛】
考察了转化思想措施，一元二次方程解法．解无理方程是注意到验根．处理（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．