2025年厦门备战中考数学与二次函数有关的压轴题.doc

-厦门备战中考数学与二次函数有关压轴题

一、二次函数
1．如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1顶点为G．

（1）求出抛物线C1解析式，并写出点G坐标；
（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k值：
（3）在（2）条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上与否存在点N，使得以P、Q、N为顶点三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N坐标：若不存在，请阐明理由．
【答案】（1）抛物线C1解析式为y=﹣x2+2x+3，点G坐标为（1，4）；（2）k=1；（3）M1（，0）、N1（，﹣1）；M2（，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．
【解析】
【分析】（1）由点A坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；
（2）设抛物线C2解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，由等边三角形性质知点B′坐标为（m+1，0），点G′坐标为（1，m），代入所设解析式求解可得；
（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN，延长PQ交直线y=﹣1于点H，证△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立有关x方程，解之求得x值从而深入求解即可．
【详解】（1）∵点A坐标为（﹣1，0），
∴OA=1，
∴OC=3OA，
∴点C坐标为（0，3），
将A、C坐标代入y=ax2﹣2ax+c，得：，
解得：，
∴抛物线C1解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
因此点G坐标为（1，4）；
（2）设抛物线C2解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，
过点G′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，

∵△A′B′G′为等边三角形，
∴G′D=B′D=m，
则点B′坐标为（m+1，0），点G′坐标为（1，m），
将点B′、G′坐标代入y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，得：
，
解得：（舍），，
∴k=1；
（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），
∴PQ=OA=1，
∵∠AOQ、∠PQN均为钝角，
∴△AOQ≌△PQN，
如图2，延长PQ交直线y=﹣1于点H，

则∠QHN=∠OMQ=90°，
又∵△AOQ≌△PQN，
∴OQ=QN，∠AOQ=∠PQN，
∴∠MOQ=∠HQN，
∴△OQM≌△QNH（AAS），
∴OM=QH，即x=﹣x2+2x+2+1，
解得：x=（负值舍去），
当x=时，HN=QM=﹣x2+2x+2=，点M（，0），
∴点N坐标为（+，﹣1），即（，﹣1）；
或（﹣，﹣1），即（1，﹣1）；
如图3，

同理可得△OQM≌△PNH，
∴OM=PH，即x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1，
解得：x=﹣1（舍）或x=4，
当x=4时，点M坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6，
∴点N坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；
综上点M1（，0）、N1（，﹣1）；M2（，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．
【点睛】本题考察是二次函数综合题，波及到知识有待定系数法、等边三角形性质、全等三角形判定与性质等，纯熟掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形性质、全等三角形判定与性质、运用分类讨论思想是解题关键.

2．（12分）如图所示是隧道截面由抛物线和长方形构成，长方形长是12 m，宽是4 m．按照图中所示直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表达，且抛物线上点C到OB水平距离为3 m，到地面OA距离为m.
（1）求抛物线函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，假如隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面高度相等，假如灯离地面高度不超过8m，那么两排灯水平距离最小是多少米？

【答案】（1）抛物线函数关系式为y=x2+2x+4，拱顶D到地面OA距离为10 m；(2)两排灯水平距离最小是4 m．
【解析】
【详解】
试题分析：根据点B和点C在函数图象上，运用待定系数法求出b和c值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x值，然后进行做差得出最小值．
试题解析：（1）由题知点在抛物线上
因此，解得，因此
因此，当时，
答：，拱顶D到地面OA距离为10米
（2）由题知车最外侧与地面OA交点为（2,0）（或（10,0））
当x=2或x=10时，，因此可以通过
（3）令，即，可得，解得

答：两排灯水平距离最小是
考点：二次函数实际应用．

3．函数图象记为，函数图象记为，其中为常数，与合起来图象记为.
（Ⅰ）若过点时，求值；
（Ⅱ）若顶点在直线上，求值；
（Ⅲ）设在上最高点纵坐标为，当时，求取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）将点C坐标代入解析式即可求出m值；
（Ⅱ）先求出抛物线顶点坐标，再根据顶点在直线上得出有关m方程，解之即可
（Ⅲ）先求出抛物线顶点坐标，结合（Ⅱ）抛物线顶点坐标，和x取值范围，分三种情形讨论求解即可；
【详解】
解：（Ⅰ）将点代入解析式，解得
（Ⅱ）抛物线顶点坐标为，
令，得
∵，∴
（Ⅲ）∵抛物线顶点，抛物线顶点，
当时，最高点是抛物线G1顶点
∴，解得
当时，G1中（2，2m-1）是最高点，2m-1
∴2m-1，解得
当时，G2中（-4，4m-9）是最高点，4m-9．
∴4m-9，解得.
综上所述，即为所求.
【点睛】
本题考察二次函数综合题，待定系数法、不等式组等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识处理问题，学会用分类讨论思想思考问题，运用数形结合思想处理问题，属于中考压轴题．

4．如图1，二次函数图像与轴交于两点(点在点左侧)，与轴交于点.

（1）求二次函数体现式及点、点坐标;
（2）若点在二次函数图像上，且，求点横坐标;
（3）将直线向下平移，与二次函数图像交于两点(在左侧)，如图2，过作轴，与直线交于点，过作轴，与直线交于点，当值最大时，求点坐标.
【答案】（1）y＝，A（﹣1，0），B（4，0）；（2）D点横坐标为2+2，2﹣2，2；（3）M（，﹣）
【解析】
【分析】
（1）求出a，即可求解；
（2）求出直线BC解析式，过点D作DH∥y轴，与直线BC交于点H，根据三角形面积关系求解；
（3）过点M作MG∥x轴，交FN延长线于点G，设M（m，m2﹣m﹣3），N（n，n2﹣n﹣3），判断四边形MNFE是平行四边形，根据ME＝NF，求出m+n＝4，再确定ME+MN＝﹣m2+3m+5﹣m＝﹣（m﹣）2+，即可求M；
【详解】
（1）y＝ax2﹣3ax﹣4a与y轴交于点C（0，﹣3），
∴a＝，
∴y＝x2﹣x﹣3，
与x轴交点A（﹣1，0），B（4，0）；
（2）设直线BC解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣3；
过点D作DH∥y轴，与直线BC交于点H，
设H（x，x﹣3），D（x，x2﹣x﹣3），
∴DH＝|x2﹣3x|，
∵S△ABC＝，
∴S△DBC＝＝6，
∴S△DBC＝2×|x2﹣3x|＝6，
∴x＝2+2，x＝2﹣2，x＝2；
∴D点横坐标为2+2，2﹣2，2；

（3）过点M作MG∥x轴，交FN延长线于点G，
设M（m，m2﹣m﹣3），N（n，n2﹣n﹣3），
则E（m，m﹣3），F（n，n﹣3），
∴ME＝﹣m2+3m，NF＝﹣n2+3n，
∵EF∥MN，ME∥NF，
∴四边形MNFE是平行四边形，
∴ME＝NF，
∴﹣m2+3m＝﹣n2+3n，
∴m+n＝4，
∴MG＝n﹣m＝4﹣2m，
∴∠NMG＝∠OBC，
∴cos∠NMG＝cos∠OBC＝,
∵B（4，0），C（0，﹣3），
∴OB＝4，OC＝3，
在Rt△BOC中，BC＝5，
∴MN＝（n﹣m）＝（4﹣2m）＝5﹣m，
∴ME+MN＝﹣m2+3m+5﹣m＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，ME+MN有最大值，
∴M（，﹣）
【点睛】
本题考察二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；纯熟掌握待定系数法求函数解析式措施，结合三角形性质解题.

5．如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，通过B、C两点抛物线y=x2+bx+c与x轴另一种交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线解析式；
（2）在该抛物线对称轴上与否存在点M，使以C，P，M为顶点三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件点M坐标；若不存在，请阐明理由；
（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．
【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E点坐标为（，）时，△CBE面积最大．
【解析】
试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，运用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表达出MC、MP和PC长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种状况，可分别得到有关M点坐标方程，可求得M点坐标；
（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表达出F点坐标，表达出EF长，深入可表达出△CBE面积，运用二次函数性质可求得其获得最大值时E点坐标．
试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，
∴B（3，0），C（0，3），
把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；
（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），
设M（2，t），且C（0，3），
∴MC=，MP=|t+1|，PC=，
∵△CPM为等腰三角形，
∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种状况，
①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；
②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重叠，舍去）或t=7，此时M（2，7）；
③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；
综上可知存在满足条件点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；
（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，

设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），
∵0＜x＜3，
∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，
∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，
∴当x=时，△CBE面积最大，此时E点坐标为（，），
即当E点坐标为（，）时，△CBE面积最大．
考点：二次函数综合题．

6．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线通过A、C两点，与x轴另一交点为点B．

（1）求抛物线函数体现式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，
①连接BC、CD、BD，设BD交直线AC于点E，△CDE面积为S1，△BCE面积为S2．求：最大值；
②如图2，与否存在点D，使得∠DCA＝2∠BAC？若存在，直接写出点D坐标，若不存在，阐明理由．
【答案】（1）；（2）①当时，最大值是；②点D坐标是
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到A（-4，0），C（0，2）代入y=-x2+bx+c，于是得到结论；
（2）①如图，令y=0，解方程得到x1=-4，x2=1，求得B（1，0），过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，根据相似三角形性质即可得到结论；
②根据勾股定理逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角直角三角形，取AB中点P，求得P（-，0），得到PA=PC=PB=，过D作x轴平行线交y轴于R，交AC延线于G，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：（1）根据题意得A（-4，0），C（0，2），
∵抛物线y=-x2+bx+c通过A．C两点，
∴，
∴，
抛物线解析式为： ;
（2）①令，
∴
解得： ,
∴B（1，0）
过点D作轴交AC于M，过点B作轴交AC于点N，

∴∥
∴
∴
设：
∴
∵
∴
∴
∴当时，最大值是 ;
②∵A（-4，0），B（1，0），C（0，2），
∴AC=2，BC=，AB=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是以∠ACB为直角直角三角形，
取AB中点P，
∴P（-，0），
∴PA=PC=PB=，
∴∠CPO=2∠BAC，
∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=，
过D作x轴平行线交y轴于R，交AC延长线于G，如图，

∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，
∴∠CDG=∠BAC，
∴tan∠CDG=tan∠BAC=，
即RC：DR=，
令D（a，-a2-a+2），
∴DR=-a，RC=-a2-a，
∴（-a2-a）：（-a）=1：2，
∴a1=0（舍去），a2=-2，
∴xD=-2，
∴-a2-a+2=3,
∴点D坐标是
【点睛】
本题是二次函数综合题，波及待定系数法求函数解析式，相似三角形判定和性质，解直角三角形等知识点，对作出辅助线是解题关键，难度较大．

7．如图，已知抛物线对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，.

（1）若直线通过、两点，求直线和抛物线解析式；
（2）在抛物线对称轴上找一点，使点到点距离与到点距离之和最小，求出点坐标；
（3）设点为抛物线对称轴上一种动点，求使为直角三角形点坐标.
【答案】（1）抛物线解析式为，直线解析式为.（2）；（3）坐标为或或或.
【解析】
分析：（1）先把点A，C坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c关系式，再根据抛物线对称轴方程可得a和b关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c值即可得到抛物线解析式；把B、C两点坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC与对称轴x=-1交点为M，此时MA+MC值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y值，即可求出点M坐标；
（3）设P（-1，t），又由于B（-3，0），C（0，3），因此可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种状况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P坐标．
详解：（1）依题意得：，解得：，
∴抛物线解析式为.
∵对称轴为，且抛物线通过，
∴把、分别代入直线，
得，解之得：，
∴直线解析式为.

（2）直线与对称轴交点为，则此时值最小，把代入直线得，
∴.即当点到点距离与到点距离之和最小时坐标为.
（注：本题只求坐标没说规定证明为何此时值最小，因此答案未证明值最小原因）.
（3）设，又，，
∴，，，
①若点为直角顶点，则，即：解得：，
②若点为直角顶点，则，即：解得：，
③若点为直角顶点，则，即：解得：
，.
综上所述坐标为或或或.
点睛：本题综合考察了二次函数图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）解析式、运用轴对称性质确定线段最小长度、难度不是很大，是一道不错中考压轴题．

8．某商场销售一种商品进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x（元）之间关系如图所示．

（1）根据图象直接写出y与x之间函数关系式．
（2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间函数关系式．
（3）这种商品销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？
【答案】（1）y＝；（2）W＝;（3）这种商品销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．
【解析】
【分析】
（1）当40≤x≤60时，设y与x之间函数关系式为y=kx+b，当60＜x≤90时，设y与x之间函数关系式为y=mx+n，解方程组即可得到结论；
（2）当40≤x≤60时，当60＜x≤90时，根据题意即可得到函数解析式；
（3）当40≤x≤60时，W=-x2+210x-5400，得到当x=60时，W最大=-602+210×60-5400=3600，当60＜x≤90时，W=-3x2+390x-9000，得到当x=65时，W最大=-3×652+390×65-9000=3675，于是得到结论．
【详解】
解：（1）当40≤x≤60时，设y与x之间函数关系式为y＝kx+b，
将（40，140），（60，120）代入得，
解得：，
∴y与x之间函数关系式为y＝﹣x+180；
当60＜x≤90时，设y与x之间函数关系式为y＝mx+n，
将（90，30），（60，120）代入得，
解得：，
∴y＝﹣3x+300；
综上所述，y＝；
（2）当40≤x≤60时，W＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+180）＝﹣x2+210x﹣5400，
当60＜x≤90时，W＝（x﹣30）（﹣3x+300）＝﹣3x2+390x﹣9000，
综上所述，W＝；
（3）当40≤x≤60时，W＝﹣x2+210x﹣5400，
∵﹣1＜0，对称轴x＝＝105，
∴当40≤x≤60时，W随x增大而增大，
∴当x＝60时，W最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600，
当60＜x≤90时，W＝﹣3x2+390x﹣9000，
∵﹣3＜0，对称轴x＝＝65，
∵60＜x≤90，
∴当x＝65时，W最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675，
∵3675＞3600，
∴当x＝65时，W最大＝3675，
答：这种商品销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．
【点睛】
本题考察了把实际问题转化为二次函数，再运用二次函数性质进行实际应用．根据题意分状况建立二次函数模型是解题关键．

9．如图，抛物线图象过点.

（1）求抛物线解析式；
（2）在抛物线对称轴上与否存在一点P，使得△PAC周长最小，若存在，祈求出点P坐标及△PAC周长；若不存在，请阐明理由；
（3）在（2）条件下，在x轴上方抛物线上与否存在点M（不与C点重叠），使得？若存在，祈求出点M坐标；若不存在，请阐明理由．
【答案】（1）；（2）存在，点，周长为：；（3）存在，点M坐标为
【解析】
【分析】
（1）由于条件给出抛物线与x轴交点，故可设交点式，把点C代入即求得a值，减小计算量．
（2）由于点A、B有关对称轴：直线对称，故有，则，因此当C、P、B在同一直线上时，最小．运用点A、B、C坐标求AC、CB长，求直线BC解析式，把代入即求得点P纵坐标．
（3）由可得，当两三角形以PA为底时，高相等，即点C和点M到直线PA距离相等．又由于M在x轴上方，故有．由点A、P坐标求直线AP解析式，即得到直线CM解析式．把直线CM解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M坐标．
【详解】
解：（1）∵抛物线与x轴交于点
∴可设交点式
把点代入得：

∴抛物线解析式为
（2）在抛物线对称轴上存在一点P，使得周长最小．
如图1，连接PB、BC
∵点P在抛物线对称轴直线上，点A、B有关对称轴对称

∵当C、P、B在同一直线上时，最小

最小
设直线BC解析式为
把点B代入得：，解得：
∴直线BC：

∴点使周长最小，最小值为．
（3）存在满足条件点M，使得．
∵S△PAM＝S△PAC
∴当以PA为底时，两三角形等高
∴点C和点M到直线PA距离相等
∵M在x轴上方

，设直线AP解析式为
解得：
∴直线
∴直线CM解析式为：

解得：（即点C），
∴点M坐标为

【点睛】
考察了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称最短途径问题，勾股定理，平行线间距离到处相等，一元二次方程解法．其中第（3）题条件给出点M在x轴上方，无需分类讨论，解法较常规而简单．

10．如图，有关x二次函数y=x2+bx+c图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线对称轴与x轴交于点D．

（1）求二次函数体现式；
（2）在y轴上与否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．祈求出点P坐标；
（3）有一种点M从点A出发，以每秒1个单位速度在AB上向点B运动，另一种点N从点D与点M同步出发，以每秒2个单位速度在抛物线对称轴上运动，当点M抵达点B时，点M、N同步停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
【答案】（1）二次函数体现式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒抵达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【解析】
【分析】
（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数体现式；
（2）先求出点B坐标，再根据勾股定理求得BC长，当△PBC为等腰三角形时分三种状况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；分别根据这三种状况求出点P坐标；
（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化为顶点式，根据二次函数性质即可得△MNB最大面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【详解】
解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，

解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函数体现式为：y=x2﹣4x+3；
（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴B（3，0），
∴BC=3，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种状况进行讨论：如图1，
①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3
∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；
②当PB=PC时，OP=OB=3，
∴P3（0，-3）；
③当BP=BC时，
∵OC=OB=3
∴此时P与O重叠，
∴P4（0，0）；
综上所述，点P坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；

（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，
∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，
当点M出发1秒抵达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．

11．如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为，且，抛物线图象通过三点．
（1）求两点坐标；
（2）求抛物线解析式；
（3）若点是直线下方抛物线上一种动点，作于点，当值最大时，求此时点坐标及最大值．

【答案】解：（1）点A、C坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；；
（2）抛物线体现式为： ；
（3）PD有最大值，当x＝2时，其最大值为，此时点P（2，﹣6）．
【解析】
【分析】
（1）OA＝OC＝4OB＝4，即可求解；
（2）抛物线体现式为： ，即可求解；
（3），即可求解．
【详解】
解：（1）OA＝OC＝4OB＝4，
故点A、C坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；
（2）抛物线体现式为：，
即﹣4a＝﹣4，解得：a＝1，
故抛物线体现式为： ；
（3）直线CA过点C，设其函数体现式为：，
将点A坐标代入上式并解得：k＝1，
故直线CA体现式为：y＝x﹣4，
过点P作y轴平行线交AC于点H，

∵OA＝OC＝4，
，
∵
，
设点 ，则点H（x，x﹣4），

∵ ＜0，∴PD有最大值，当x＝2时，其最大值为，
此时点P（2，﹣6）．
【点睛】
本题考察是二次函数综合运用，波及到一次函数、解直角三角形、图象面积计算等，其中（3），用函数关系表达PD，是本题解题关键

12．抛物线与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C坐标；
（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度速度向点B运动，同步点E也从点O出发，以每秒1个单位长度速度向点C运动，设点P运动时间为t秒（0＜t＜2）．
①过点E作x轴平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P坐标；

②在满足①条件下，抛物线对称轴上与否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F坐标；若不存在，请阐明理由．
【答案】（1）A（2，0），B（4，0），C（0，2）；（2）①t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②F（3，2），（3，7）．
【解析】
试题分析：（1）在抛物线解析式中，令y=0，令x=0，解方程即可得到成果；
（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，通过△CDE∽△CBO得到，即，求得有最小值1，即可求得成果；
②存在，求得抛物线对称方程为x=3，设F（3，m），当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，②当∠EFP=90°时，③当∠PEF=90°时，根据勾股定理列方程即可求得成果．
试题解析：（1）在抛物线解析式中，令y=0，即，解得：，，∵OA＜OB，∴A（2，0），B（4，0），在抛物线解析式中，令x=0，得y=2，∴C（0，2）；
（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，∵DE∥OB，∴△CDE∽△CBO，∴，即，∴DE=4﹣2t，
∴===，∵0＜t＜2，一直为正数，且t=1时，有最大值1，∴t=1时，有最小值1，即t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；
②存在，∵抛物线对称轴方程为x=3，设F（3，m），∴，=，=，
当△EFP为直角三角形时，
①当∠EPF=90°时，，即，解得：m=2，
②当∠EFP=90°时，，即，解得；m=0或m=1，不合题意舍去，∴当∠EFP=90°时，这种状况不存在，
③当∠PEF=90°时，，即，解得：m=7，
综上所述，F（3，2），（3，7）．
考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．最值问题；4．二次函数最值；5．分类讨论；6．压轴题．

13．复习课中，教师给出有关x函数（k是实数）.
教师：请独立思考，并把探索发现与该函数有关结论（性质）写到黑板上.
学生思考后，黑板上出现了某些结论.教师作为活动一员，又补充某些结论，并从中选择如下四条：
①存在函数，其图像通过（1,0）点；
②函数图像与坐标轴总有三个不一样交点；
③当时，不是y随x增大而增大就是y随x增大而减小；
④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数；
教师：请你分别判断四条结论真假，并给出理由，最终简单写出处理问题时所用数学措施.
【答案】①真，②假，③假，④真，理由和所用数学措施见解析.
【解析】
试题分析：根据方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想对各结论进行判断.
试题解析：①真，②假，③假，④真.理由如下：
①将（1,0）代入，得，解得.
∴存在函数，其图像通过（1,0）点.
∴结论①为真.
②举反例如，当时，函数图象与坐标轴只有两个不一样交点.∴结论②为假.
③∵当时，二次函数（k是实数）对称轴为，
∴可举反例如，当时，二次函数为，
当时，y随x增大而减小；当时，y随x增大而增大.
∴结论③为假.
④∵当时，二次函数最值为，
∴当时，有最小值，最小值为负；当时，有最大值，最大值为正.
∴结论④为真.
处理问题时所用数学措施有方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想
考点：1.曲线上点坐标与方程关系；2.二次函数性质；3.方程思想、特殊元素法、反证思想和分类思想应用.

14．已知抛物线C1：y=ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．
（1）当a=1时，求抛物线与x轴交点坐标及对称轴；
（2）①试阐明无论a为何值，抛物线C1一定通过两个定点，并求出这两个定点坐标；
②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2体现式；
（3）若（2）中抛物线C2顶点到x轴距离为2，求a值．
【答案】（1）（﹣1，0）或（5，0）（2）①（0，﹣5），（4，﹣5）②y=﹣ax2+4ax﹣5（3）a=或
【解析】
试题分析：（1）将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点；
（2）①化简抛物线解析式，即可求得两个点定点横坐标，即可解题；
②根据抛物线翻折理论即可解题；
（3）根据（2）中抛物线C2解析式，分类讨论y=2或﹣2，即可解题
试题解析：（1）当a=1时，抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，
∴对称轴为y=2；
∴当y=0时，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5；
∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）；
（2）①抛物线C1解析式为：y=ax2﹣4ax﹣5，
整理得：y=ax（x﹣4）﹣5；
∵当ax（x﹣4）=0时，y恒定为﹣5；
∴抛物线C1一定通过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；
②这两个点连线为y=﹣5；
将抛物线C1沿y=﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，不过对称轴没变；
∴抛物线C2解析式为：y=﹣ax2+4ax﹣5，
（3）抛物线C2顶点到x轴距离为2，
则x=2时，y=2或者﹣2；
当y=2时，2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；
当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；
∴a=或；
考点：1、抛物线与x轴交点；2、二次函数图象与几何变换

15．如图，抛物线与x轴交于点A（，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．

（1）求抛物线函数关系式；
（2）点N为抛物线上一种动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N横坐标为t（），求△ABN面积S与t函数关系式；
（3）若且时△OPN∽△COB，求点N坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）（，）或（1，2）．
【解析】
试题分析：（1）可设抛物线解析式为，用待定系数法就可得到结论；
（2）当时，点N在x轴上方，则NP等于点N纵坐标，只需求出AB，就可得到S与t函数关系式；
（3）由相似三角形性质可得PN=2PO．而PO=，需分和0＜t＜2两种状况讨论，由PN=2PO得到有关t方程，解这个方程，就可得到答案．
试题解析：（1）设抛物线解析式为，把C（0，1）代入可得：，∴，∴抛物线函数关系式为：，即；
（2）当时，＞0，∴NP===，
∴S=AB•PN==；
（3）∵△OPN∽△COB，∴，∴，∴PN=2PO．
①当时，PN===，PO==，∴，整理得：，解得：=，=，∵＞0，＜＜0，∴t=，此时点N坐标为（，）；
②当0＜t＜2时，PN===，PO==t，∴，整理得：，解得：=，=1．∵＜0，0＜1＜2，∴t=1，此时点N坐标为（1，2）．
综上所述：点N坐标为（，）或（1，2）．
考点：1．二次函数综合题；2．待定系数法求二次函数解析式；3．相似三角形性质．